基于均勻空間采樣模型的矩陣填充DOA估計方法

沈鳳臣，王一舒，張龍輝(西安電子科技大學,陜西 西安 710071)

0 引 言

信號波達方向(DOA)估計是陣列信號處理的重要研究內容，在電子對抗、雷達、通信等領域有著廣泛的應用[1-5]。常規的子空間類估計方法(如MUSIC算法[6]、ESPRIT算法[7])突破了瑞利限，具有很好的估計性能和譜分辨力，但此類算法需要較多的陣元數和快拍數據以構成較精確的陣列協方差估計矩陣。

近年來，稀疏表示和低秩重構理論不斷發展，并成功應用到信號處理領域，突破了傳統信息理論的局限。如矩陣填充(MC)理論[8-9]，針對低秩矩陣，該理論可以通過部分觀測元素來重構未知元素，從而恢復出完整的矩陣，是壓縮感知理論[10-11]從稀疏向量向低秩矩陣的推廣。目前，矩陣填充理論已逐步應用到陣列信號處理領域中。Zhiyuan Weng等人在文獻[12]針對陣列信號處理提出了均勻空間采樣模型(USS)，并證明了接收數據矩陣滿足矩陣填充的低秩性和強非相干性條件，可以利用矩陣填充直接恢復采樣數據矩陣，從而減少了采樣通道數目，降低了硬件資源消耗。

本文將陣列信號的均勻空間采樣模型應用到DOA估計中，結合經典子空間分解類算法，給出基于均勻空間采樣模型的矩陣填充DOA估計方法，該方法在均勻線陣的基礎上進行壓縮采樣，減少了采樣通道數目，然后利用矩陣填充重構算法對缺失數據進行補全，從而得到完整的陣列接收數據矩陣，再結合MUSIC等傳統DOA估計算法，得到信號入射角度。此方法能夠減少前端采樣通道數目，降低系統硬件實現成本。

1 信號模型和矩陣填充基本原理

1.1 信號模型

假設一均勻線陣的陣元個數為M，陣元間距d為入射信號半波長，空間有P個遠場窄帶信號(P

(1)

(2)

式中：τmi為信號入射到第m個陣元與參考陣元間的時延；si(t)為第i個信號的復包絡；nm(t)為第m個陣元中的加性高斯白噪聲，m=1,2,…,M，i=1,2,…,P。

則該均勻線陣的接收數據可以表示為：

x(t)= [x1(t),x2(t),…,xM(t)]T=

A(θ)s(t)+n(t)

(3)

式中：A(θ)=[a(θ1),a(θ2),…,a(θP)]，為陣列流型矩陣，a(θi)為對應的導向矢量，且對于均勻線陣，有：

(4)

式中：s(t)為入射信號矢量，s(t)=[s1(t),s2(t),…,sP(t)]T；n(t)為陣列噪聲矢量，n(t)=[n1(t),n2(t),…,nM(t)]T，且滿足：

E[n(t)nH(t)]=σ2I

(5)

E[n(t)nT(t)]=0

(6)

1.2 矩陣填充基本理論

當低秩且不完整的矩陣滿足一定條件時，就可以通過矩陣填充來重構其未知元素，從而得到完整矩陣。

設一待填充的低秩或近似低秩矩陣M∈Cn1×n2滿足矩陣填充條件，已知元素為Mij,(i,j)∈Ω，其中Ω為已知元素下標集合。當矩陣滿足強非相干性時，矩陣填充可以通過已知的元素重構出完整矩陣。矩陣填充可以用下面的秩最小化模型[9]來表示:

(7)

然而，矩陣秩函數是一個非凸函數，所以上述最小化是一個NP-hard問題。因此，Recht等人在文獻[13]中提出了用下述核范數最小化代替秩函數最小化的方法來恢復低秩矩陣，并證明了兩者的等價行。

(8)

上式便是矩陣填充的核范數最小化模型。

為了求解式(2)，許多學者紛紛提出了一些有效的重構算法法，如奇異值閾值法(SVT)[14]、不動點迭代法(FPC)[15]、OptSpace算法[16]等等。

2 基于均勻空間采樣模型的DOA估計算法

陣列的均勻空間采樣模型，其結構如圖1所示。該模型采用固定的采樣通道數目且小于陣列天線個數，采樣通道可以隨機選擇天線陣列進行數據采樣，從而在每次快拍時得到相等數量的隨機降采樣數據，進行N次快拍便可得到均勻空間降采樣數據矩陣。

圖1 均勻空間采樣模型

設接收天線陣列為均勻線陣，陣元數目為M，陣元間距為d，采樣通道數目為m，均勻空間采樣進行N次快拍。

在進行矩陣填充時，觀測的矩陣元素要在矩陣的每一行和每一列都有分布，否則無法對缺失的行或列進行填充。設事件F表示采樣數據矩陣中缺失一整行，在Bernoulli模型下，事件F發生的概率為PBer(F)=(1-p)N，由于采樣的獨立性,故有p=m/M，則:

(9)

在均勻空間采樣方式下，事件F發生的概率為：

(10)

文獻[11]中證明了兩者滿足：PUSS(F)<(1-ε)PBer(F)，其中ε為極小值。這表明，均勻空間采樣模型與Bernoulli模型具有類似的效果。因此，均勻空間采樣模型可以有效地減少采樣通道數目，并保證矩陣填充理論可以成功地應用在陣列信號降采樣數據矩陣的重構中。

根據上述分析，針對陣列接收天線，采用均勻空間采樣方法，結合矩陣填充重構算法和子空間分解類DOA估計算法，可以得到基于均勻空間采樣模型的矩陣填充DOA估計算法：

(1) 基于均勻線陣，根據陣列信號降采樣模型，進行多次快拍，得到含有缺失元素的低秩數據矩陣X；

(3) 結合經典子空間分解類DOA估計算法，進行DOA估計，從而得到信號入射角度估計值θi，i=1,2,…,P。

3 實驗結果與分析

本節主要通過仿真實驗，驗證基于矩陣填充的降采樣DOA估計算法的有效性和可靠性。

實驗1:基于均勻空間采樣的DOA估計效果

參數設置：空間信源個數P=2，信號入射角度分別為：-10°、15°，接收天線陣元個數M=8，采樣通道數目m=4(即采樣數據比例為50%)，快拍數N=100。

基于均勻空間采樣模型，利用FPC算法結合子空間類DOA估計算法(MUSIC、ESPRIT)進行角度估計的效果如圖2和圖3所示。

圖2 基于USS模型和MUSIC算法的DOA估計

圖3 基于USS模型和ESPRIT算法的DOA估計

由上述結果可以看出，基于均勻空間采樣的DOA估計算法能夠準確地估計出信號入射角度，從而驗證了均勻空間采樣模型以及矩陣填充理論在DOA估計領域中應用的可行性。

實驗2：不同采樣比例下的DOA估計性能

首先定義DOA估計的角度均方根誤差(RMSE)如下：

(11)

參數設置：空間信源個數P=2，信號入射角度分別為：-10°、15°，接收天線陣元個數M=32，采樣通道數目m分別取8、16、24(即采樣比例分別為25%、50%、75%)，快拍數N=100，信噪比變化范圍為-10～ 20 dB，步進為2 dB，每次估計均做 次Monte-Carlo實驗。

基于均勻空間采樣模型，利用現場可編程門陣列(FPGA)重構算法和MUSIC算法進行DOA估計，在不同采樣通道數目(采樣比例)下的DOA估計均方根誤差與信噪比的關系如圖4所示。

圖4 不同采樣通道數目下的DOA估計均方根誤差

由仿真結果可以看出，基于均勻空間采樣模型的壓縮采樣DOA估計方法，對于同一采樣通道數目下的DOA估計均方根誤差會隨信噪比的提高而降低，符合DOA估計的一般規律。可以看出，對于該實驗設置的條件，當采樣通告數目設置為16及以上時，DOA估計的性能已比較理想。

在采樣通道數目較多(即采樣數據比例較高)時估計性能明顯提高，因為采樣通道數目增加(采樣數據比例提高)，可利用的信息增多，對缺失數據補全的精度會提高，重構的陣列接收數據矩陣誤差更小，從而DOA估計的均方根誤差會更小。在采樣通道數目大于或等于16(即觀測數據比例大于或等于50%)的情況下，該方法能夠準確地估計出入射信號的DOA，尤其在信噪比大于0 dB時，其估計精度較高。

4 結束語

本文基于均勻空間采樣模型，結合經典的子空間分解類DOA估計算法，給出了基于均勻空間采樣模型的矩陣填充DOA估計算法，并仿真分析了其估計的有效性和可靠性。該算法有效減少了采樣通道數目，并且能夠精確地估計出信號入射角度。

[1] 趙光輝,陳伯孝,董玫.基于交替投影的DOA估計方法及其在米波雷達中的應用[J].電子與信息學報,2008,30(1):224-227.

[2] 趙德功.基于類MUSIC的DOA估計算法[J].艦船電子對抗,2016,39(6):69-72.

[3] 蔡晶晶,李鵬,趙國慶.RD-MUSIC的二維DOA估計方法[J].西安電子科技大學學報(自然科學版),2013,40(3):81-86.

[4] 肖雷,管振輝,楊春華.基于MUSIC算法對相干信號DOA估計的研究[J].艦船電子對抗,2010,33(6):114-117.

[5] 糜坤年,張磊.基于MUSIC算法的圓陣DOA估計技術及改進方法[J].艦船電子對抗,2016,39(5):24-27.

[6] SCHMIDT R O.Multiple emitter location and signal parameter estimation[J].IEEE Transactions on Antennas & Propagation,1986,34(3):276-280.

[7] PAULRAJ A,ROY R,KAILATH T.A subspace rotation approach to signal parameter estimation[J].Proceedings of The IEEE,1986,74(7):1044-1046.

[8] 彭義剛,索津莉,戴瓊海,等.從壓縮傳感到低秩矩陣恢復：理論與應用[J].自動化學報,2013,39(7):981-994.

[11] DONOHO D L.Compressed sensing[J].IEEE Transactions on Information Theory,2006,52(4):1289-1306.

[12] WENG Z,WANG X.Low-rank matrix completion for array signal processing[C]//2012 IEEE International Conference on Acoustics,Speech and Signal Processing,2012:2697-2700.

[13] RECHT B,FAZEL M,PARRILO P A.Guaranteed minimum-rank solutions of linear matrix equations via nuclear norm minimization[J].Siam Review,2010,52(3):471-501.

[14] CAI J F,CANDS E J,et al.A singular value thresholding algorithm for matrix completion[J].Siam Journal on Optimization,2008,20(4):1956-1982.

[15] HALE E T,YIN W,ZHANG Y.Fixed-point continuation for L1-minimization:methodology and convergence[J].Siam Journal on Optimization,2008,19(3):1107-1130.

[16] KESHAVAN R H,MONTANARI A.Matrix completion from a few entries[J].IEEE Transactions on Information Theory,2010,56(6):2980-2998.