向量在立體幾何中的應(yīng)用研究

摘要：我們最早在初中階段就開(kāi)始接觸向量，向量成為一種新的教學(xué)方法融入了數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，同時(shí)向量也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)典型的特征。通過(guò)學(xué)習(xí)向量的有關(guān)知識(shí)，讓我們能夠在解決立體幾何方面的問(wèn)題更加的得心應(yīng)手。在本文中，將就向量在立體幾何中的應(yīng)用進(jìn)行分析與研究。

關(guān)鍵詞：向量；立體幾何；聯(lián)系；應(yīng)用

向量的引入能夠讓我們把立體幾何中較為抽象與晦澀難懂的問(wèn)題轉(zhuǎn)變成較為容易理解的問(wèn)題，成為了解決立體幾何問(wèn)題的強(qiáng)有力的工具。初中所學(xué)的向量?jī)H是其中的入門(mén)知識(shí)，通過(guò)初中的學(xué)習(xí)能夠?yàn)楦咧袑W(xué)習(xí)更深?yuàn)W的向量知識(shí)，解決更難的立體幾何問(wèn)題奠定了一定的基礎(chǔ)，而立體幾何是高中數(shù)學(xué)范疇內(nèi)的核心內(nèi)容，向量此時(shí)充當(dāng)了轉(zhuǎn)換的媒介，只有學(xué)習(xí)好與向量有關(guān)的知識(shí)才能真正地學(xué)懂立體幾何。將向量充分應(yīng)用才能使問(wèn)題變得簡(jiǎn)化，進(jìn)而保證解題的步驟更加程序化，難度有所降低。

一、 向量與幾何問(wèn)題的關(guān)系

在高中數(shù)學(xué)教材正式引入向量后，復(fù)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的作用便被逐漸代替。這足以說(shuō)明與復(fù)數(shù)相比，向量的應(yīng)用更為廣泛并且在高中數(shù)學(xué)中的作用更為重要。并且通過(guò)觀察學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)不難發(fā)現(xiàn)，向量的引入能夠降低學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的難度，使學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)呈現(xiàn)出提高的趨勢(shì)。復(fù)數(shù)的弊端在于其僅能解決二維空間，即平面中的問(wèn)題，而對(duì)解決空間立體幾何的問(wèn)題則存在較多的局限性。向量則不同，平面向量可用于解決平面幾何問(wèn)題，而空間向量則用于解決立體幾何問(wèn)題。不僅如此，向量的有關(guān)知識(shí)及觀點(diǎn)不僅涉及數(shù)學(xué)這一學(xué)科，在物理學(xué)科及其分支學(xué)科都極具靈活性且應(yīng)用廣泛，因此其在數(shù)學(xué)應(yīng)用中更加得心應(yīng)手。一位在國(guó)際享有盛譽(yù)的教育家曾說(shuō)對(duì)于學(xué)習(xí)最好的刺激就是學(xué)生對(duì)其學(xué)習(xí)材料有興趣，單調(diào)的學(xué)習(xí)會(huì)導(dǎo)致學(xué)生大腦疲勞，進(jìn)而降低學(xué)習(xí)的積極性。現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教材中都含有向量為主的知識(shí)，用向量替代復(fù)數(shù)能夠在教學(xué)過(guò)程中最大程度上激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)習(xí)過(guò)程中不至于感到過(guò)于枯燥，還能有效地降低學(xué)生學(xué)習(xí)空間立體幾何的壓力。

通常情況下將向量分成平面向量與空間向量，一般平面向量用于幾何證明題中，比如證明線段的垂直、平行以及平面的平行、垂直、相切等問(wèn)題。此外，向量也可用于與不等式有關(guān)的問(wèn)題。而空間向量更多的用于求解點(diǎn)與線、線與線、平面與線、平面與平面的距離或者是其在相交后所產(chǎn)生的夾角、判斷其位置等問(wèn)題。例如證明兩條直線平行，利用向量法的解題思路是在兩條直線上各取兩個(gè)點(diǎn)，將直線平行問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量平行的問(wèn)題。而對(duì)于證明直線垂直的幾何問(wèn)題僅需要在兩條直線上取向量并證明其數(shù)量積為零即可。對(duì)于求解二面角等難度較大的立體幾何問(wèn)題則需要借助法向量。

利用向量解決問(wèn)題能夠?qū)?wèn)題簡(jiǎn)化，并在以后求解中逐漸形成自己的解題模式。把向量應(yīng)用于立體幾何中是真正做到了數(shù)學(xué)教學(xué)中一直所強(qiáng)調(diào)的數(shù)形結(jié)合，并且將其優(yōu)勢(shì)發(fā)揮的淋漓盡致。

二、 向量在立體幾何中應(yīng)用情況

向量在立體幾何中的應(yīng)用以向量與向量之間的運(yùn)算為基礎(chǔ)。首先，把立體幾何中的各個(gè)元素之間的關(guān)系研究清楚，這樣的好處在于能夠讓學(xué)生把問(wèn)題簡(jiǎn)化的同時(shí)還能實(shí)現(xiàn)高效率的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生擅于將數(shù)形進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，使其數(shù)形結(jié)合的思維逐漸形成，最終把晦澀難懂的立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)變成代數(shù)問(wèn)題，最終降低其難度。

不過(guò)，值得注意的是，向量法也具有一定的局限性，在立體幾何的問(wèn)題中仍舊存在著向量法所不適用的問(wèn)題，而我們能做到的就是找出最適合的方法，簡(jiǎn)單來(lái)講，就是我們不應(yīng)拘泥于某一種特定的解題方法，而是應(yīng)該擅于將向量與其他解題方法進(jìn)行有機(jī)地結(jié)合去解決問(wèn)題。比如，向量法局限性在于其計(jì)算量較大，因此，這就對(duì)學(xué)生計(jì)算的速度以及準(zhǔn)確性提出了要求，并且這對(duì)計(jì)算能力不佳的學(xué)生無(wú)疑是一個(gè)挑戰(zhàn)，一旦在計(jì)算過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤就將直接導(dǎo)致最后結(jié)果的錯(cuò)誤。不僅如此，向量法有時(shí)在解決有一定難度的問(wèn)題時(shí)具有一定的技巧性，而這就對(duì)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)的扎實(shí)程度以及對(duì)問(wèn)題的理解能力提出了較高的要求。

三、 如何用向量法解決立體幾何問(wèn)題

向量法求解立體幾何有兩種方法，分別是直接用向量計(jì)算以及通過(guò)建立直角坐標(biāo)系。建立直角坐標(biāo)系法解決立體幾何問(wèn)題分為四個(gè)步驟，首先建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，建立直角坐標(biāo)系的原則是優(yōu)先考慮經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)并且相互垂直的三條線，或者是兩兩垂直的直線，并作第三條線保證其相互垂直。其次把解題過(guò)程中涉及的坐標(biāo)一一列舉，務(wù)必保證不能出錯(cuò)，否則將直接導(dǎo)致整道幾何題全部錯(cuò)誤。然后寫(xiě)出解題所需要的向量坐標(biāo)，此外，應(yīng)注意避免出現(xiàn)向量計(jì)算中容易犯的錯(cuò)，即弄混向量的坐標(biāo)起點(diǎn)與終點(diǎn)。最后進(jìn)行計(jì)算，此時(shí)應(yīng)注意計(jì)算的準(zhǔn)確性以及用對(duì)公式。

四、 結(jié)束語(yǔ)

總的來(lái)講，向量在立體幾何問(wèn)題中的廣泛應(yīng)用讓我們解決立體幾何問(wèn)題更為輕松，也不再被原有的解題模式所束縛，不再屈從過(guò)去先畫(huà)圖，再證明最后計(jì)算的“老路子”，真正的降低立體幾何問(wèn)題的解題難度，讓學(xué)生不再苦惱于如何在立體幾何中加入輔助線，而是將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)變成數(shù)字問(wèn)題，開(kāi)創(chuàng)了解決立體幾何問(wèn)題的新局面。

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作者簡(jiǎn)介：馬彥彬，安徽省亳州市，安徽省渦陽(yáng)第一中學(xué)。