小學數學“相異構想”的調正策略
——以“圖形與幾何”（測量）為例

□ 王國元

學生由感性認識得出的偏離科學現象本質和科學概念的理解與想法稱為“相異構想”。建構主義認為，學生的學習過程不是簡單地“輸入、存儲”課本和教師提供的信息，而是主動地將原有經驗和新信息進行對比、分析、判斷、選擇和重建知識結構的過程。但由于學生的知識結構和思維方式是通過日常活動的各種渠道逐步形成的，因此，學生的“前概念”可能與科學概念大相徑庭。經學生自主修正、重組后的知識往往是新知識與舊知識、科學的思維方式與原有的思維方式相互混雜，進行自然整合，構成了兒童學習新知的基礎，從而派生出了各種類型的“相異構想”。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出，“學生的學習要建立在學生的認知發展水平和已有的經驗之上……”因此，研究學生的“相異構想”不僅是實現“學生的主體地位”的需要，也是教師作為“組織者、引導者、合作者”所必須去做的。

然而，實際教學中卻存在以下3個問題。

問題1：沒有根據學情準確評估學生的相異構想。有一部分教師在設計教學時，沒有考慮學生的學情（認知發展水平、已有經驗等），有些教師雖然關注了學情分析，但是由于評估方法不合理，影響了相異構想評估的準確性。

問題2：沒有行之有效的調正相異構想的策略與方法。面對學生存在的相異構想，有些教師采取回避的態度，導致學生的學習效率低；有些教師根據已有經驗加以調正，針對性差。

問題3：沒有精確把握“圖形與幾何”教學的核心目標。在“圖形與幾何”的教學中，很多教師是以學生“是否會解題”為終極目標，沒有把“圖形與幾何”領域的核心目標落到實處，不利于學生對本領域知識的“意義建構”。

相異構想生成的維度有知識、技能、經驗和數學思想，但是在具體的學習過程中，知識、技能、經驗和數學思想是各自存在卻又互相融合的狀態，本文為了清晰剖析相異構想的調正策略，試圖立足知識、技能、經驗和數學思想各自的維度，借助大量的課例剖析四個維度對應的相異構想的類型，闡述具體的調正策略。

一、由知識維度生成的相異構想類型與調正策略

知識維度生成的相異構想主要有兩種類型，一種是知識內涵模糊，指學生對所學知識難以真正的感悟、理解，尤其是對數學概念的內涵不清晰。一種是知識網絡割裂，指學生對所學的數學知識以塊狀的形態儲存于認知結構中，對它們之間的縱橫聯系沒有形成網狀的形態。

（一）知識內涵模糊的調正策略：感悟理解

有些知識點不容易理解，學生會在后續學習中不斷出現混淆、出現錯誤，如學生對“面積”概念的理解。經由前測，我們發現學生在摸面與周長后用自己的語言表述“面在哪里，一周在哪里”的時候，有72%的學生表達的意思是“一周就是靠在外面的部分，面就是在里面的部分”，也就是說，大部分學生認為周長屬于表面的“外面”一部分，面積屬于表面的“里面”一部分。可見學生無法感知到兩者之間一維、二維的差異，并由此生成了周長和面積混淆的根源。

如何讓學生充分地感悟和理解概念的內涵，自發地感悟兩維的差異，順利地從一維走向二維，就成了這一課教學需要解決的根本問題。

理解1：摸各類面，感受規則物體與不規則物體的“面”的共性

課堂上準備含曲面的物體和不規則物體，放手讓學生摸課桌上的面，發現“面”有水平的平平的，也有豎起來的平平的，有大也有小，就有利于突破“面”的水平固像，然后再讓學生感知曲面。在經歷了這一系列的摸面活動后，讓學生用自己的話說說什么是“面”。

理解2：蒙眼摸面，感受橫向到邊與縱向到底的面的二維特征

學生總是難以規范地摸出整個“二維”的面，常在內部畫了個圈就算摸完，這是因為他在視覺上已經看到了整個面。那就把學生的“直觀感覺”蒙起來，讓學生主動要求“我想把面摸完整”，那么學生就能更好地感知“體—面—線”的內在序列，感受面的二維性。

理解3：體上摸出面，體上摹出面——從三維到二維

面不離體，面可以從體上抽象出來。學生感受這樣一個過程，既能體會到面與體之間的聯系與區別，也有利于學生更好地理解“面”有別于“體”的二維特征。

師：你能不能想一個辦法，讓一個“面”走到我們的紙上來呢？（學生拓印或畫，展示交流作品“圓形”“硬幣拓印圓面”“長方形”“三角形”“正方形”，分別猜猜、說說這個“面”來自什么物體）

理解4：線圍面積，從一維到二維

物體的表面在客觀上都可以視作一個有周界的“封閉”圖形，所以在講平面圖形時要借助“封閉”讓學生正確理解面積的含義，如果“表面”無法確定，那么就無法度量，也就沒有面積。

師：現在屏幕上有根線，長為30厘米。我用這根線圍出一些平面圖形，它們有面積嗎？請用黃色表示出它們的面積。

師：都認為從左往右數的第4個圖形沒有面積？你們是怎么想的？如果我想涂呢？（拿筆在投影上涂）

生：那就能一直涂下去了。

生：到底能涂多大的面積，根本不能確定，涂也涂不完。

生：只有封閉圖形才有確定的大小，才能涂完。

師：好，那你們就在已經涂出面積的封閉圖形上用紅色筆涂出周長，再分別摸一摸面積、指一指周長給同桌看。現在你覺得周長、面積有什么不同？

生：周長是一周的長度，面積是里面的大小。

生：周長在外面，面積在里面。

生：周長都是30厘米，面積大小各不相同。

師：周長是長度，是測量圖形一周得到的具體長度，這里是30厘米。而面積是整個面的大小。

課件直觀展示：

突出周長是一維測量的結果，是測量封閉圖形外面一周得到的長度，糾正學生腦海中“周長是面的一部分”“周長是面的外面部分”的一維二維混淆的根源性偏差。

（二）知識網絡割裂的調正策略：梳理溝通

知識的學習，總是從點狀起步。學生對知識點的理解往往存在片面的割裂狀態。當一部分知識點完成教學之后，教師應該借助核心問題，讓學生回顧所學知識，并用聯系的觀點重構知識，幫助學生形成知識網絡。如人教版六下的“立體圖形的體積總復習”一課。課前，學生大都已經掌握了四個立體圖形的體積計算公式，但讓學生具體操作“根據自己所了解的體積知識，給四個立體圖形分類，要求至少三種分法，并說明按什么分”時，發現學生按點、線、面層面分類較多，從旋轉、平移的運動形式和體積基本公式層面去考慮的學生竟然不足5%。這就是，學生的知識沒有被梳理溝通建立聯系，沒有很好地建構成網絡。那么，這節課就應引導學生用運動的觀點去操作、觀察、想象，幫助學生形成清晰的知識網絡。教學基本流程如下。

溝通1：理解點、線、面、體的內在聯系

(1)“點”的平移成“線”。

(2)“線”的平移或旋轉成“面”。

(3)“面”的平移或旋轉成“體”。

點、線、面、體的內在聯系如下圖所示：

溝通2：溝通平面圖形與立體圖形之間、立體圖形與立體圖形之間的聯系

經歷了這樣的動態梳理溝通過程，學生就構建了豐滿的體積知識網絡。

二、由技能維度生成的相異構想類型與調正策略

由技能維度生成的相異構想也有兩種類型，一種是方法失范，指學生對所學知識的發生、發展過程缺少體驗，導致“知其然，而不知其所以然”；一種是方法生疏，指由于缺少必要的指導與練習，在應用知識時易產生方法不恰當、不熟練等問題。

（一）方法失范的調正策略：指導規范

很多知識的教學，如果跳過過程直接給予結論，學生就會在后續學習中不斷出現“方法失范”的問題。根據相異構想理論，應該遵循學生的認知規律和知識的發生、發展過程，去逐步引導學生經歷過程，構建良好的知識結構。

如三年級下“長方形的面積”一課學習之前，有近75%的學生已經具有“用面積單位來度量圖形的面積”這一學習經驗，并能在度量中知道面積單位的量數所對應的面積大小；有近33%的學生會通過公式來計算長方形的面積，但對面積為什么可以通過“長×寬”來計算的原理并不清晰。那么，課堂上，就需要從調正學生的相異構想角度出發，讓學生從“度量”的直觀層面，提升到計算模型與二維觀念的建構，讓學生經歷“規范”的知識發生、發展過程。具體環節如下。

螺釘位置不良者，若只單純存在神經根刺激癥狀，考慮先進行脫水等對癥處理，部分患者逐漸耐受可避免二次手術；若患者出現脊髓受壓、血管損傷等情況，建議立刻改行開放手術，若術中發現椎弓根破壞、松動無法置釘時，必要時考慮延長固定節段。術前對置釘椎體的椎弓根進行CT掃描，仔細觀察椎弓根大小及有無髓腔，并對進釘角度進行測量，結合術中透視（正位椎弓根螺釘不超越脊柱中線），可降低置釘不良的發生率。

指導1：初步感受長方形面積的大小與其長、寬有關

(1)出示圖形。

(2)引導學生用“1平方厘米”的面積單位去測量。

(3)思考：沿長測量，一行為什么可以擺5個？為什么可以擺3行？

(4)這個長方形的面積是多少？你是怎樣想的？

指導2：感悟長、寬的變化會引起面積大小的變化

(1)演示圖形變化過程。

(2)思考：與原長方形面積比較，面積發生了什么變化？為什么會發生這樣的變化？這個長方形的面積是多少？

(4)演示變化過程。

(5)思考：與原長方形面積比較，面積發生了什么變化？為什么會發生這樣的變化？這個長方形的面積是多少？

(6)想象：如果長方形的長不變，面積要變小，怎么辦？

指導3：比較歸納，構建模型

(1)思考：長方形面積的大小，與什么有關？

(2)歸納得出：長方形的面積=長×寬。

這樣的教學就完整地呈現了長方形面積公式的生成過程，深度構建了“面積模型”，有效地指導學生感悟長方形面積計算公式的含義。

（二）方法生疏的調正策略：推進自動化

經過學生自主修正、重組后得到的知識往往存在新知識與舊知識、科學的思維方式與原有的思維方式的“相異構想”，比如新授學習內容之后，學生并沒有掌握恰當的方法，解決問題也并不熟練。此時，教師應該結合解決問題過程，幫助學生矯正錯誤方法，并通過一定量的有意義練習，使技能達到高度完善化和自動化的水平。以六年級下“圓錐的體積練習課”為例。

推進1：剖析錯例，規范方法

(1)出示錯例。

一個鐵制圓錐形零件，底面半徑是2cm，高是15cm。已知每立方厘米的鐵重7.8g，這個圓錐形零件重多少克？

(2)思考。

①錯在哪里？為什么會產生這種錯誤？

②如何改正？

學生錯因的本質，動態對接不夠強化，模型構建時，不清楚每一步的含義。

推進2：溝通、強化等底等高的圓柱與圓錐的體積關系

(1)回顧圓錐體積計算公式的推導過程。

(3)等底等高的圓柱與圓錐的體積有什么關系？

推進3：正確應用，提高熟練度

(1)計算下面圓錐的體積。

①列式計算。

②思考、想象：3.14×（10÷2）2×15表示什么？

（2）解決問題。

工地上有一堆沙子，近似于一個圓錐（如下圖）。它的底面周長是12.56m，高是1.2m。這堆沙子的體積是多少立方米？

①交流結果。

②思考、想象：3.14×（12.56÷3.14÷2）2×1.2表示什么？

(3)做一做，想一想。

①如上圖，已知圓錐的體積是56.52立方厘米，底面積是28.26平方厘米。它的高是多少厘米？

③如果要使圓錐與它等底等高的圓柱體積相等，你有什么辦法？畫草圖說明。

推進4：歸納提升

(1)通過剛才的練習，你有什么新的收獲？

(2)在計算圓錐的體積時要注意什么？

技能要達到自動化的水平，學生需要經歷一定量的練習。有效的技能練習過程，應該從學生的困難點、易錯點出發，經由辨析、嘗試、探究、思考，逐步掌握技能。

三、由經驗維度生成的相異構想類型與調正策略

由經驗維度生成的相異構想類型分為生活經驗缺少和活動經驗貧乏兩類，生活經驗缺少，是指受生活環境和實踐活動的制約，缺少理解數學知識所必需的生活經驗，在理解相關知識時產生困難；活動經驗貧乏，是指由于沒有經歷活動過程，或雖有過程，但沒有進行及時有效的提煉，造成活動經驗貧乏。

（一）生活經驗缺少的調正策略：創設情境，感悟豐富

當學生因生活經驗缺少而難以形成豐富的表象感知時，就會出現知識的掌握度過淺的狀況。如容積單位的進率換算、容積大小判定等，學生經常錯誤頻出。這就需要創設生活化的情境，提供豐富的感性材料，幫助學生積累生活經驗，以引領學生感悟，理解“容積與容積單位”。具體教學片段如下。

感悟1：認識1升與1毫升

(1)出示兩個裝滿清水的500毫升量筒，并把水都倒入1立方分米的正方體透明塑料盒中。

(2)引導學生觀察，用自己的話描述1升水的體積有多少。

(3)用針筒抽出1毫升藍色水，引導學生觀察，說說自己的想法。

(4)把抽出的1毫升藍色水注入1立方厘米正方體透明塑料盒中，引導學生說說自己的感受與想法。

(5)把1毫升藍色水倒入一個1立方分米的正方體透明塑料盒中，引導學生觀察、對比，說說自己的想法。

感悟2：1毫升→1升的變化過程

(1)每個學生用針筒1毫升1毫升地抽水10次，注射到透明的杯中，觀察并說說感受。

(2)把10個同學抽出的水倒入透明的杯中。

(3)把10個杯中的水倒入1立方分米的正方體透明塑料盒中，你有什么想法？

感悟3：“喝水活動”，體驗1升與1毫升的實際意義

(1)引導學生分別喝1毫升、10毫升、100毫升、1升的水，談談感受。

(2)你能一次性喝完1升的礦泉水嗎？

(3)估一估：你口渴的時候，一般一次喝多少礦泉水？

從看→倒→喝，靜態到動態，大大豐富了學生的相關經驗。

（二）活動經驗貧乏的調正策略：動手操作，積累提升

在實際教學中會發現，學生經常在求三角形面積時忘記“÷2”，求圓錐體積時忘記“÷3”，原因其實是公式提取過快，學生的活動經驗累積不足，形成經驗貧乏的相異構想。可以通過創設問題情境，引導學生積極主動地進行探究，以彌補活動經驗的貧乏。以六年級下“圓錐的體積”為例，具體調正策略如下。

操作材料說明：同桌兩人合作。全班共下發22套學具，其中有3組不同型號等底等高的圓柱、圓錐；另有1組等底不等高、1組等高不等底、1組不等底不等高的圓柱、圓錐。

操作1：倒水實驗

同桌合作，進行倒水實驗并記錄。

操作2：交流反饋明特征

(1)介紹實驗過程及結果。

操作3：推導圓錐體積的計算公式

(1)課件動態演示實驗過程。

(2)結合實驗過程推導圓錐體積的計算公式。

圓錐體積的操作環節，一般的教學設計里都有，但往往是把等底等高的一組進行簡單而快速的操作。而學生經歷了等底不等高、等高不等底、不等底不等高的圓柱、圓錐的體積大小關系的探究活動后，就能更深刻地把握相應的關系。

四、由數學思想維度生成的相異構想類型與調正策略

由數學思想維度生成的相異構想也分為兩類，一類是數學思想淺薄，是指在數學學習過程中，由于過度關注知識與技能，而忽視對數學本質的感悟與理解，導致數學思想淺薄；一類是數學思想僵化，是指在探究新知的過程中，雖能調用已積累的數學思想，但不能根據問題情境的變化而靈活應用。

（一）數學思想淺薄的調正策略：感悟提升

過于關注知識與技能，忽略了概念本質的理解，會導致數學思想淺薄。如二年級下“厘米的認識”一課，很多教師在教學時會側重于具體的測量、記錄與單位轉換。但根據前測，發現只有25%的學生能準確找出1厘米的長度，有30%的學生在描述1厘米時把“長度”與“點”混淆，即從點到一維的累積不足，約有7.5%的學生幾乎沒有1厘米的觀念。因而課堂教學中需引導學生學會“表征”1厘米，主動地去構建1厘米的表象，不能過于關注知識點，應該根據模型構建正確的表象，并在此過程中進行數學思想方法的有效滲透。

感悟1：認識1厘米（初步了解）

(1)1厘米有多長？你能在尺子上找出來嗎？

(2)你還能在尺子上找出1厘米嗎？找一找，并告訴你的同桌。

感悟2：比畫1厘米（產生表象）

(1)用拇指和食指在尺子上比畫出1厘米。

(2)不用尺子比畫出你認為1厘米的長度。

(3)把比畫出的1厘米放在尺子上進行測量，并調整。

(4)再進行比畫、測量、調整。

感悟3：折1厘米（形成表象）

(1)不用尺子，折出你認為1厘米長的紙條。

(2)把折出的1厘米長的紙條放在尺上進行測量，并進行調整。

(3)根據調整結果再折出1厘米長的紙條，并進行測量和調整。

感悟4：找1厘米（形式化）

(1)找出身邊大約1厘米長的物體。

(2)用尺子量一量你找出的物體的長度。

感悟5：應用1厘米（組織結構）

(1)出示2厘米長的黃色小棒。

(2)估測黃色小棒的長度。

(3)交流估測的方法。

(4)出示4厘米長的綠色小棒。

(5)估測綠色小棒的長度。

(6)交流不同的估測方法。

(7)出示9厘米長的紅色小棒。

(8)估測紅色小棒的長度。

(9)交流比較不同的估測方法。

感悟6：回顧認識過程，歸納數學方法

在這個過程中，學生發現找、比畫、折、估都能讓自己更好地認識“厘米”，探究方法的多樣性直接助推了對“厘米”表象感悟的深厚。

（二）數學思想僵化的調正策略：靈活應用

當教材呈現某種方法的時候，很多教師會不管學生的相異構想直接實施與教材一致的方法，導致學生的數學思想方法僵化。如三角形面積的學習，學生有平行四邊形面積公式的推導經驗，但教材放棄了割補法，選擇了雙拼法。很多教師就會暗示性地提供兩個一樣的三角形讓學生完成“轉化”。其實，可以提供合理的素材，利用學生原有的構想，激發學生的探究欲望，讓學生調用多種數學思想方法，在嘗試中靈活應用，去生成新的正確構想。（詳見本刊“本期話題”欄目的課例文章）

基于相異構想的教學策略，將學生放到了主體地位，重視學生的原初經驗、“前概念”，重視調正學生的相異構想，幫助其逐步形成科學概念；基于相異構想的教學策略，也彰顯了教師的主導作用，教師通過不斷自問“本課教學，學生會存在哪些相異構想？產生相異構想的原因是什么？怎樣調正相異構想？”從而形成調正學生構想的教學流程，并在這樣的思考和實踐過程中，逐步提升自我的教學能力，最終落實“以學定教、共同發展”的教學目標。

參考資料：

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