單位圓在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

摘 要：?jiǎn)挝粓A是最簡(jiǎn)單的一類(lèi)數(shù)學(xué)建模，也是數(shù)形結(jié)合最好的典范，在高中數(shù)學(xué)以及數(shù)學(xué)高考、數(shù)學(xué)競(jìng)賽中有著極其廣泛的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：?jiǎn)挝粓A

偉大的神學(xué)家兼數(shù)學(xué)家——畢達(dá)哥拉斯在生前，總認(rèn)為自然界的萬(wàn)事萬(wàn)物是可以用數(shù)來(lái)量度的.雖然窮其一生都沒(méi)有完成這個(gè)心愿，但是這種偉大的哲學(xué)思想，卻使人類(lèi)能夠更準(zhǔn)確地深刻認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì)，以至于在他臨死前還堅(jiān)信：“數(shù)是萬(wàn)物之母”.追溯本原，人類(lèi)從自然界中最早抽象出來(lái)的幾何實(shí)體就是圓，最后縮影顯微在單位圓中，用“0”來(lái)刻畫(huà)來(lái)量度，并加以認(rèn)識(shí)放大，體現(xiàn)了人類(lèi)從無(wú)知到有知、從野蠻到文明的認(rèn)識(shí)發(fā)展過(guò)程.所以說(shuō)“0”既是數(shù)也是圖形.單位圓中蘊(yùn)含的無(wú)窮無(wú)盡的數(shù)，正是體現(xiàn)了人類(lèi)認(rèn)識(shí)自然用簡(jiǎn)化繁、以一馭萬(wàn)的自信和偉大.

單位圓是最簡(jiǎn)單的一類(lèi)數(shù)學(xué)建模，也是數(shù)形結(jié)合最好的典

范.我們知道，割圓極限問(wèn)題，圓周率的計(jì)算，推導(dǎo)-α、±α、π±α的誘導(dǎo)公式，作正弦函數(shù)圖象都應(yīng)用到了單位圓.當(dāng)然，單位圓在高中數(shù)學(xué)以及數(shù)學(xué)高考、數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，還有著許多廣泛的應(yīng)用.下面掛一漏萬(wàn)諸一羅列如下，以飧讀者.

一、利用單位圓求點(diǎn)的坐標(biāo)

在單位圓上，點(diǎn)、坐標(biāo)與三角函數(shù)值之間是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.我們不僅利用單位圓可以求三角函數(shù)值，也可以在單位圓上求各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo).

例1 點(diǎn)P從（1，0）出發(fā)，沿單位圓逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)Q點(diǎn)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（ ）.（2004年全國(guó)卷，理第2題，文第5題）

（A） （B）

（C） （D）

分析：如圖1.由單位圓的知識(shí)易得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

，即故應(yīng)選（A）.

簡(jiǎn)評(píng)：深刻地體現(xiàn)了點(diǎn)、坐標(biāo)與函數(shù)值之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.

二、利用單位圓求線段的長(zhǎng)度

在學(xué)習(xí)新知識(shí)遇到新問(wèn)題時(shí)能舉一反三應(yīng)用到單位圓，這是好的思維習(xí)慣和學(xué)習(xí)方法，不僅可以達(dá)到事半功倍的效果，也是高考考試命題所大力提倡的.

例2 在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A（cos80°，sin80°），B（cos20°，sin80°），那么則AB長(zhǎng)度的值是什么？（2002年北京卷，第2題）

分析：這個(gè)題目如果有意識(shí)地運(yùn)用單位圓，把A、B兩點(diǎn)看作是單位圓上的點(diǎn)，那么這兩個(gè)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連接起來(lái)得到的∠AOB=80°-20°= 60°.這樣△AOB就是一個(gè)等邊三角形.所以AB的長(zhǎng)度就是單位圓的半徑，即為1.

簡(jiǎn)評(píng)：清楚地提示了點(diǎn)與線段之間的關(guān)系.

三、利用單位圓判斷三角函數(shù)值的大小關(guān)系

利用三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)關(guān)系式、兩角和與差公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等公式定理計(jì)算三角函數(shù)值，往往會(huì)出現(xiàn)步驟繁瑣、過(guò)程冗長(zhǎng)、計(jì)算容易出錯(cuò)等問(wèn)題.如果利用單位圓卻可以彌補(bǔ)存在的這些缺陷和錯(cuò)誤.同時(shí)，還可以培養(yǎng)學(xué)生的形象思想和抽象思維.

例3 已知，則下列正確的是（ ）

（A） （B）

（C） （D）

分析：取，則.，.顯然

，所以.故應(yīng)選（D）.

另解：如圖2.∵，角θ的終邊與單位圓的交點(diǎn)是P點(diǎn)，則在其終邊上另取一點(diǎn)C.易知OA=cosθ，PA=sinθ，BC=tanθ∴BC>OA>PA，即.故應(yīng)選（D）.

簡(jiǎn)評(píng)：應(yīng)用單位圓以簡(jiǎn)馭繁，有“四兩撥千斤”之效.

四、利用單位圓證明兩個(gè)正數(shù)的均值不等式

均值不等式在生活中已經(jīng)有著極其廣泛的應(yīng)用，但是理解均值不等式要在正數(shù)這個(gè)條件下，卻對(duì)大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一件十分頭痛的事情.倘若借助于單位圓，就可以使學(xué)生茅塞頓開(kāi)，打消學(xué)生頭腦中存在的這種一知半解的疑慮，并幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)均值不等式的數(shù)學(xué)本質(zhì).

例4，證明：當(dāng)，則有

分析：如圖3，作CE⊥AB，取AE=a，BE=b，則，

在Rt△ABC中，由射影定理，得

，

∴

又∵OD≥CE，∴≥

簡(jiǎn)評(píng)：應(yīng)用單位圓，可以幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)均值不等式蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)和數(shù)學(xué)美.

五、利用單位圓證明三角等式

三角等式符號(hào)多、解法靈活、一題多解，符合學(xué)生的心理特征和認(rèn)知特點(diǎn)，如果借助單位圓解決三角等式問(wèn)題，不僅可以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和學(xué)習(xí)興趣，還可以提高學(xué)生的抽象思維能力和邏輯推理能力.

例5 已知：sinA+sin3A+sin5A=a，cosA+cos3A+cos5A=b.求證：當(dāng)b≠0時(shí)，tan3A=a/b.

證明：如圖4，因三點(diǎn)A（cosA，sinA）、B（cos3A，sin3A）、C（cos5A，sin5A），均在單位圓上，連結(jié)OA、OB、OC，則有∠AOB=∠BOC=2A，于是BA=BC，△ABC為等腰三角形，其重心必在BO上.又△ABC的重心坐標(biāo)為

故tan3A=a/b.

簡(jiǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)建模是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，而構(gòu)造單位圓有利于學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng).

六、利用單位圓巧解IMO和數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題

IMO和數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題難度大、知識(shí)容量豐富，用常規(guī)解法不易求解，

很難奏效.如果把握住其宗旨是重在培養(yǎng)創(chuàng)新思想、創(chuàng)新意識(shí)，那么打破思維常規(guī)，另辟蹊徑，可能會(huì)“山窮水盡疑無(wú)路，柳暗花明又一村”.

例6 證明：.（1996年第12屆前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）

分析：本題若用三角方法來(lái)證明，則很難奏效.倘若借助單位圓，利用面積公式，便可得證.

在如圖5的單位圓中，不妨取，有

例7（1989年IMO第2題）設(shè)為實(shí)數(shù)，且

.

試證：

分析：只須證明

即證：

設(shè)A（cosx，sinx），B（cosy，siny），C（cosz，sinz）為單位圓上的三點(diǎn)，則分別過(guò)A、B、C作x軸、y軸的垂線得到如圖6中的3個(gè)矩形，若設(shè)其面積分別為s1、s2、s3，（1）左端就是s1、s2、

s3之和，顯然，這就證得了結(jié)論.

簡(jiǎn)評(píng)：兩例解法簡(jiǎn)捷、直觀，溝通了數(shù)學(xué)知識(shí)的相互聯(lián)系，有利于開(kāi)拓學(xué)生的解題思路，有利于提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，從而增強(qiáng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新思想.

七、利用單位圓解決簡(jiǎn)諧振動(dòng)應(yīng)用題

簡(jiǎn)諧振動(dòng)是最簡(jiǎn)單的一類(lèi)機(jī)械振動(dòng)，其圖象是一條正弦曲線.也就是說(shuō)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的數(shù)學(xué)模型是單位圓，規(guī)律正是正弦型函數(shù)在物理機(jī)械運(yùn)動(dòng)學(xué)中的具體運(yùn)用.在數(shù)學(xué)問(wèn)題中，單位圓是最簡(jiǎn)單的一類(lèi)數(shù)學(xué)模型，而建立數(shù)學(xué)模型是學(xué)習(xí)中學(xué)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，也是解決實(shí)際問(wèn)題的有效手段.如果巧妙地將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單位圓這個(gè)數(shù)學(xué)模型，可能使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而揭開(kāi)自然界的神秘面紗，有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心和原動(dòng)力.

例8 發(fā)電廠發(fā)出的電是三相交流電，它的三根導(dǎo)線的電流強(qiáng)度分別是時(shí)間t的函數(shù).，求

解：在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，容易得

三點(diǎn)均在單位圓上.又因?yàn)?/p>

故A、B、C三

點(diǎn)是一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，所以的重心G與外心O（坐標(biāo)原點(diǎn)）重合，而重心G的縱坐標(biāo)是：

簡(jiǎn)評(píng)：物理問(wèn)題數(shù)學(xué)化，打破了學(xué)科領(lǐng)域的禁區(qū)，使思維變得明朗化.

八、利用單位圓求最值

單純從集合、函數(shù)、方程、不等式、三角、解幾、立幾等方向來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題也可能使問(wèn)題變得復(fù)雜，導(dǎo)致思維僵化，走進(jìn)了死胡同.但是利用單位圓，換一個(gè)角度重新思考數(shù)學(xué)問(wèn)題，可能會(huì)出現(xiàn)“柳暗花明又一村”的不可臆想效果.

例9 求使不等式（a>0，y>0）恒成立的a的最小值.

分析：此不等式可以轉(zhuǎn)化為

通過(guò)拆項(xiàng)，借助于換元法和數(shù)形結(jié)合，在單位圓中，便發(fā)現(xiàn)了一個(gè)特殊的隱含條件：

簡(jiǎn)評(píng)：真可謂“他山之石可以攻玉”.

九、利用單位圓解決解析幾何問(wèn)題

通過(guò)解析幾何的辦法來(lái)判斷直線與圓的位置關(guān)系復(fù)雜、繁瑣，過(guò)程又冗長(zhǎng)，不利于解決實(shí)際問(wèn)題.如果借助于單位圓巧妙地將一個(gè)復(fù)雜的代數(shù)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為比較簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題引刃而解，這不能不說(shuō)是單位圓的橋梁媒介作用，也顯示出了數(shù)形結(jié)合思想的強(qiáng)大數(shù)學(xué)魅力.

例10 設(shè)點(diǎn)P（x0，y0）位于單位圓x2+y2=1的外部，則直線x0x+y0y=1與此圓的位置關(guān)系是（ ）

（A）相離 （B）相切 （C）相交 （D）不能確定

分析：如圖7.點(diǎn)P（x0，y0）是單位圓外部的一點(diǎn)，則直線x0x+y0y=1是過(guò)點(diǎn)P且以O(shè)P為半徑的圓上的一條切線，顯然與單位圓x2+y2=1的位置關(guān)系是相離.

點(diǎn)評(píng)：利用單位圓，再借助于數(shù)形結(jié)合的思想，判斷直線與圓的位置關(guān)系準(zhǔn)確、速度快、不易出錯(cuò) .

十、利用單位圓證明兩角和與差的余弦公式

證明兩角和與差的余弦公式，雖然證明方法多，但都是在單位圓中解決的.為此，借助于向量的知識(shí)，來(lái)管窺單位圓在數(shù)學(xué)中的地位與作用.

例11 證明公式：

分析：如圖8.在單位圓中作向量OA、OB，與x軸正向的夾角分別是α、β，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（cosα，sinα），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（cosβ，sinβ），則有

又，則等式成立.

當(dāng)然，由α+β=α-（-β）代入兩角差的余弦公式，便可推導(dǎo)出兩角和的余弦公式：

COS（α+β）=COSαCOSβ - SinαSinβ.

簡(jiǎn)評(píng)：?jiǎn)挝粓A與向量的結(jié)合是一種新的思想方法，打破了學(xué)生的常規(guī)思維習(xí)慣，形成了新的探索途徑，容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新意識(shí)，使學(xué)生積極參與到課堂教學(xué)中來(lái)，體驗(yàn)在互動(dòng)學(xué)習(xí)中的快樂(lè)和樂(lè)趣.

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（作者單位：浙江省義烏市國(guó)際商貿(mào)學(xué)校）