淺談二次函數中參數問題解決方法

劉茜

摘要：隨著新課改進程的加快，教材在內容及結構上也開始日益變化，來達到素質教育的要求。高中數學應注重提高學生的數學思維能力，同時也是新課改中重要組成部分。可是無論怎樣變更，對于數學問題而言，解題方法永遠是重要的一點，而眾多問題中，含參問題的討論則是高中數學的重中之重，它也是歷年考試中的必考內容，并且對最近幾年的試題分析情況來看，分值略有上升趨勢。

關鍵詞：數學思想；參數問題；高中數學；分類討論

縱觀整個中學數學，參數問題是一條貫穿其中的脈絡，參數與函數的定義域，值域（最值）相結合；與單調性結合；與方程問題相結合；與恒成立問題相結合。可謂參數問題在高中數學中無處不在。含參數問題的討論，是訓練和檢查學生邏輯推理能力和分析問題能力的一種綜合題型.求解這類問題的方法不復雜，但在一定程度上反映了學生數學素養的高低，因此，一直為人們所重視。

一般來講，絕大數需要利用分類討論的數學問題都是含參問題，由于參數所在的范圍的不同導致相應的數學模型的變化，從而必須在各種不同的具體情境下求解問題，但同時還要注意認真審查題目的特點，充分挖掘求解問題中潛在的特殊性和簡單性。

在現今的素質教育中，培養學生的自主思考能力是其中一個重要方面。而含參數的函數問題是高中數學中的一類重要問題，滲透著化歸轉化、分類討論等思想方法。加強對此類問題的研究與訓練有利于培養思維的靈活性、創造性，對提升綜合解題能力大有裨益。

二次函數中的含參問題大致分為與二次函數和一元二次方程定義交匯、與二次函數的單調性問題交匯、以及與圖像和二次函數性質等問題交匯。下面筆者將從這幾個方面給出常見問題解決的方法和幾點建議。

一、與二次函數性質相結合

（1）二次函數奇偶性問題

（2012年溫州測試）已知二次函數f（x）=x2-ax+4，若f（x+1）是偶函數，則實數a的值為______。答案：a=2 （解題過程省）

（2）二次函數的最值

關于這類含參二次函數求最值問題，是高考的熱點。也是日后學習微分中參數恒成立問題的鋪墊。

二次函數求最值問題，首先采用配方法化為y=a（x-m）2+n的形式，得頂點（m，n）和對稱軸方程x=m結合二次函數的圖象求解，常見有三種類型：

①頂點固定，區間也固定；

②頂點中含有參數，頂點是動點，而區間固定區間，這時就需要討論頂點橫坐標與定區間之間的關系，配合單調性，求出范圍；

③頂點固定，區間變動，這時要討論區間中的參數。

討論的目的是確定對稱軸和區間的關系，明確函數單調性情況，從而確定函數的最值。

[例1]（軸動區間定）已知函數f（x）=-x2+2ax+1-a在x[0，1]時有最大值為2，求a的取值范圍。

解：函數f（x）=-x2+2ax+1-a=-（x-a）2+a2-a+1對稱軸方程為x=a

（ⅰ）當a<0時，f（x）max= f（x）=1-a所以1-a=2，所以a=-1

（ⅱ）當0 ≤ a ≤ 1時，f（x）max=a2-a+1所以a2-a+1=2

所以

（舍）

（ⅲ）當

綜上可知 a=-1或a=2

在討論過程中，要按照對稱軸與區間之間的關系進行討論。

[例2]（軸定區間動）函數f（x）= x2-2x+2在閉區間[t，t+1]（tR），記為g（t）。試寫出g（t）的函數表達式。

解：因為f（x）= x2-2x+2=（x-1）2+1

當t+1<1，即t<0時，函數[t， t+1]上為減函數。g（t）= f（t+1） =t2+1

當t<1≤ t+1，即0≤ t <0時，g（t）= f（t）=1

當t ≥1，函數[t， t+1]上為增函數。

所以g（t）= f（t）=t2-2t+2所以

在做這類軸定區間動的題時，一定要找好“標桿”----就是對稱軸。

（3）恒成立問題轉化二次函數

確定恒成立中參數的取值范圍需要靈活應用函數與不等式的基礎知識，并時常要在兩者間進行合理交匯。在函數思想的指引下，將其轉化為與函數有關的問題。常用的方法有：分離參數，變更主元，借助函數圖象等。

[例3]若x（1，2），不等式x2+mx+4<0恒成立，求m的取值

范圍。

分析 由于本題目中x的取值范，可以判斷不等號的方向，能夠分離參數出來，可以用不等式m>f （x）恒成立m>[ f （x）]max；不等式m< f （x）恒成立m<[ f （x）]min，求出m范圍。

解法 1：因為x（1，2），不等式x2+mx+4<0恒成立，

所以mx-x2-4即m<-（x+

）對x（1，2）恒成立， 令f（x）=-（x+

） （1

依據題意得m ≤ [ f （x）]min，當x（1，2）時可求得-5< f （x）<-4，

所以m ≤ -5。

解法 2：（函數思想）設f （x）= x2+mx+4

則由二次函數圖象可得

得m ≤ -5，即m取值范圍是{m|m ≤ -5}。

分離參數的方法學生容易理解和掌握，但是某些含參恒成立問題，在分離參數會遇到討論麻煩或是即使能容易分離參數與變量，但函數的最值卻難以求出時。這種方法就不適用了。

[例4]對任意的|m| ≤ 2，函數f （x）=mx2-2x+1-m的值恒小于零，求x的取值范圍。

分析 明顯看出類似這種問題，分離參數很困難，不過我們會發現含有的參數m為一次項，于是我們可以用變換主元變量的方法。

解：對任意的|m| ≤ 2， mx2-2x+1-m<0恒成立， 等價于（x2-1）m -2x+1<0恒成立。

設g（x）=（x2-1）m-2x+1，則g（m）是關于m的一次函數依據圖象與性質，

當-2 ≤ m ≤ 2，g（m）<0恒成立等價于

即x的取值范圍是（

）

本例題在解題時把變元與參數換個位置，再結合一次函數的知識，得到了出奇制勝的效果，將一道原本復雜的問題轉化的非常簡單。

參考文獻：

[1]吳磊.如何求解含有參數的復數問題[J].中學生數理化（高二版），2011（03）

[2]孔令頤.突出重點 強化訓練--2000年高考數學試題中與參數有關的內容[J].考試，2000（12）