粗糙表面的加卸載分形接觸解析模型

陳建江, 原園, 徐穎強

(1.西安理工大學機械與精密儀器工程學院, 710048, 西安; 2.西北工業(yè)大學機電學院, 710072, 西安)

機械結構表面在微觀尺度下是凹凸不平的,由無數(shù)個尺寸不同的微凸體構成。兩個真實機械表面之間的接觸實際上是許多離散微凸體的接觸,導致兩表面間的真實接觸面積遠小于名義接觸面積[1],造成在相當小的接觸面積上承受較大的載荷、接觸面承載不均、接觸剛度降低、局部表面壓潰等狀況[2-3]。這些狀況對機械零件表面間的摩擦、磨損、潤滑、密封和傳熱等問題有著重要的影響。為了避免或減小這些狀況對實際接觸問題的影響,需要對真實粗糙表面的接觸力學性能進行深入研究。

目前對于粗糙表面接觸問題的研究主要有統(tǒng)計學方法、分形方法、確定性方法[4]、有限元法[5]及多尺度法[6]等。確定性方法、有限元法和多尺度法采用對應的數(shù)值方法求解粗糙表面的接觸問題,獲得接觸表面的接觸力學規(guī)律,統(tǒng)計學方法和分形方法則通過統(tǒng)計方法和分形理論分別建立粗糙表面接觸問題的接觸載荷和真實接觸面積的解析關系。1966年,Greenwood和Williamson首次建立了粗糙表面接觸的統(tǒng)計模型(GW模型),推導出了真實接觸面積與總接觸載荷的關系[7]。在該模型中,粗糙表面簡化為隨機分布在參考平面上的許多規(guī)定形狀的微凸體,微凸體高度服從高斯分布,且具有相同的峰頂曲率半徑,使用塑性指數(shù)作為評價彈性接觸和塑性接觸的標準。隨后,諸多學者擴展了GW模型來處理其他粗糙表面的接觸問題,例如粗糙球體的彈性接觸[8]、隨機表面特性[9]和粗糙表面塑性接觸[10]等。為了獲得更準確的結果,一些學者致力于單個微凸體接觸力學性能的研究,使得統(tǒng)計接觸模型更加完善。Chang等根據(jù)微凸體塑性變形體積守恒原理,建立了粗糙表面彈塑性接觸的統(tǒng)計模型(CEB模型),并獲得了不同塑性指數(shù)條件下真實接觸面積與接觸載荷的關系[11]。Lin等采用有限元方法獲得了黏彈性的單球接觸加卸載過程中接觸面積和接觸載荷的關系[12]。Etsion等采用有限元法建立了單個微凸體與剛性平面接觸的模型,獲得了加卸載接觸過程中單個微凸體接觸面積與接觸載荷之間的關系[13-14];隨后,Kadin等將該結果應用到整個粗糙表面,建立了粗糙表面加卸載接觸統(tǒng)計模型,結果表明:加卸載過程中微凸體可能發(fā)生塑性變形產生殘余應變,導致微凸體的高度分布函數(shù)發(fā)生變化;一個接觸循環(huán)內,卸載過程的真實接觸面積大于加載過程的真實接觸面積[15]。

以上統(tǒng)計分析模型采用的是與取樣長度和儀器的分辨率有關的統(tǒng)計參數(shù),所以對粗糙表面的表征和分析結果不具有唯一性。為了克服統(tǒng)計模型的缺陷,Majumdar等使用Weierstrass-Mandelbrot函數(shù)(WM函數(shù))來表征二維分形粗糙表面輪廓[16-17]。隨后,Majumdar和Bhushan基于WM函數(shù)提出了以分形幾何為基礎的二維粗糙表面接觸模型(MB模型),建立了單個微凸體彈性、完全塑性的變形機制,并結合面積分布密度函數(shù)獲得了真實接觸面積與接觸載荷之間的關系[18]。諸多學者基于MB分形模型又提出了多種分形模型,并獲得了更加準確的粗糙表面接觸力學特性。Wang等對MB模型中的微凸體面積分布密度函數(shù)進行了修正,得到了MB彈性、塑性接觸修正模型[19-20]。Morag等建立了單個微凸體的彈塑性接觸分形模型,解釋了MB模型中微凸體由塑性變形到彈性變形的變形順序與經典赫茲接觸理論矛盾的原因,并證明微凸體臨界接觸面積是尺度相關的[21]。Miao等建立了尺度相關的分形表面接觸修正模型,獲得了整個分形表面總的接觸載荷、面積和剛度[22]。丁雪興等根據(jù)微凸體的變形特征、分形理論和摩擦作用,建立了基于基底長度的分形接觸模型,推導出單個微凸體的臨界接觸面積與微凸體的基底長度有關,并獲得了分形維數(shù)、接觸載荷和真實接觸面積的相互關系[23]。

基于上述研究現(xiàn)狀,本文采用分形理論建立了分形表面加卸載接觸模型,推導出單個微凸體發(fā)生彈性、彈塑性和塑性變形的存在條件,以及在不同變形狀態(tài)下微凸體的加、卸載規(guī)則,得到了不同微凸體分布狀態(tài)下整個粗糙表面上接觸載荷與真實接觸面積之間的關系,以期為機械零件表面的接觸、摩擦、磨損以及潤滑等問題的研究提供一些理論依據(jù)。

1　粗糙表面彈塑性加卸載接觸力學模型

1.1　單個微凸體加載過程的力學模型

兩個粗糙表面的接觸問題可以簡化為一個等效粗糙表面和一個剛性平面的接觸問題。等效粗糙表面的形貌具有隨機、多尺度及無序的性質,對應數(shù)學形式上連續(xù)、不可微及自仿射的分形特性。采用具有這些特性的WM函數(shù)表征二維分形表面,表達式如下

(1)

式中:x為粗糙表面輪廓曲線上高度為z處的位移坐標;D為分形維數(shù)(1

(2)

式中

圖1是頻率指數(shù)為n的微凸體加載過程示意圖,其中δn為微凸體高度,ωn為微凸體加載過程中的變形量,ln為微凸體基底尺寸。

(a)主視圖 (b)俯視圖圖1　微凸體加載過程示意圖

根據(jù)赫茲理論,當ωn≤ωnec時微凸體處于彈性變形狀態(tài),則加載過程彈性接觸面積與接觸載荷的計算公式[11,24]如下

an=πRnωn

(3)

(4)

(5)

式中:K為硬度系數(shù),與材料的泊松比ν有關,K=0.454+0.41ν;H為較軟材料的硬度;E為等效彈性模量。當微凸體只能發(fā)生彈性變形時,其對應的最大頻率指數(shù)nec稱為彈性臨界頻率指數(shù)[24-25]。

當ωnec<ωn≤110ωnec時,微凸體處于彈塑性變形狀態(tài),在該彈塑性變形過程中存在2個階段[13]:

在第一彈塑性變形階段(ωnec<ωn≤6ωnec),有

(6)

(7)

對于可發(fā)生彈性變形或第一彈塑性變形的微凸體,其對應的最大頻率指數(shù)nepc稱為第一彈塑性臨界頻率指數(shù)。

在第二彈塑性變形階段(6ωnec<ωn≤110ωnec)

(8)

(9)

對于可發(fā)生彈性變形、第一彈塑性變形或第二彈塑性變形的微凸體,其對應的最大頻率指數(shù)npc稱為第二彈塑性臨界頻率指數(shù)。

當ωn>110ωnec時,微凸體可以發(fā)生完全塑性變形,在載荷移除后,發(fā)生完全塑性變形的微凸體是沒有回復過程的,這些微凸體不計入卸載過程中接觸載荷與接觸面積的計算。粗糙表面的力學性質主要由具有前6個頻率指數(shù)的微凸體決定[24]。具有前6個頻率指數(shù)的微凸體發(fā)生完全塑性變形時,粗糙表面在卸載之后沒有回復過程,卸載過程中接觸面積和接觸載荷為0。如果具有前6個頻率指數(shù)的微凸體未發(fā)生完全塑性變形,而后續(xù)微凸體發(fā)生了完全塑性變形,則具有前6個頻率指數(shù)的微凸體的力學特性占主導地位,后續(xù)發(fā)生完全塑性變形的微凸體對粗糙表面的力學特性影響非常小。所以在本文中,不同頻率指數(shù)的微凸體在接觸過程中的變形量不會超過自身彈性臨界變形量的110倍。

1.2　單個微凸體卸載過程的力學模型

圖2　微凸體卸載過程變形示意圖

當微凸體處于彈性或彈塑性變形時,卸載過程是不同的,下面針對微凸體的變形狀態(tài)建立相應的卸載規(guī)則。

(1)彈性變形狀態(tài)下的單個微凸體卸載規(guī)則。只發(fā)生彈性變形的微凸體在卸載過程中會完全回復,卸載后微凸體的曲率半徑和高度與加載前的曲率半徑和高度保持一致,則卸載過程中接觸載荷和接觸面積的關系如下

(10)

(11)

(12)

(13)

式中:σy為材料的屈服強度。

卸載過程中的接觸載荷和接觸面積[14]分別為

(14a)

(14b)

式中:Fn,max和an,max分別是微凸體加載變形量為ωn,max時所對應的接觸載荷和接觸面積。對于發(fā)生第一彈塑性變形(ωnec<ωn,max≤6ωnec)的微凸體,有

(15)

對于發(fā)生第二彈塑性變形(6ωnec<ωn,max≤110ωnec)的微凸體,則有

(16)

分別將式(15)、(16)代入式(14),可得加載過程中處于第一彈塑性區(qū)和第二彈塑性區(qū)的單個微凸體卸載時的接觸載荷與接觸面積關系

(17)

(18)

1.3　微凸體面積分布密度函數(shù)

根據(jù)文獻[18],分形粗糙表面上微凸體的面積分布規(guī)律與海洋中島嶼面積的分布規(guī)律相似,其面積分布密度函數(shù)為

(19)

真實接觸面積

(20)

式中:n(a)為整個粗糙表面的微凸體面積分布密度函數(shù);al為粗糙表面上所有微凸體的最大接觸面積。

若假設頻率指數(shù)為n的微凸體的面積密度分布函數(shù)為nn(a),且滿足

代入式(20)得

(21)

式中:anl對應頻率指數(shù)為n的眾多微凸體中的最大接觸面積。聯(lián)立式(20)和式(21),可得[24]

(22)

式中:al=max(anl);nmin

1.4　加卸載真實接觸面積和接觸載荷

1.4.1加載過程

(1)粗糙表面頻率指數(shù)為nmin

(23a)

(23b)

(2)粗糙表面頻率指數(shù)為nec

Ar2=Are+Arep1

(24a)

式中:Are和Arep1分別為加載過程中發(fā)生彈性變形和第一彈塑性變形的微凸體的真實接觸面積。

總接觸載荷Fr2為

Fr2=Fre+Frep1

(24b)

式中:Fre和Frep1分別為加載過程中發(fā)生彈性變形和第一彈塑性變形的微凸體的總接觸載荷。

(3)粗糙表面頻率指數(shù)為nepc

Ar3=Are+Arep1+Arep2

(25a)

式中:Arep2為加載過程中發(fā)生第二彈塑性變形的微凸體的真實接觸面積。

總接觸載荷Fr3為

Fr3=Fre+Frep1+Frep2

(25b)

式中:Frep2為加載過程發(fā)生第二彈塑性變形的微凸體的接觸載荷。

(4)粗糙表面頻率指數(shù)為n>npc的微凸體在接觸過程中的變形量不會超過自身彈性臨界變形量的110倍,此階段微凸體可能發(fā)生彈性變形、第一彈塑性變形或第二彈塑性變形,加載過程的真實接觸面積Ar4為

Ar4=Are+Arep1+Arep2

(26a)

總接觸載荷Fr4為

Fr4=Fre+Frep1+Frep2

(26b)

[(205.382 7anec)1.102 1-0.5D-

由式(23)～(26),可得彈塑性接觸粗糙表面加載過程中的真實接觸面積Ar和總接觸載荷Fr

Ar=Ar1+Ar2+Ar3+Ar4

(27a)

Fr=Fr1+Fr2+Fr3+Fr4

(27b)

1.4.2卸載過程假設微凸體卸載結束時,粗糙表面上微凸體的分布形式仍然滿足分形特征,則卸載后粗糙表面微凸體面積分布密度函數(shù)為

(28)

(1)粗糙表面頻率指數(shù)為nmin

(29)

則待定系數(shù)

(30)

粗糙表面加載結束時的總接觸載荷與卸載開始時的總接觸載荷相同,于是有

(31)

(32a)

(32b)

(33a)

(33b)

加載結束與卸載開始時,對應的真實接觸面積相等,可得

(34)

(35)

式中:Hne、Hnep1為分布密度函數(shù)待定系數(shù),推導可得

(36a)

(36b)

在加載結束卸載初始時刻,加載總接觸載荷與卸載總接觸載荷相等,即

(37)

(38)

對應的載荷誤差修正系數(shù)

(39a)

(39b)

(40a)

(40b)

同理,對應的分布函數(shù)修正系數(shù)

(41a)

(41b)

(41c)

卸載過程中真實接觸面積和總接觸載荷分別為

同理,對應的載荷修正系數(shù)為

(42a)

(42b)

(42c)

(43a)

(43b)

同理,對應的分布函數(shù)修正系數(shù)為

(44a)

(44b)

(44c)

對應的載荷修正系數(shù)

(45a)

(45b)

(45c)

卸載過程中的真實接觸面積和總接觸載荷分別為

(46a)

(46b)

將式(46)進行歸一化處理,可得加載和卸載過程中粗糙表面的量綱一真實接觸面積與量綱一總接觸載荷

(47a)

(47b)

2　數(shù)值算例分析

(a)G=1×10-12 m, 1.2≤D≤1.6

(b)1×10-16 m≤G≤1×10-9 m, D=1.2圖3　量綱一接觸載荷與量綱一真實接觸面積的關系

圖3所示為本文計算結果與Kadin統(tǒng)計模型的計算結果[15]的對比。為確保對比結果可信,已知計算參數(shù)采用Kadin模型的計算參數(shù)。已知計算參數(shù)為:E/σy=950,泊松比ν=0.3,硬度H=2.8σy,Fmax/AaH=0.05。由于統(tǒng)計接觸模型中微凸體曲率半徑都是相同的,所以本文分形模型中所有微凸體的曲率半徑也取相同值——R≈1.5 μm。由圖3a可見,當分形維數(shù)較小時,本文模型與Kadin統(tǒng)計模型的計算結果較為接近,并具有相同的趨勢;對于分形維數(shù)較大的粗糙表面,在同樣的總接觸載荷下會產生較大的接觸面積,所以當粗糙表面分形維數(shù)增大時,加、卸載曲線整體向左偏移。由圖3b可見,本文模型與Kadin統(tǒng)計模型的計算結果具有相同的趨勢,隨著尺度參數(shù)的減小,加載曲線向左偏移,卸載曲線產生的偏移量較小;在相同的總接觸載荷下,本文模型計算的加、卸載之間的真實接觸面積差大于Kadin統(tǒng)計模型的計算結果;尺度參數(shù)變化對加、卸載規(guī)律的影響較分形維數(shù)的影響小。Kadin統(tǒng)計模型和本文的分形模型是2種計算方法,相同之處是它們針對的都是單個微凸體的力學性質。在計算真實接觸面積時,統(tǒng)計模型采用微凸體高度的高斯分布函數(shù),分形模型采用微凸體的面積密度分布函數(shù),所以會導致2種模型的計算結果較難完全重合,此外,由于統(tǒng)計模型中不涉及分形參數(shù)D和尺度參數(shù)G的選取,也會對計算結果的重合性有一定的影響。綜上所述,本文分形模型的計算結果與統(tǒng)計模型的計算結果具有相同的趨勢,當D=1.2、G≤1×10-12m時,本文模型的計算結果與Kadin模型的較為接近,說明了本文模型的可行性與可信性。

下面基于所推導出的解析結果,計算粗糙表面加、卸載過程中的接觸力學性能。粗糙表面相關參數(shù)[26]如下:分形維數(shù)D=1.4,輪廓尺度參數(shù)G=1.36×10-10m,彈性模量E=72 GPa,泊松比ν=0.17,硬度H=5.5 GPa,頻率指數(shù)n取26～50,最大下壓量ωn=0.9δn。

圖4表示頻率指數(shù)n分別為29、35和44的單個微凸體在加載過程中接觸載荷與接觸面積的關系。由圖4a可見,因為微凸體只能發(fā)生彈性變形,卸載過程中微凸體會完全回復自身形狀,所以加載過程與卸載過程中接觸載荷和接觸面積的關系是一致的。由圖4b可見:加載過程中當接觸下壓量與微凸體自身高度的比值為0.3時,該微凸體發(fā)生彈性變形,接觸面積與接觸載荷的關系為F～a3/2,卸載過程中接觸載荷和接觸面積的關系與加載過程中的關系重合;加載過程中當接觸下壓量大于微凸體自身高度的0.367倍時,微凸體發(fā)生第一彈塑性彈性變形,在該變形階段,接觸面積與接觸載荷的關系為F～a1.254 4;在卸載過程中,當接觸載荷相同時,微凸體卸載時的接觸面積大于加載時的接觸面積,加載下壓量越大,卸載時對應的接觸面積也越大,這是由于微凸體發(fā)生了彈塑性變形,卸載過程中不能完全回復,導致卸載后微凸體的曲率半徑增大,使得同等接觸載荷條件下微凸體卸載時的接觸面積大于加載時的接觸面積。由圖4c可見,當加載過程的下壓量分別是微凸體自身高度的0.3、0.6和0.9倍時,對應的彈性變形量占非彈性變形量的3%、1.5%和1%,整個變形過程呈現(xiàn)第二彈塑性狀態(tài),接觸面積與接觸載荷的關系為F～a1.102 1;同理,加載時的下壓量越大,卸載時對應的接觸面積也越大。

(a)n=29

(b)n=35

(c)n=44圖4　　　　單個微凸體加卸載接觸過程中接觸載荷與接觸面積的關系

圖5　　　　粗糙表面加卸載過程中量綱一總接觸載荷與量綱一真實接觸面積的關系(n=26～50)

圖6表示微凸體頻率指數(shù)范圍為36～50的粗糙表面接觸時,加、卸載過程中量綱一總接觸載荷與量綱一真實接觸面積的關系。由圖6可知:當下壓量為每個微凸體自身高度的0.9倍時,粗糙表面發(fā)生第一彈塑性和第二彈塑性變形;在加載過程與卸載過程中,除了加載起始點和卸載起始點外,接觸面積與接觸載荷的曲線不重合,這是由于微凸體發(fā)生了彈塑性變形,不能完全回復,導致其曲率半徑增大,所以在相同的總接觸載荷下,粗糙表面的卸載接觸面積大于其加載接觸面積;在相同總接觸載荷的條件下,加、卸載對應的真實接觸面積之差與接觸下壓量成正比,圖中加、卸載對應的真實接觸面積之差最大值為0.030 4。

圖6　　　　粗糙表面加卸載過程中量綱一總接觸載荷與量綱一真實接觸面積的關系(n=36～50)

圖7表示微凸體頻率指數(shù)范圍為43～50的粗糙表面在加、卸載過程中量綱一接觸載荷與量綱一真實接觸面積的關系,接觸下壓量與微凸體自身高度的比值為0.9。由圖7可見:除加、卸載起始點外,加載曲線與卸載曲線基本沒有重合的部分;在相同的量綱一總接觸載荷下,包含頻率指數(shù)43～50的微凸體的粗糙表面量綱一卸載接觸面積與加載接觸面積的差值大于包含頻率指數(shù)36～50的微凸體的粗糙表面的相應差值,前者的最大差值為0.085 8。因為微凸體的曲率半徑與頻率指數(shù)成反比,對于相同比率的下壓量,頻率指數(shù)越大,微凸體的塑性變形率也越大,所以粗糙表面包含的微凸體的頻率指數(shù)越大,則卸載真實接觸面積與加載真實接觸面積的差值越大。

圖7　　　　粗糙表面加卸載過程中量綱一總接觸載荷與量綱一真實接觸面積的關系(n=43～50)

圖8　　　　具有不同頻率指數(shù)的微凸體的接觸面積與真實接觸面積的比值

圖8表示粗糙表面中,各頻率指數(shù)微凸體加、卸載過程中的接觸面積占整個粗糙表面真實接觸面積的比例(下壓量ωn=0.5δn)。如圖所示,對于給定頻率指數(shù)范圍的粗糙表面,具有確定頻率指數(shù)的微凸體在加、卸載過程中,2種接觸面積與真實接觸面積的比值是近似的。該比值與微凸體的頻率指數(shù)成反比,即具有最小頻率指數(shù)的微凸體產生的接觸面積最大,約占整個真實接觸面積的50%以上

%

任意頻率指數(shù)范圍(圖8所示為26～50、36～50和43～50)的粗糙表面中具有前6個頻率指數(shù)的微凸體產生的接觸面積占整個粗糙表面真實接觸面積的98%以上

%

同理,圖9中的總接觸載荷具有相同的性質,具有前6個頻率指數(shù)的微凸體產生的接觸載荷占整個粗糙表面總接觸載荷的97%以上

%

圖9　　　　具有不同頻率指數(shù)的微凸體的接觸載荷與總接觸載荷的比值

3　結　論

(1)分形粗糙表面中單個微凸體的接觸力學性能和微凸體的頻率指數(shù)有關;當微凸體的頻率指數(shù)小于彈性臨界頻率指數(shù)時,微凸體只能發(fā)生彈性變形,否則微凸體將會發(fā)生彈性變形或非彈性變形;在一個加卸載接觸循環(huán)內,當微凸體發(fā)生彈塑性變形時,卸載過程的接觸面積大于加載過程的接觸面積;加載過程的下壓量越大,卸載過程中的接觸面積也越大。

(2)當粗糙表面上微凸體的頻率指數(shù)范圍為nmin≤n≤nmax時,在加卸載過程中,具有頻率指數(shù)nmin的微凸體承擔的總接觸載荷和真實接觸面積比例最大;隨著頻率指數(shù)的增大,其承擔的總接觸載荷和真實接觸面積比例迅速減小;頻率指數(shù)大于nmin+5的微凸體對整個粗糙表面力學性能的貢獻可以忽略不計。

(3)粗糙表面的加卸載力學性能取決于所包含的微凸體:當微凸體的最小頻率指數(shù)nmin滿足nmin+5≤nec時,粗糙表面在整個加卸載接觸過程中呈現(xiàn)彈性性質;當nmin>nec時,在相同的總接觸載荷條件下,卸載過程中的量綱一真實接觸面積大于加載過程中的量綱一真實接觸面積,接觸下壓量越大,二者的差值也越大;當接觸下壓量為微凸體自身高度的90%時,加、卸載過程中最大量綱一接觸面積的差值范圍為0～0.085 8。上述結論與統(tǒng)計學方法所獲得的結論[15]是一致的。

參考文獻:

[1]胡兆穩(wěn), 劉焜, 王偉, 等. 粗糙表面接觸模型的研究現(xiàn)狀和展望 [J]. 低溫與超導, 2011, 39(12): 71-74.

HU Zhaowen, LIU Kun, WANG Wei, et al. Review and prospect of contact models of rough surfaces [J]. Cryogenics & Superconductivity, 2011, 39(12): 71-74.

[2]黃健萌, 高誠輝, 李友遐, 等. 工程粗糙表面接觸摩擦熱力學研究進展 [J]. 中國工程機械學報, 2007, 5(4): 490-496.

HUANG Jianmeng, GAO Chenghui, LI Youxia, et al. Advances of frictional contact thermodynamics for fractal rough surfaces [J]. Chinese Journal of Construction Machinery, 2007, 5(4): 490-496.

[3]李輝光, 劉恒, 虞烈. 粗糙機械結合面的接觸剛度研究 [J]. 西安交通大學學報, 2011, 45(6): 69-74.

LI Huiguang, LIU Heng, YU Lie. Contact stiffness of rough mechanical joint surface [J]. Journal of Xi’an Jiaotong University, 2011, 45(6): 69-74.

[4]王慶朋, 張力, 杜寶程, 等. 粗糙表面確定性接觸模型中峰的再定義 [J]. 西安交通大學學報, 2016, 50(11): 115-120.

WANG Qingpeng, ZHANG Li, DU Baocheng, et al. Re-definition of asperity-peak for deterministic contact model on rough surfaces [J]. Journal of Xi’an Jiaotong University, 2016, 50(11): 115-120.

[5]PEI L, HYUN S, MOLINARI J F, et al. Finite element modeling of elasto-plastic contact between rough surfaces [J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2005, 53(11): 2385-2409.

[6]JACKSON R L, STREATOR J L. A multi-scale model for contact between rough surfaces [J]. Wear, 2006, 261(11): 1337-1347.

[7]GREENWOOD J, WILLIAMSON J. Contact of nominally flat surfaces [J]. Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 1966, 295(1442): 299-319.

[8]GREENWOOD J A, TRIPP J H. The elastic contact of rough spheres [J]. Journal of Applied Mechanics, 1967, 34(1): 153-159.

[9]GREENWOOD J, TRIPP J. The contact of two nominally flat rough surfaces [J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, 1970, 185(1): 625-633.

[10] PULLEN J, WILLIAMSON J B P. On the plastic contact of rough surfaces [J]. Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 1972, 327(1569): 159-173.

[11] CHANG W, ETSION I, BOGY D B. An elastic-plastic model for the contact of rough surfaces [J]. ASME Journal of Tribology, 1987, 109(2): 257-263.

[12] LIN Y Y, HUI C Y. Mechanics of contact and adhesion between viscoelastic spheres: an analysis of hysteresis during loading and unloading [J]. Journal of Polymer Science: Part BPolymer Physics, 2002, 40(9): 772-793.

[13] KOGUT L, ETSION I. Elastic-plastic contact analysis of a sphere and a rigid flat [J]. Journal of Applied Mechanics, 2002, 69(5): 657-662.

[14] ETSION I, KLIGERMAN Y, KADIN Y. Unloading of an elastic-plastic loaded spherical contact [J]. International Journal of Solids and Structures, 2005, 42(13): 3716-3729.

[15] KADIN Y, KLIGERMAN Y, ETSION I. Unloading an elastic-plastic contact of rough surfaces [J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2006, 54(12): 2652-2674.

[16] MAJUMDAR A, BHUSHAN B. Role of fractal geometry in roughness characterization and contact mechanics of surfaces [J]. ASME Journal of Tribology, 1990, 112(2): 205-216.

[17] MAJUMDAR A, TIEN C. Fractal characterization and simulation of rough surfaces [J]. Wear, 1990, 136(2): 313-327.

[18] MAJUMDAR A, BHUSHAN B. Fractal model of elastic-plastic contact between rough surfaces [J]. ASME Journal of Tribology, 1991, 113(1): 1-11.

[19] WANG S, KOMVOPOULOS K. A fractal theory of the interfacial temperature distribution in the slow sliding regime: part IElastic contact and heat transfer analysis [J]. ASME Journal of Tribology, 1994, 116(4): 812-822.

[20] WANG S, KOMVOPOULOS K. A fractal theory of the interfacial temperature distribution in the slow sliding regime: part II Multiple domains, elastoplastic contacts and applications [J]. ASME Journal of Tribology, 1994, 116(4): 824-832.

[21] MORAG Y, ETSION I. Resolving the contradiction of asperities plastic to elastic mode transition in current contact models of fractal rough surfaces [J]. Wear, 2007, 262(5/6): 624-629.

[22] MIAO X, HUANG X. A complete contact model of a fractal rough surface [J]. Wear, 2014, 309(1/2): 146-151.

[23] 丁雪興, 嚴如奇, 賈永磊. 基于基底長度的粗糙表面分形接觸模型的構建與分析 [J]. 摩擦學學報, 2014, 34(4): 341-347.

DING Xuexing, YAN Ruqi, JIA Yonglei. Construction and analysis of fractal contact mechanics model for rough surface based on base length [J]. Tribology, 2014, 34(4): 341-347.

[24] YUAN Y, CHENG Y, LIU K, et al. A revised Majumdar and Bushan model of elastoplastic contact between rough surfaces [J]. Applied Surface Science, 2017, 425: 1138-1157.

[25] 成雨, 原園, 甘立, 等. 尺度相關的分形粗糙表面彈塑性接觸力學模型 [J]. 西北工業(yè)大學學報, 2016, 34(3): 485-492.

CHENG Yu, YUAN Yuan, GAN Li, et al. The elastic-plastic contact mechanics model related scale of rough surface [J]. Journal of Northwestern Polytechnical University, 2016, 34(3): 485-492.

[26] YAN W, KOMVOPOULOS K. Contact analysis of elastic-plastic fractal surfaces [J]. Journal of Applied Physics, 1998, 84(7): 3617-3624.