初中不等式教學的探究

摘 要：不等式是初中教學的主要內容，是分析、解決數學問題的重要工具，是歷年中考的重點、熱點。它貫穿整個初中數學，融合集合問題，方程（組）的解的討論，函數的性質，與代數、幾何知識交叉、滲透，充分體現出不等式的極強的輻射作用。

關鍵詞：初中；不等式；理解；方程；函數

一直以來，學生在數學學習中接觸的都是等式，習慣了由等號鏈接起來的式子，學生對于不等式的學習既充滿了好奇，又感到有一定的挑戰。在這樣的情形下，教師必須加強對學生的引導，善于采用正確的教學方法，通過尋求不同思維達到解題效果來激發學生對數學學習的興趣。在教學過程中，我有如下的幾點做法：

一、注重學生對概念的理解

教學中不僅要求學生理解概念，而且還要使學生熟記并靈活地運用概念。我認為概念的記憶與應用是相輔相成的。因此在教學中，加強練習、及時復習并做歸納整理，對鞏固概念具有特殊意義。

（一）不等式性質的理解：

不等式性質有三：

① 不等式性質1：不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數（或式子），不等號的方向不變；

② 不等式性質2：不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；

③ 不等式性質3：不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變。

例如：解不等式：

解：

去分母： （依據：不等式性質2）

去括號： （依據：乘法分配律）

移項： （依據：不等式性質1）

合并同類項： （依據：乘法分配律）

系數化為1： （依據：不等式性質3）

不等式組解集口訣的理解：

解一元一次不等式組的解集的口訣：“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到”（前提：一個含有兩個不等式的一元一次不等式組中的兩個不等式最后均已經變成最簡形式，即已經求出各自的解集）

四句的含義解釋如下（用x 表示未知數，且設a>b）：

1、“同大取大”中的“同大”就是兩個不等式同是大于號“>”，“取大”就是取兩個數中較大者作為不等式組的解集，即如果原不等式組最后化為：x>a，x>b。在a，b當中取大的那一個，即不等式組的解集是：x>a。

2、“同小取小”中的“同小”就是兩個不等式同是小于號“<”，“取小”就是取兩個數中較小者作為不等式組的解集，即如果原不等式組最后化為：x

3、“大小小大中間找”中，“大小”中的“大”指第一個不等式是“大于”（>）號，“小”指第一個不等式的右邊是兩個數中較“小”的一個（b）。同樣，“小大”中的“小”指第二個不等式是“小于”（<）號，“大”指第二個不等式的右邊是兩個數中較“大”的一個（a）。如果是這樣的情況，原不等式組的解集是兩個數a，b之間的部分，即如果原不等式組最后化為：xb，則不等式組的解集是：b

4、“大大小小找不到”，“大大”中第一個“大”指第一個不等式是“大于”（>）號，后一個“大”指第一個不等式的右邊是兩個數中較“大”的一個（a）。同樣“小小”中的第一個“小”指第二個不等式是“小于”（<）號，后一個“小”指第二個不等式的右邊是兩個數中較“小”的一個（b）。如果是這樣的情況，原不等式組就沒有解，即如果原不等式組最后化為：x>a，xb，無解。

例如：若關于x的不等式組 無解，求a的取值范圍？

分析：由不等式①，得：x。即a<1。這是一個大范圍的取值，還得考慮a=1的可行性。而實質上，當a<1 和 a=1時，即a≤1，都可使到原不等式組無解。故此，a的取值范圍是a<1。

要想提高教學質量，教師用心講好概念是非常重要的，既要落實雙基的前提，又是使學生發展智力，培養能力的關鍵。更重要的是在學生形成概念之后，要善于為學生創造條件，使學生經常地運用概念，才能有更大的飛躍。

二、注重學生對知識的縱向聯系

初中數學的每一個知識點都不是孤立的，而是相互聯系的，數學知識之間的存在著縱向聯系。在數學教學中，應該加強數學知識前后聯系的把握、內在聯系的探究、滲透，開拓學生的思維，培養學生的發現問題、分析問題、解決問題和創新能力。

（一）不等式與方程的聯系

1、與一元一次方程的聯系

例如：已知關于x的方程 的解為正數，則k的取值范圍是__ _________

這樣的一個等式關系式，同學們往往找不到解題的方向，容易將方程與不等式的知識點混淆。對于這種的題型，必須讓學生掌握解題的思路與技巧：

x第一步：解關于 的一元一次方程

移項：

合并同類項：

系數化為1：

第二步：根據題目的條件，此方程的解是正數，就是說 x>0，即1+k>0，第三步：轉化為關于k的一元一次不等式。故此，求得

k的取值范圍是：k>-1。

2、與二元一次方程組的聯系

例如：若關于x、y的二元一次方程組 的

解滿足 ，求K的取值范圍？

在這兩組關系中，共有三個字母，直接求出它們的值是不能的事。對這樣的條件，學生們同樣會遇到阻滯，找不到解題的突破口。其實，這種題型跟上面的思想基本一致，應當先解方程（組），再轉化為解不等式（組）的問題：

第一步：解關于 x 、y 的方程組：

第二步：求

第三步：根據題目的條件：，即

。

第四步：轉化為關于k不等式組 ，解得 。

（二）不等式與函數的聯系

我們既可以運用函數圖象解不等式，也可以運用解不等式幫助研究函數問題，二者相互滲透，相互作用。

1、一元一次不等式與一次函數

函數解析式：y=k+b（k、b是常數，k≠0）中，如果變為k+b>0（的情況類似）或k+b<0（的情況類似），那么就是不等式了。實際上，以上兩個不等式分別對應一次函數y=k+b（k、b是常數，k≠0）的圖像在x軸上方和x下方的情況。而不等式k+b>0和k+b<0的解分別是一次函數y=k+b（k、b是常數，k≠0）的圖像上方部分對應的自變量x的范圍和下方部分對應的自變量x的范圍。

例如不等式所對應的是一次函數在x軸上方部分的圖像。該不等式的解為在軸上方部分的圖像所對應的自變量x的范圍，即x>-2。

2、一元二次不等式與二次函數

在二次函數中，這種不等式和函數的對應關系同樣適用。例

如：的圖像如下圖所示：不等式的解

為二次函數

圖像上在x軸上方的部分，不等式的

解為：x<-6 或x>0。同理 的解

為-6

系數大于零，后面是大于號的取兩邊（即小于最小根，大于最大根），后面是小于號的取中間（大于最小根，小于最大根）”的性質。對于二次項系數小于零的不等式，可以通過在兩邊同時乘以-1將二次項系數變為正數。

從上面的現象可以得出不等式和函數的關系：不等式f（x）>0對應的是函數f（x）圖像上在x軸上方的部分，不等式f（x）>0的解就是函數f（x）圖像上在x軸上方的部分所對應的自變量x的取值范圍。不等式f（x）<0對應的是函數f（x）圖像上在x軸下方的部分，不等式f（x）<0的解就是函數f（x）圖像上在x軸下方的部分所對應的自變量x的取值范圍。

問題是數學的心臟，數學學習離不開解題，中學數學教學的目的，歸根結底在于培養學生的解題能力，和學生獨立思考的能力。引導學生主動去對數學不等式知識進行探究，通過結合所學的數學知識來形成一個完整的知識網絡，以幫助學生完成更深入地數學知識探究，提高學生學習不等式的效率！

（作者單位：廣東省開平市金山中學）