一類具有Beddington-DeAngelis功能性反應的時滯捕食系統(tǒng)

魏蘇林，沈 月，謝偉杰，涂登琴，張子振

（ 安徽財經大學 管理科學與工程學院，安徽 蚌埠 233030）

0．引言

時滯在種群動力學中是一種普遍存在的現(xiàn)象。近年來，很多國內外學者對時滯種群動力系統(tǒng)穩(wěn)定性[1-3]、持久性[4]、以及周期混沌現(xiàn)象[5-7]進行了大量研究。種群動力系統(tǒng)的動力學行為在很大程度上取決于系統(tǒng)中功能性反應函數。Beddington[8]和DeAngelis等人[9]提出Beddington-DeAngelis類功能性反應函數，此類功能性反應函數考慮到了捕食者種群內部之間的相互干擾，表現(xiàn)出了更加復雜的動力學行為。因此，具有Beddington-DeAngelis類功能性反應的時滯捕食系統(tǒng)模型的研究受到廣泛關注。文獻[10]提出并研究了如下同時具有Beddington-DeAngelis類和修正的Leslie-Gower類功能性反應的時滯捕食系統(tǒng)：

其中，x( t)和y( t)分別表示食餌種群和捕食者種群在時刻t的數量。r表示食餌種群的內稟增長率，K表示食餌種群的環(huán)境容納量；a表示捕食者種群對食餌種群的捕食能力系數；D和d表示環(huán)境對食餌種群的保護能力系數；c表示捕食者種群的增長率；b表示捕食者種群的最大平均死亡率；D1表示由于所偏愛食餌的缺乏而導致捕食者種群數量的減少率；τ表示捕食者種群的妊娠時滯。文獻[10]研究了時滯τ對系統(tǒng)(1)穩(wěn)定性的影響。受文獻[10]啟發(fā)，并考慮到食餌種群的消極負反饋時滯，本文研究具有消極負反饋的時滯捕食系統(tǒng)：

其中τ表示食餌種群的消極負反饋時滯。下面研究食餌種群的消極負反饋時滯τ對系統(tǒng)(2)穩(wěn)定性的影響。

1．Hopf分岔的存在性

根據文獻[10]的分析可知，如果 b＞cD1，a＞r并

如果系統(tǒng)(2)的系數給定，則可以利用Matlab軟件求解出方程(7)的所有根。因此，為了給出本文主要結果，我們給出下列假設

(H1)：方程(7)至少存在一個正根。

若條件(H1)滿足，則存在ω0＞0使得方程(4)具有一對純虛根±ω0。對于ω0，根據方程(6)可以得到

對方程(4)左右兩邊同時求λ關于τ的導數，有

因此，

根據文獻[11]中的結論，如果 h'( v0) ≠ 0，則系統(tǒng)(2)產生Hopf分支的橫截性條件成立。于是，由[11]中的Hopf分支存在性定理可得下列結論。

2．仿真示例

為了驗證以上所得理論結果的正確性，我們選取文獻[10]中相同的參數：r=1，K=100，a=1，D= 1，d=0.01，c=0.01，b=0.2，D1=10.給出下列仿真示例：

借助于Matlab軟件，經過直接計算得到示例系統(tǒng)(11)的 唯 一 正 平 衡 點 E*(10,9.9).進 而 得 到ω0= 1.2081，τ0= 10.0517.根據本文所得理論結果可知，當食餌種群的消極負反饋時滯τ∈ (0,τ0= 10.0517)時，示例系統(tǒng)(11)的唯一正平衡點E*(10,9.9)是局部漸近穩(wěn)定的。仿真效果如圖1-2所示。一旦食餌種群的消極負反饋時滯τ的取值超越時滯臨界點τ0= 10.0517，那么正平衡點 E*(10,9.9)將失去穩(wěn)定性，并在τ0= 10.0517附近產生局部Hopf分支和一簇分支周期解。仿真效果如圖3-4所示。

圖1 τ=8.65＜ τ0時， E* (10,9.9)局部漸近穩(wěn)定

圖2 τ=8.65＜ τ0時， x( t) -y( t)相圖

圖3 τ=11.21＞ τ0時， x( t) -y( t)相圖

圖4 τ=11.21＞τ0，E* (10,9.9)失去穩(wěn)定并產生Hopf分支

3．小結

本文在文獻[10]的工作啟發(fā)下，提出了一類同時具有Beddington-DeAngelis類和修正的Leslie-Gower類功能性反應的時滯捕食系統(tǒng)模型。主要研究了系統(tǒng)中食餌種群的消極負反饋時滯對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。研究表明，當系統(tǒng)中食餌種群的消極負反饋時滯足夠小時，即 τ∈ [0,τ0)時，系統(tǒng)處于一種理想的穩(wěn)定狀態(tài)；而一旦時滯的取值超越了臨界點τ0，則系統(tǒng)將失去理想的穩(wěn)定狀態(tài)，在一定的條件下，食餌種群和捕食者種群將以周期震蕩形式共存。文獻[10]只考慮了系統(tǒng)中捕食者種群的妊娠時滯對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，本文繼續(xù)考慮了系統(tǒng)中食餌種群的消極負反饋時滯對其穩(wěn)定性的影響，因此本文所得結果是對文獻[10]工作的一點補充。

參考文獻：

[1]劉娟，孫禮俊．一類兩種群均具有收獲率的時滯捕食系統(tǒng)模型[J]．蚌埠學院學報，2015，4（1）：31-33．

[2]張蓬霞．一類帶疾病的具有Holling III功能反應的捕食系統(tǒng)穩(wěn)定性分析[J]．山西大同大學學報：自然科學版，2015，31（2）：13-15．

[3]王玲書，張雅南，馮光輝．一個具有時滯和階段結構的比率依賴型捕食系統(tǒng)的穩(wěn)定性[J]．工程數學學報，2016，33（2）：138-150．

[4]XU R.Globalstability and Hopfbifurcation ofa predator-prey model with stage structure and delayed predator response[J].Nonlinear Dynamics,2012,67(2):1683-1693.

[5]CHANG J X.Permanence and asymptotically periodic solution of a delayed predator-prey system with Holling-type IIfunctionalresponse [J].Mathematica Applicata,2015,28(4):925-932.

[6]吳萬勤．一類時滯Lotka-Volterra系統(tǒng)的概周期解[J]．云南民族大學學報：自然科學版，2017，26（2）：130-136．

[7]楊喜陶．一類時滯捕食-食餌系統(tǒng)的概周期解的存在唯一性和全局吸引性[J]．生物數學學報，2016，31（4）：527-537．

[8]BEDDINGTON J R.Mutual interference between parasites or predators and its effect on searching efficiency[J].Journal ofAnimal Ecology,1975,44(1):331-340.

[9]DEANGELIS D L,GOLDSTEIN R,O’NEILL R V.A model for trophic interaction[J].Ecology,1975,56(4):881-892.

[10]UPADHYAY R K,AGRAWAL R.Dynamics and responses of a predator-prey system with competitive interference and time delay[J].Nonlinear Dynamics,2016,83(1):821-837.

[11]HASSARD B D,KAZARINOFF N D,WAN Y H.Theory and Applications of Hopf Bifurcation[M].Cambridge University Press,Cambridge,1981:43-49.