基于自導向副彈塑性變形的深孔軸線偏斜研究

龐俊忠 李鵬飛 黃曉斌

中北大學機械工程學院，太原,030051

0 引言

在機械加工行業，深孔加工是一種較為重要的加工方式。隨著機械工業的發展和制造工藝的提高，深孔加工技術在諸多行業中得到了廣泛的應用，同時高精、高質深孔的加工也越來越多，但始終存在一個重大問題困擾著深孔加工制造業，即深孔鉆削中的孔軸線偏斜，因此開展孔軸線偏斜問題的研究具有現實意義[1]。

深孔軸線偏斜是一個復雜的動力學問題，并且隨著加工深度的增加，偏斜量是一個逐漸擴大的過程，如果加工過程不對初始偏斜進行矯正，孔軸線偏斜量會隨著孔深的加大而增大。國內外學者對孔軸線偏斜問題進行了研究。BIERMANN等[2]根據拓撲優化原理，對刀具進行切削力優化，以增大BTA深孔鉆的排屑口，改善了排屑效果； AL-HAMDAN[3]研究了工件旋轉軸線和刀具中心有不同誤差時對切削力和扭矩的影響，結果顯示，誤差越大，影響越大；楊樣等[4]研究了槍鉆加工深孔時提高深孔直線度的方法，主要針對加工的穩定度進行了分析研究。

這些研究多集中于深孔表面粗糙度、圓度、直線度控制、系統振動等，沒有考慮刀具的自導向特征。所謂自導向，就是刀具不借助外加導向定位裝置就可依靠自身導向條與已加工孔的表面形成導向副，以已加工孔壁作為導向。這種導向副和通常所說的機床上的導軌副作用是類似的，在軸線方向可以把已加工孔壁看成固定導軌，導向條看成移動導軌，但固定導軌的材料和狀態是由被加工工件決定的，不同的工件材料機械性能差別很大，與導向條接觸的已加工孔壁彈塑性變形將極大地直接影響深孔軸線的偏斜，導致進出口偏差。由于工件的材料狀態無法改變，故刀具導向條和刀刃的結構及幾何參數、刀具工作條件等對深孔軸線的偏斜造成決定性的影響。

本文根據工件材料、鉆孔直徑、刀刃幾何參數等，建立了自導向刀具的受力模型。基于深孔刀具的自導向機理，借助Hertz接觸理論，結合鉆削實驗得到的深孔偏斜數據，建立了一個預測深孔軸線偏斜的數學模型，并依據該模型分析了導向條滯后量對軸線偏斜的影響。

1 自導向刀具偏斜分析

孔軸線的偏斜，不管影響因素有哪些，在穩定切削的情況下，最終都必須通過自導向副來起作用，這是自導向深孔刀具的根本特點。如圖1所示，導向條與工件內壁相接觸的切線為導條接觸線，假設刀具為理想的剛性體，在正常工作狀態，刀具工作的理想軸線會與導條接觸線始終保持平行。實際工作中，由于各因素的綜合影響會導致導向接觸線發生偏斜，進而造成深孔刀具發生軸線偏斜，即導向條接觸線決定了刀具軸線的狀態[5]。因此，導向副的工作狀態是決定自導向刀具是否發生軸線偏斜的根本原因。

圖1 刀具軸線偏斜圖Fig.1 The axis deflection diagram of tool

2 BTA深孔鉆導向副分析

2.1 導向副受力計算

對自導向刀具的導向副狀態進行深入研究，建立導向副的受力模型，如圖2所示，導向條1、2分別受到正壓力FG1、FG2，以及正壓力引起的摩擦力μFG1、μFG2。

圖2 單齒BTA深孔鉆受力圖Fig.2 Drilling force diagram of single tooth BTA deep hole drill

根據受力模型可計算出穩定切削狀態下導向條1、2上所受的正壓力：

(1)

式中，Fx=-FN，FN為刀齒的主切削力；Fy=FR，FR為刀齒徑向切削力；α、β為導向條的位置角，α=85°±5°，β=183°±5°，本文取α=90°，β=180°；μ為摩擦因數。

2.2 導向副載荷形式分析

研究自導向刀具的軸線偏斜首先需要深入分析導向副的受力狀態，在此基礎上建立導向副的偏斜模型[6]。在穩定切削階段，對導向條及其一側的刀體進行受力分析，導向條承受來自工件內壁的正壓力FGi(i=1，2)，以及一側的刀體承受支撐力F，兩力的方向相反，大小相等，即|F|=|FGi|(i=1，2)。設導向條的長度為2L，導向條的滯后量為E，如圖2所示，力的支點為“Δ”，如圖3所示。力F對支點“Δ”會產生力距M，為使刀體同時達到力和力矩平衡，則導向條上必然有載荷作用，由力平衡可知導向條受到均布載荷q1作用，如圖3a所示；又由力矩平衡可知導向條受到分布載荷q2作用，如圖3b所示，因此導向條所受的載荷為q1和q2的疊加。

(a)均布載荷

(b)對三角分布載荷圖3 導向條載荷圖Fig.3 The load diagram of guide bar

根據平衡條件可得

(2)

由M=F(E+L)，解得

(3)

因q2(x)為線性載荷，可將其設為

q2=kx+q0

(4)

根據載荷q2(x)施加在導向條上的特殊性，可知q2(L)=0，解得

(5)

綜合式(3)～式(5)，可求得

(6)

因導向條上施加有載荷q1和q2，則其總載荷q為q1與q2的矢量和，即q=q1+q2，針對導向條上的載荷q，分析可知導向條存在如下三種受力狀態：

(1)當|q1|>|q0|時，導向條在其長度2L上，載荷q方向均向下，呈全覆蓋梯形分布，實際接觸長度l′=2L，如圖4a所示；

(2)當|q1|=|q0|時，導向條在其長度2L上，載荷q方向均向下，且q(2L)=0，整體呈全覆蓋三角形分布，實際接觸長度l′=2L，如圖4b所示；

(3)當|q1|<|q0|時，導向條上載荷局部覆蓋，方向向下，呈局部三角形分布，實際接觸長度l′<2L，如圖4c所示。

綜上所述，導向條上總載荷的分布形式與載荷q1和q2有關，因其大小不同造成載荷的分布長度不同，總體上是|q1|相對于|q2|的值越大，載荷覆蓋長度越大。此外，由于力的相互作用，可認為導向條對于工件內壁的載荷形式與其作用在導向條上的載荷形式是相一致的，僅在方向上相反。

3 導向副彈塑性理論接觸模型建立

3.1 導向副接觸模型建立

在深孔加工過程中，由于導向條與工件內壁存在接觸力，因而會發生接觸變形。在接觸的初始階段，導向條的寬相對于工件內壁有限，因此初始接觸可看作是一條線，隨著兩者的相對運動以及接觸深入，導向條與工件內壁的接觸由線接觸擴展到窄面的接觸，接觸模型如圖5所示。

3.2 接觸變形理論分析

導向條與工件內壁的初始接觸類似于線接觸，接觸過程可分為彈性接觸和塑性接觸兩個階段，則接觸變形量應為彈性變形和塑性變形之和。

彈性接觸階段的接觸變形可結合Hertz接觸理論，采用Palmgren給出的關于線接觸彈性變形計算公式[7]：

(7)

(a)梯形載荷全覆蓋

(b)三角形載荷全覆蓋

(c)三角形載荷局部覆蓋圖4 導向條載荷分布形式Fig.4 Distribution form of guide bar load

圖5 導向副接觸模型Fig.5 The contact model of guide bar

式中，η為兩接觸體綜合彈性常數；E1、E2分別為兩接觸體的彈性模量,Pa；ν1、ν2為泊松比；PL為法向線接觸載荷,N；l為接觸線長,m。

塑性接觸階段的接觸變形遵循Mises屈服準則，參考倪艷光等[8]推導的過載工況下的線接觸永久變形計算理論，推得材料的臨界變形量

(8)

材料屈服極限的臨界載荷

(9)

線接觸的塑性變形量

(10)

導向副的接觸變形為彈性變形和塑性變形兩者之和，即δi=δt+δs(i=1或2，分別表示導向條1、2)，整理可得總變形量

(11)

4 實際接觸載荷及偏斜量分析

4.1 實際接觸變形

理論接觸載荷模型是單位載荷在線性接觸的基礎上建立的，但隨著加工的深入，接觸形式有向面接觸發展的趨勢，則在接觸長度內的單位載荷會發生變化，在切削加工的穩定階段，在一定程度上可視為窄面接觸。現對理論接觸載荷計算公式進行修正，引入接觸寬度系數kb，可表示為

(12)

式中，bs為實際接觸寬度；b為名義接觸寬度。

實際載荷與理論載荷關系為

(13)

用實際接觸載荷Pb替換式(7)、式(11)中的PL，實際接觸長度l′代換l，可推得彈塑性階段的實際接觸變形量的計算公式：

(14)

以名義接觸寬度b=8 mm例，相關系數見表1。

表1 載荷相關系數對照表

4.2 深孔軸線偏斜量分析

導向副接觸過程中，由于接觸載荷不同，導致工件內壁各位置的接觸變形量不同，從而使導向副發生了相應的偏斜，最終造成鉆孔的軸線發生偏斜，在不進行外部矯正的情況下，軸線偏斜量會隨著鉆削長度而增大[9]。為研究鉆削過程中軸線的偏斜量，現引入單位長度偏斜量，即在單位長度上的軸線偏斜，單位偏斜量

(15)

式中，δ0為x=0時的變形量，δl′為x=l′時的變形量；i=1,2，分別表示導向條1、2。

為計算簡便，導向條的位置角分別取α=90°，β=180°，則軸線總單位偏斜量

(16)

5 切削加工實驗及偏斜分析

5.1 加工實驗切削條件確定

為驗證模型的準確性以及確定軸線偏斜形式，用φ40 mm的單齒BTA鉆進行切削實驗，機床為T2120深孔鉆鏜床，刀具材料為硬質合金，工件材料選用牌號為5052鋁合金和45鋼，切削實驗加工孔的規格為φ40 mm×1 500 mm，工件外徑為70 mm，相關材料特性見表2，刀具切削參數見表3。

表2 接觸體的材料特性Tab.2 Material properties of contact body

表3 刀具幾何參數Tab.3 Tool geometry parameters

根據工件的材料特性以及刀具的切削參數選用合適的切削條件并計算切削力，切削用量及切削力參數如表4所示。

表4 切削用量及切削力參數Tab.4 Cutting amount and cutting force parameters

5.2 軸線偏斜分析

根據表2的材料特性、表3的刀具材料切削參數以及表4的切削用量和切削力參數，運用式(1)、式(6)可解得導向副接觸線長l=18.975 mm<30 mm，載荷為局部三角形覆蓋；運用式(1)、式(14)～式(16)可計算不同載荷下的理論軸線總偏斜量，如表5所示。

表5 不同載荷下的理論單位長度總偏斜量Tab.5 The total deflection of theoretical unitsunder different loads mm/m

分別加工20根試件，通過測量壁厚差來計算軸線偏斜，在已加工工件的出口端分別取8個點進行測量，將壁厚的最大值與最小值作差除以2作為出口偏差值，鉆削后的試件見圖6，工件實際單位偏斜量分布如圖7所示。

(a)入口端 (b)出口端圖6 深孔試件Fig.6 Test artifact of deep-hole

圖7 工件軸線單位偏斜量分布Fig.7 Unit deflection distribution of workpiece axis

將表5的理論軸線單位偏斜量與圖7實際工件軸線單位偏斜量進行對比分析，可得出如下結論：導向條滯后量E=0.5 mm，名義接觸寬度b=8 mm，導條長度2L=30 mm時，工件的軸線單位偏斜量與實際接觸寬度bs=4 mm、kb=0.5時的理論軸線總單位偏斜量相吻合，此時導向副實際接觸線長為18.975 mm<30 mm，即載荷為三角形局部覆蓋，實際接觸寬度為名義寬度的一半。

5.3 滯后量對導向副變形量的影響

根據實驗對比得到的理論模型來探討導向條的滯后量對于導向副變形量的影響，針對第1根導向條，在其實際接觸長度l′=18.975 mm，實際接觸寬度bs=4 mm不變的情況下，改變滯后量E的大小，導向副變形量如圖8所示。

(a)E=0.5 mm

(b)E=1.0 mm

(c)E=2.0 mm

(d)E=3.0 mm圖8 不同滯后量下的導向副變形量Fig.8 Deformation of the guide deputy under different delayed quantity

由圖8可知，隨著滯后量的增加，施加在導向副上的力矩增大，為平衡力矩則導向副上各位置的接觸載荷會相應增加，最終導致接觸變形量有微小增大。

5.4 滯后量對軸線偏斜的影響

滯后量的改變會使導向副上各位置的變形量發生變化，將得到的變形量代入式(15)、式(16)求解鉆削過程中軸線總單位偏斜量，表6為導向條長2L=30 mm、bs=4 mm的情形下不同滯后量的單位長度總偏斜量。

由表6分析可知，對于自導向深孔加工，在不改變導向條長度和接觸寬度的情況下，滯后量的增加會導致軸線偏斜量增大，所以在實際鉆削加工過程中滯后量越小越好，但是如果滯后量過小，導條前端的磨損會嚴重，縮短刀具的壽命，綜合考慮到上述因素，刀具的滯后量一般取0.5～1.0 mm。

表6 不同滯后量下的單位長度總偏斜量Tab.6 The total deviation of the unit length in differentdelayed quantity mm/m

5.5 工件材料對軸線偏斜的影響

研究加工不同材料時孔的軸線偏斜，將表6的數據作圖進行綜合分析，如圖9所示。由圖9可知，在同等切削條件且導向條尺寸一致的情況下，鋁合金的偏斜量比45鋼偏斜量大，即材料剛度越小，孔軸線單位偏斜量越大。

圖9 不同材料下的軸線單位偏斜量Fig.9 The axis deflection of different materials

6 結論

(1)依據自導向機理，綜合Hertz接觸理論、彈塑性接觸變形理論，建立了預測深孔軸線偏斜的數學模型，通過切削加工實例驗證了該模型的準確性。

(2)導向副的接觸載荷形式為局部三角形，實際接觸寬度約為導向條寬度的一半。

(3)導向條的滯后量對導向副的變形量和軸線偏斜有一定的影響。在導向條長度、實際接觸寬度不變的情況下，隨著滯后量的增加，導向副相接觸位置的變形量會有所增大，同時軸線偏斜量會相應增大。

(4)理論分析數據與實驗鉆削結果都證明：加工不同的材料，軸線偏斜也不相同。在同等加工條件下，因材料的機械性能不同，鋁合金比45鋼的偏斜量大。

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