常見不定積分類型題的計(jì)算方法分析

摘 要：不定積分的積分法歷來(lái)是一元函數(shù)積分學(xué)的重點(diǎn)，是整個(gè)積分學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)。同時(shí)，也是后續(xù)專業(yè)課中積分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)和難點(diǎn)。對(duì)于一元函數(shù)不定積分的求解，每年都是專升本考試中的必考內(nèi)容，也是學(xué)生比較難以掌握的知識(shí)點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：一元函數(shù)；換元；不定積分；分部積分

1 不定積分的概念

函數(shù)的全部原函數(shù)叫作的不定積分，記作：.

其中“∫”稱為積分號(hào)，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，x稱為積分變量[1].

由上面的討論可知，如果是的一個(gè)原函數(shù)，則有：

其中C是任意常數(shù)，稱為積分常數(shù).

注意：不定積分的實(shí)質(zhì)就是通過(guò)導(dǎo)數(shù)尋找原函數(shù)。

2 不定積分的求解

2.1 被積函數(shù)為一個(gè)函數(shù)的情形

1、被積函數(shù)為一個(gè)未復(fù)合的函數(shù)

（1）直接公式法

直接用不定積分的基本公式與性質(zhì)求不定積分，或者對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮愕茸冃?/p>

（包括代數(shù)變形與三角變形），再利用不定積分基本公式與

性質(zhì)求不定積分的方法叫作直接積分法[2].例如，。

（2）分部積分法

設(shè)函數(shù)與具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)[3]，則有分部積分公式

或簡(jiǎn)寫為.

注：對(duì)于u和v'的確定上常采用確定v'的方法進(jìn)行：v'的選擇按照以下優(yōu)先選擇方法：指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)。

例如

當(dāng)被積函數(shù)為一個(gè)函數(shù)且不能由直接積分法求得時(shí)，采用分部積分法求解。

如，即可。

2、被積函數(shù)為一個(gè)且復(fù)合的函數(shù)

對(duì)于被積函數(shù)為一個(gè)且是復(fù)合函數(shù)的積分，常采用換元法將復(fù)合部分代換求解。

例如，

注意：當(dāng)換元以后的積分采用的積分方法為：被積函數(shù)為一個(gè)未復(fù)合的函數(shù)。

2.2 被積函數(shù)為兩個(gè)函數(shù)的情形

1、被積函數(shù)均為不復(fù)合函數(shù)

（1）一個(gè)函數(shù)與另一個(gè)函數(shù)沒有導(dǎo)數(shù)關(guān)系的情形

當(dāng)一個(gè)函數(shù)與另一個(gè)函數(shù)沒有導(dǎo)數(shù)關(guān)系時(shí)，采用的方法為：分部積分法。

例如，，

（2）一個(gè)函數(shù)與另一個(gè)函數(shù)有導(dǎo)數(shù)關(guān)系的情形

例如，，因?yàn)?/p>

當(dāng)一個(gè)函數(shù)與另一個(gè)函數(shù)沒有導(dǎo)數(shù)關(guān)系時(shí)，采用的方法為：分部積分法。

2、被積函數(shù)一個(gè)復(fù)合而另一個(gè)未復(fù)合

（1）復(fù)合函數(shù)的復(fù)合部分導(dǎo)數(shù)是另一個(gè)函數(shù)的常數(shù)倍的情形

復(fù)合函數(shù)的復(fù)合部分導(dǎo)數(shù)是另一個(gè)函數(shù)的常數(shù)倍時(shí)，采用方法為：湊微分換元法。

（2）復(fù)合函數(shù)的復(fù)合部分導(dǎo)數(shù)不是另一個(gè)函數(shù)的常數(shù)倍的情形

當(dāng)復(fù)合函數(shù)的復(fù)合部分導(dǎo)數(shù)不是另一個(gè)函數(shù)的常數(shù)倍時(shí)，采用換元法將復(fù)合部分代換，然后求解。

3、被積函數(shù)為兩個(gè)均為復(fù)合的函數(shù)

若被積函數(shù)為兩個(gè)均復(fù)合的函數(shù)，先進(jìn)行分解，再兩用上述方法對(duì)應(yīng)求解。

例如，

對(duì)于采用換元法：對(duì)于，首先采用換元法，變形為：，再利用分部積分法求解。

2.3 被積函數(shù)為兩個(gè)以上函數(shù)

對(duì)于被積函數(shù)為兩個(gè)或兩個(gè)以上的函數(shù)，常采用合并轉(zhuǎn)化為一個(gè)獲兩個(gè)函數(shù)進(jìn)行求解。

例如，，首先利用積化和差公式將進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行分解求解。

2.4 被積函數(shù)為二次根式類型

被積函數(shù)為二次根式類型的積分采用兩種方法進(jìn)行求解。

1、直接公式法

例如，.

2、三角代換法

當(dāng)直接公式法無(wú)法求解時(shí)，常采用三角代換法[4]。

例如，，令，

則.再利用相應(yīng)的方法進(jìn)行求解即可。

3 總結(jié)

以上就是一元函數(shù)的不定積分的常見題目的方法分析，在相應(yīng)題目的計(jì)算上，應(yīng)具體問題具體分析，尋求簡(jiǎn)單準(zhǔn)確的方法進(jìn)行計(jì)算，達(dá)到快速準(zhǔn)確的目的。

基金項(xiàng)目：瀘州職業(yè)技術(shù)學(xué)院2015年度院級(jí)教改項(xiàng)目（JG-201504）；瀘州市職業(yè)教育研究中心2016年度研究課題（LZJY-2016-18）

參考文獻(xiàn)

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]葉永春，朱勤.高等數(shù)學(xué)及應(yīng)用[M].北京：北京大學(xué)出版社，2014.

[3]熊慶如.高等數(shù)學(xué)[M].西安：西安交通出版社，2015.

[4]陳廣生.高職院校《高等數(shù)學(xué)》課堂教學(xué)最優(yōu)化研究[J].大眾科技，2010，（12）.

作者簡(jiǎn)介：

張延利（1980.9-），男，山東萊蕪人，碩士，講師，從事高等數(shù)學(xué)教學(xué)。

（作者單位：瀘州職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部）