簡析圓周運動線速度方向變化快慢的沖突矛盾

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(山東省聊城市第一中學)

同學們在學習圓周運動的時候，是否考慮過一個物體做圓周運動時，其速度(包括方向)改變快慢和圓周運動的半徑r到底有沒有關系呢？下面我開始論證這個問題。

加速度這個概念大家并不陌生。加速度的物理意義即是描述速度變化快慢的物理量。即一個做勻變速直線運動的物體的加速度越大，單位時間內速度變化量越大，又因為時間t相等，所以我們可以得出“一個做勻變速直線運動的物體的加速度a越大，速度變化的就越快。”于是我們根據這個結論引出了圓周運動中向心加速度的物理意義。

眾所周知，牛頓第一定律上講到：一切物體總保持勻速直線運動狀態或靜止狀態，除非有力作用在這個物體上，迫使它改變這種狀態。而做勻速圓周運動的物體，既然方向在時時刻刻的改變，那么一定有一個力在“拉”著它繞圓心轉動。這個改變它速度方向(運動方向)的力就是向心力。

再根據牛頓第二定律F=ma，從而可以得到向心加速度。類比加速度的物理意義，我們可以得到向心加速度a的物理意義，即描述圓周運動中速度方向改變快慢的物理量。進而可以得到“一個做圓周運動的物體，它的向心加速度越大，速度改變的越快。”而向心加速度的表達式為a=ω2r由此可知，向心加速度的大小跟ω(角速度)或者說ω2(角速度的平方)和r兩個變量有關系。

于是，我們可以得到“一個做圓周運動的物體，其速度改變的快慢跟角速度(或角速度平方)和它做圓周運動的這個圓的半徑有關”這個結論。

那么接下來，我們從另一個角度去看。當一個物體做圓周運動時，其角速度越大，在單位時間內轉過的角度就越大。因為角速度是描述物體轉動快慢的物理量，即高中階段圓周運動中和角度有關的唯一一個物理量，所以為了簡化問題我們把它當作勻速圓周運動來考慮。

第一種情況：設一個做勻速圓周運動的物體a的角速ωa=5rad/s，ra=3m，ta=3s.經過計算我們很自然地就可以得Δθa=15rad。

設另一個做勻速圓周運動的物體b具有與物體a同樣的角速度，且運動同樣的時間，只不過物體b運動的半徑rb=6m。經過計算可知，物體b的Δθb=15rad同物體a一樣。即物體a和物體b雖然半徑不同，但在相同的時間內由于角速度相同轉過了相同的角度，所以兩物體速度方向變化的快慢應是一樣的。

第二種情況：設一個做勻速圓周運動的物體c的角速ωc=2rad/s，rc=5m，tc=10s，我們可以計算出物體c的Δθc=20rad。另一個做勻速圓周運動的物體d的ωd=4rad/s，rd=5m，td=10s，我們依然可以計算出其Δθd=40rad。很明顯，物體d的運動半徑與物體c的運動半徑相等，但物體d的Δθd要大于物體c的Δθc，即在相同時間內物體d轉過的角度要大于物體c轉過的角度。

所以，我們可以很自然的得出在相同的時間內，物體d速度方向變化要快于物體c速度方向的變化。

經過上面兩種情況的分析，當兩物體的半徑不等而角速度相同時，在相等的時間內兩物體速度方向變化的快慢相同；當兩物體的半徑相等而角速度不等時，在相等的時間內角速度大的物體速度方向變化的快。即一個做圓周運動的物體，其速度方向改變的快慢與做圓周運動的半徑無關，只與其做圓周運動的角速度有關。

這個結論是否與根據a=ω2r所得出的結論相矛盾呢？這便是我所論述的高中階段物理學之圓周運動的速度變化快慢的沖突矛盾的問題。

然而，通過更深一步的探究，我發現加速度與向心加速度物理意義的類比過程并不準確。加速度的物理意義是“描述速度變化快慢的物理量”，但是教材中并沒有給出向心加速度的具體物理意義。教材中僅說明“Fn產生指向圓心的加速度，就是向心加速度，它始終與速度方向垂直，其表現就是速度方向的改變”，所以導致了不少同學乃至老師的誤解，認為向心加速度的物理意義就是描述圓周運動中線速度方向改變的快慢的物理量，進而導致了所謂的“矛盾”的出現。如圖所示，我們以O為圓心，以OA長為半徑做出一個圓，設其是某一質點圓周運動的軌跡。取質點在某一點A的線速度為va，方向為初始位置的方向，經過極短的時間Δt，此質點由A運動到了B，這時此質點的線速度為vb，線速度的方向發生了改變，設線速度方向偏轉的角度為Δφ，A、B兩點與圓心的連線夾角設為Δθ，由矢量的平移和幾何知識可知，Δθ=Δφ。所以，線速度方向的變化率為：。由此可見，不管定性的分析還是定量的計算，我們都可以得出線速度方向改變的快慢只和角速度有關，其相對于時間的變化率用公式表達即ω，而并非向心加速度表達式an=ω2r。

經過以上分析可知，向心加速度的物理意義是“由于線速度的方向變化而引起的那部分速度變化量的變化快慢的物理量”，而不能就此把它定結為“描述線速度方向改變快慢的物理量”這一錯誤說法。

通過這段時間對圓周運動相關知識的深入了解和探究我懂得了在現代物理學尤其是高中階段物理學中，所謂的“矛盾”和“迷之難題”是不可能出現的，而其本質就是對一些概念的模糊和錯誤的引申。所以，在今后的物理學習中，我應該加強對知識的探索與對問題的發現，然后進而通過查閱資料等方式進行解決。特別地，還應更加注意對物理概念的理解要準確，教材和資料上沒有給出明確說明的不能亂引申。

最后，對指導和幫助過我的張西星老師、王春偉老師及不辭辛苦幫我一遍遍收集資料和信息的媽媽表示深深地感謝！謝謝他們無私的幫助和關懷！

參考文獻：

[1]高中物理必修二第五章圓周運動.人民教育出版社， 2004.16-23.

[2]高中物理必修一第四章牛頓第一定.人民教育出版社， 2004.69.

[3]高中物理必修一第四章牛頓第二定律表達式.人民教育出版社， 2004.74-75.

[4]高中物理必修二第五章向心加速度表達.人民教育出版社， 2004.20-21.

[5]高中物理必修二第五章向心力.人民教育出版社， 2004.23-24.

[6]高中物理必修二第五章角速度的單位.人民教育出版社， 2004.17.