基于曲率函數(shù)的簡支梁動撓度識別研究

耿棟，王樂，沙衛(wèi)福

（1.安徽省公路工程檢測中心，安徽 合肥 230051；2.橋梁與隧道工程檢測安徽省重點實驗室，安徽 合肥 230051）

0 前言

在橋梁健康監(jiān)測中撓度作為監(jiān)測的關(guān)鍵指標(biāo)之一，可以反映橋梁的剛度，評價橋梁質(zhì)量及運營狀態(tài)[1]。橋梁的動撓度，更是橋梁變形最為實時的體現(xiàn)，反映橋梁結(jié)構(gòu)的動力特性和車輛荷載的沖擊效應(yīng)等。在橋梁撓度測量方法中，經(jīng)緯儀、水準(zhǔn)儀、百分表等方法是傳統(tǒng)的方法，但這些傳統(tǒng)的測量方法只適用于橋梁人工的短期測量。為了實現(xiàn)橋梁撓度的自動化長期測量，連通管法、激光圖像法、GPS法等一些較新的測量方法逐漸涌現(xiàn)出來，并且已應(yīng)用于橋梁撓度的測量中[2]。但是，這些較新的方法測量設(shè)備成本高昂，數(shù)據(jù)采集、存儲要求高，同時受環(huán)境影響因素多。

近年來，由于分布式光纖光柵傳感技術(shù)的成功應(yīng)用，應(yīng)變的測量效果得到了顯著提高[3]，因而使得基于應(yīng)變測試的橋梁撓度測量方法獲得了廣泛關(guān)注和研究[4]。為了實現(xiàn)基于應(yīng)變測量的橋梁動撓度識別，本文提出了一種基于曲率函數(shù)的簡支梁動撓度識別方法。其基本原理是通過安裝應(yīng)變傳感器進行梁結(jié)構(gòu)動應(yīng)變測試，利用結(jié)構(gòu)的應(yīng)變-曲率-撓度關(guān)系來識別出動撓曲線，進而實現(xiàn)對梁結(jié)構(gòu)動撓度的測量。為了驗證提出的方法的有效性及準(zhǔn)確性，本文進行了數(shù)值算例模擬，對環(huán)境激勵及移動荷載作用下的簡支梁動撓度進行了數(shù)值模擬。數(shù)值算例的結(jié)果表明，基于曲率函數(shù)識別簡支梁動撓度是可行的，且具有較高的精度。

1 應(yīng)變、撓度、曲率之間的關(guān)系

應(yīng)變是指結(jié)構(gòu)承受應(yīng)力時局部單位長度產(chǎn)生的變形量，用ε表示。對于梁結(jié)構(gòu)來說，撓度是指梁彎曲變形時軸線沿與軸線垂直方向的線位移，用v表示；其軸線在平面內(nèi)彎成的一條連續(xù)的曲線稱之為撓曲線，如圖1所示；曲率則是用來度量梁彎曲變形的程度，用k表示。

圖1 梁結(jié)構(gòu)撓曲線示意圖

圖2 梁微小單元體平面示意圖

梁結(jié)構(gòu)在彎曲變形時，在梁上取出一微小變形單元體，平面形式如圖2所示。圖中梁中性軸為線段O1O2，長度為dx，y為中性軸距梁底面的距離，ρ為曲率半徑。根據(jù)材料力學(xué)知識可知，梁在發(fā)生彎曲時中性軸長度不變，而底面軸向長度lab將發(fā)生變化，變化量為Δs。

梁底面軸向單位長度的變形量，即應(yīng)變ε大小為：

曲率半徑的倒數(shù)就是曲率，從公式（2）中看的出，在梁同一橫截面位置曲率與應(yīng)變成線性比例關(guān)系。而彎曲變形的梁結(jié)構(gòu)曲率又與撓度成一定的關(guān)系，具體的撓度與曲率關(guān)系可表示為：

公式（3）中，v表示梁上各橫截面的撓度，是以位置坐標(biāo)x為自變量的函數(shù)，其表達(dá)式稱之為撓曲線方程，公式（3）也稱之為梁撓曲線的微分方程。由于日常研究的梁結(jié)構(gòu)變形屬于小變形，撓曲線方程經(jīng)兩次微分后數(shù)值可忽略不計，因此公式（3）可寫成下式：

從公式（4）中看出，對梁曲率函數(shù)二次積分可得到梁撓曲線方程，而梁結(jié)構(gòu)上同一截面位置曲率又和應(yīng)變成線性比例關(guān)系，因此不難發(fā)現(xiàn)，通過曲率可建立起撓度和應(yīng)變之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

2 基于曲率函數(shù)識別梁結(jié)構(gòu)動撓度

假設(shè)梁結(jié)構(gòu)彎曲變形時曲率沿縱向呈線性變化關(guān)系，各橫截面曲率值可通過在對應(yīng)位置上安裝應(yīng)變傳感器獲取應(yīng)變數(shù)值，根據(jù)應(yīng)變-曲率關(guān)系式即公式（2）計算得到。計算公式中應(yīng)變測試位置距截面中性軸的距離是作為已知條件的，在實際操作中應(yīng)變測試位置距中性軸的距離可通過有限元模型計算獲得。假設(shè)梁沿縱向曲率變化關(guān)系即曲率函數(shù)為一適當(dāng)?shù)亩囗検剑嬎愠龆鄠€截面的曲率值之后，通過帶入數(shù)值可求解出曲率函數(shù)的表達(dá)式。

對于結(jié)構(gòu)形式簡單的梁來說，如簡支梁，一般彎曲變形時曲率函數(shù)可假設(shè)為二次多項式，表達(dá)式如下：

公式（5）中，a、b、c為多項式的 3 個未知系數(shù)，求解至少需帶入3次數(shù)值，因此至少將梁劃分為3個單元進行應(yīng)變測試。

在測試出3個單元中間位置橫截面的應(yīng)變數(shù)值后，通過轉(zhuǎn)換關(guān)系得到相應(yīng)位置曲率值，曲率函數(shù)多項式系數(shù)的求解按下式進行：

公式（6）中，k（xn）表示曲率函數(shù)在第 n 個單元中間截面位置曲率值，表示第n個單元的始末端橫坐標(biāo)。

顯然，假設(shè)曲率函數(shù)為二次多項式存在著誤差，為減少誤差可適當(dāng)?shù)奶岣叨囗検降碾A次，階數(shù)越高，結(jié)果越準(zhǔn)確。對于階次超過兩次時，即公式（5）的未知系數(shù)超過3個，此時需將梁劃分為多個單元進行應(yīng)變測試，曲線擬合求解最優(yōu)解[5]。

求解出梁的曲率函數(shù)，根據(jù)公式（4）可知，通過對曲率函數(shù)進行二次積分，并考慮邊界條件，可計算得出梁的撓曲線方程，具體計算公式如下：

公式（7）中，v（x）為撓曲線方程；C1和 C2為常數(shù)，可通過考慮梁的邊界條件計算得出。如若不考慮梁邊界條件的變化，C1和 C2按公式（8）、公式（9）進行計算：

基于曲率函數(shù)識別梁結(jié)構(gòu)動撓度，則對梁結(jié)構(gòu)進行動應(yīng)變測試，利用上述應(yīng)變-曲率-撓度的轉(zhuǎn)換關(guān)系識別出橋梁的動撓曲線，從而實現(xiàn)對動撓度的測量。

3 數(shù)值模擬

為了驗證本文提出的方法在識別梁結(jié)構(gòu)動撓度的有效性和準(zhǔn)確性。本小節(jié)對移動荷載作用下的簡支梁動撓度進行數(shù)值模擬。為模擬實際梁結(jié)構(gòu)所受環(huán)境激勵影響，數(shù)值模擬中對梁結(jié)構(gòu)施加了白噪聲激勵。模擬梁為工字型簡支梁，長500cm，高5cm，密度為2.7g/cm3，截面面積 2.52cm2，截面慣性矩 10.8cm4，彈性模量為70GPa。在對梁施加移動荷載之前，對梁施加一個均值為零，標(biāo)準(zhǔn)差為0.25g（g為重力加速度）的白噪聲激勵，移動荷載大小為10N，速度為1 m/s，作用時間為第3s開始，第8s結(jié)束。圖3所示為數(shù)值模擬梁的平面示意圖。

圖3 數(shù)值模擬梁的平面示意圖（單位：cm）

圖4 梁底1/3跨位置的應(yīng)變響應(yīng)

圖4所示為數(shù)值模擬梁底1/3跨位置的應(yīng)變響應(yīng)。利用梁底間距均勻的測點即1/6跨、1/3跨、1/2跨、2/3跨、5/6跨位置共5個測點的動應(yīng)變數(shù)據(jù)進行基于曲率函數(shù)的簡支梁動撓度識別，識別過程中假設(shè)曲率函數(shù)為四次多項式，將上述5個測點的應(yīng)變數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為曲率數(shù)據(jù)，帶入求解并積分獲得梁動撓曲線，從而獲得梁上每個位置的動撓度。圖5所示為梁底1/4跨位置動撓度的識別值與理論值對比，圖6所示為梁底跨中位置動撓度的識別值與理論值對比。按照公式（10）進行誤差計算，結(jié)果如圖7所示。通過圖7可看出，利用本文提出的方法識別簡支梁在移動荷載作用及環(huán)境激勵下的動撓度誤差在3%以內(nèi)，具有較高的精度。

圖5 移動荷載及環(huán)境激勵作用下梁1/4跨位置動撓度識別值與理論值對比

圖6 移動荷載及環(huán)境激勵作用下梁跨中位置動撓度識別值與理論值對比

圖7 移動荷載及環(huán)境激勵作用下簡支梁動撓度識別誤差

4 結(jié)論

本文提出了一種基于曲率函數(shù)的簡支梁動撓度識別方法。其基本原理是通過安裝應(yīng)變傳感器進行梁結(jié)構(gòu)動應(yīng)變測試，利用結(jié)構(gòu)的應(yīng)變-曲率-撓度關(guān)系來識別出動撓曲線，進而實現(xiàn)對梁結(jié)構(gòu)動撓度的測量。為了驗證提出方法的有效性及準(zhǔn)確性，本文對簡支梁的動撓度進行了數(shù)值模擬。根據(jù)數(shù)值模擬的結(jié)果，得到以下幾點結(jié)論：

①利用本文提出的方法識別簡支梁在移動荷載及環(huán)境激勵作用下動撓度誤差在3%以內(nèi)，具有較高的精度；

②根據(jù)理論推導(dǎo)可知，應(yīng)變測點的布設(shè)位置及數(shù)量會對動撓度的識別結(jié)果產(chǎn)生影響。簡支梁數(shù)值模擬結(jié)果表明，按均勻設(shè)置原則，利用5個測點動應(yīng)變足以較精確識別出簡支梁動撓度。

[1]孫鴻敏，李宏男.土木工程結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測研究進展[J].防災(zāi)減災(zāi)工程學(xué)報，2003，Vol.23:38-44.

[2]楊建春，陳偉民，橋梁結(jié)構(gòu)撓度自動監(jiān)測技術(shù)的現(xiàn)狀與發(fā)展[J].傳感器與微系統(tǒng)，2006，Vol.25:1-3.

[3]沈圣，吳智深，楊才千等.基于分布式光纖應(yīng)變傳感技術(shù)的改進共軛梁法監(jiān)測結(jié)構(gòu)變形分布研究[J].土木工程學(xué)報，2010，Vol.43:63-70.

[4]楊才千，陳紫妍，吳智深，洪萬.基于分布式光纖光柵傳感的結(jié)構(gòu)變形監(jiān)測研究[J].第四屆大跨徑橋梁結(jié)構(gòu)損傷預(yù)警及狀態(tài)評估技術(shù)研討會，南京，2012，172:-179.

[5]徐文華，孫學(xué)棟.奇異值分解求線性最小二乘解的理論分析[J].貴陽學(xué)院學(xué)報，2009，Vol.4 No.4.