利用共形幾何代數的平面并聯機構位置正解求解方法

黃昔光, 黃旭

(北方工業大學機械與材料工程學院, 100144, 北京)

并聯機構是由至少2個獨立的運動鏈將動平臺和靜平臺連接而成、具有2個或2個以上自由度的一種閉環機構。并聯機構由于具有輸出精度高、結構剛性好、承載能力強、便于控制等優點,已成為目前機構學研究的重要內容[1]。具有3個自由度的平面并聯機構在機器人操作機構、數控精密繡花機、數控線切割機、數控電火花機床以及精密微動機構等方面有著廣泛的應用[2-5]。

并聯機構位置正解就是根據運動鏈的桿長來推算動平臺相對靜平臺的位置和姿態,該問題是并聯機構控制、工作空間、奇異位置、校對零位置等問題的研究基礎。并聯機構位置正解一般歸結為多元高次非線性方程組求解問題,目前求解并聯機構位置正解的方法主要有數值法和代數消元法。數值法求解相對簡單,容易實現算法的編程,得到一系列離散數值解,對尚未得到解析解的機構學問題具有重要意義,已廣泛應用于工程界,但其主要不足在于依賴初值的選取,通常很難得到全部解,并且不能含有變量或參數,無法給出明確的函數表達式。代數消元法能給出明確的函數表達式,可以直觀地反映輸出變量與各參數之間的函數關系,尤其是推導出的一元高次輸入輸出方程具有很高的理論價值,不僅可獲得問題的全部解,而且可以進行后續工作空間、奇異位置等運動學問題的研究。如何獲得全部解析解以及實時求解,是目前并聯機構位置正解研究的重點與難點。1983年,Hunt從幾何的角度首次證明了平面并聯機構最多具有6組解[3];Peysah首次獲得了該問題的一元六次輸入輸出方程[4]。隨后,各國學者采用不同的數學方法獲得了該機構的相同輸入輸出方程[2,5-8]。最近,倪振松等求解了平面3-RPR并聯機構位置正解,但存在10個增根[9];張忠海等通過提取3類公因式,將一元十次方程降為六次,但消元求解復雜[10]。盡管文獻[9-10]引入了共形幾何代數進行數學建模,但需要進行多元非線性方程組代數消元求解,存在消元求解技巧性強、過程復雜等問題。因此,降低并聯機構位置正解封閉方程的非線性、快速給出全部解析解、實現該問題的數學機械化求解,具有重要的理論價值和工程意義。

本文首先應用組合數學理論闡明了由轉動副R和移動副P組成的平面并聯機構共有1 140種類型,并建立了所有這1 140種平面并聯機構類型的等效機構模型;然后,根據平面并聯機構各支路之間為幾何尺度約束關系,建立了在共形幾何代數框架下平面并聯機構位置正解的數學模型。求解過程沒有以往文獻中的非線性消元求解,只需簡單的線性消元即可推導出該問題符號形式的一元六次輸入輸出方程,并獲得了該問題的全部解析解,求解過程簡捷明了,非線性度低,實現了該問題的數學機械化求解。

1　共形幾何代數基礎

幾何代數是內容十分豐富的分層代數系統,它為經典幾何提供了統一的代數框架,是強有力的符號計算工具[11-13]。共形幾何代數(CGA)將n維歐式空間Rn嵌入到(n+2)維閔氏空間Rn+1,1中。設有一組正交矢量基{e1,…,en,e+,e-},滿足

(1)

引入2個向量e0和e∞

(2)

則有

(3)

式中:e0表示原點;e∞表示無窮遠點。與三維歐氏空間相比,CGA增加了二維空間,即包含3個基矢量ei(i=1,2,3)。共形幾何代數中點S可以寫成

S=s+s2e∞/2+e0

(4)

式中:s=s1e1+s2e2+s3e3,其中s1、s2、s3為三維歐氏空間點的坐標。

假設P、S表示CGA的2個點,則點P與S的內積表示為

P·S=(p+p2e∞/2+e0)·(s+s2e∞/2+e0)=

p·s-(s2+p2)/2=-(s-p)2/2

(5)

由式(5)得2個點P、S的內積與距離的關系為

P·S=-(s-p)2/2

(6)

空間剛體運動變換主要包括旋轉和平移。在CGA中,旋轉算子的旋量可表示為

R=cos(θ/2)-Lsin(θ/2)=e-θ L/2

(7)

式中:L表示轉軸;θ表示旋轉角度。

旋轉算子R的共軛

(8)

平移算子的旋量表示為

T=1+te∞/2=e-te∞/2

(9)

式中:t=t1e1+t2e2+t3e3為平移向量,表示平移的方向和長度。

平移算子的共軛

(10)

共形幾何代數中旋轉和平移的復合在旋量表示下是簡單的幾何積,所以剛體運動的運動算子

M=RT

(11)

在共形幾何代數中,任意幾何體o的剛體運動變換都可以借助幾何積來實現,即

(12)

2　平面并聯機構位置正解

2.1　平面并聯機構等效模型

如圖1所示,平面并聯機構的動平臺P4P5P6分別通過3條獨立的運動鏈P1P4、P2P5和P3P6與靜平臺P1P2P3相連,每條運動鏈包含3個單自由度的運動副,其中只有1個主動副(即裝有驅動器的運動副,該運動副加下劃線表示),其余為從動副。通過控制3條支鏈的主動副驅動器參數,可實現動平臺相對靜平臺在平面內的任意位置和姿態。

圖1　平面并聯機構等效模型

(a)RRR型 (b)RPR型

(c)RRP型 (d)RPP型

(e)PRR型 (f)PPR型

為分析方便,研究對象只限于由轉動副R和移動副P兩種平面低副組成的平面并聯機構(其他運動副可以通過相關機構學理論轉化為R和P)。根據組合數學理論,由3個單自由度運動副(R或P)組成平面并聯機構運動支鏈類型的數量有23=8種,即RRR、RPR、RRP、RPP、PRR、PPR、PRP和PPP。由于純移動副組成的PPP運動支鏈不可能產生動平臺姿態的變化,平面并聯機構中不能包含PPP運動支鏈,因此,平面并聯機構的運動支鏈只有前7種類型。由7種類型構成的對稱型平面并聯機構如圖2所示。運動鏈運動副符號位置從左往右,表示運動副從靜平臺往靜平臺分布,例如圖1b的RPR,表示最左邊的R連接靜平臺,最右邊的R連接動平臺,中間的P則連接2個R。

(g)PRP型圖2　由7種運動支鏈構成的對稱型平面并聯機構

由于并聯機構3條運動支鏈主動副的位置不同,由轉動副R和移動副P組成的運動支鏈有多少種類型?對于平面并聯機構中的任一條支鏈,如果主動副的驅動器參數給定,則其他2個從動副組成的被動支鏈類型將有RR、PR、RP和PP共4種。由于主動副驅動器參數是確定的,含有PP型被動支鏈的平面并聯機構將不可控或不能裝配[14],故被動支鏈類型中不能有PP型。根據所有被動支鏈的結構類型,可知平面并聯機構中的運動支鏈有18種類型,如表1所示。

表1　平面并聯機構的18種運動支鏈類型

由上述分析可知,平面并聯機構有m=3條運動支鏈,且只能從表1所示的n=18種類型中選取。由組合數學理論有

(13)

即考慮主動副的分布,由R和P組成的平面并聯機構最多有1 140種類型。

對于所有1 140種平面并聯機構類型中的任一機構,無論其運動支鏈屬于哪種類型,如果所有運動支鏈主動副的驅動器參數全部確定,則動平臺到靜平臺的運動鏈距離是確定的,即動平臺相對靜平臺的位置和姿態可以通過位置正解確定。因此,根據各支鏈的長度約束條件,可建立涵蓋所有1 140種平面并聯機構的等效機構模型,如圖1所示。圖中的虛線表示主動副驅動器參數固定后連接動平臺和靜平臺的等效運動支鏈,其長度為運動鏈的實際長度。

因此,如果算法能求出圖1所示平面并聯機構等效模型的位置正解解析解,則該算法能求出由R和P構成的所有1 140種類型平面并聯機構的位置正解解析解。下面,將針對圖1所示的平面并聯機構等效模型的位置正解進行求解。

2.2　數學建模

由圖1可知,靜坐標系到動坐標系的運動變換可看作靜坐標系沿x軸平移px,沿y軸平移py,再繞z軸旋轉θ,用共形幾何代數表示為

(14)

(15)

(16)

由式(11)得

M=TxTyRz=

(17)

由式(12)可得動平臺的3個鉸鏈中心點Pi(i=4,5,6)在靜坐標系xoy的坐標為

(18)

根據桿長約束條件,由式(6)可得

(19)

將各點的坐標代入式(19),展開得

(20)

(21)

pxp6x-p3xp6x-p3yp6y)cosθ+2(pyp6x-p3yp6x-

(22)

式(20)～(22)為平面并聯機構等效模型的位置正解封閉方程組,其中變量px、py、θ為待求量,其余變量為已知結構參數。

2.3　方程組求解

將式(20)代入式(21)和(22),得到關于px、py的二元一次方程組

Apx+Bpy+D=0

(23)

Epx+Fpy+G=0

(24)

式中A=2p5xcosθ-2p2x

B=2p5xsinθ

E=2p6xcosθ-2p6ysinθ-2p3x

F=2p6ycosθ-2p6xsinθ-2p3y

2(p3xp6x+p3yp6y)cosθ+2(p3xp6y-p3yp6x)sinθ

由式(23)、(24),得px、py關于θ的表達式

(25)

若式(25)中的分母AF-BE≠0(否則該機構為退化構型,將另文探討),將式(25)代入式(20),得

r1cos3θ+r2sinθcos2θ+r3cos2θ+

r4sinθcosθ+r5cosθ+r6sinθ+r7=0

(26)

式中:r1～r7為與機構參數有關的常數,其符號表達式見附錄A。

令t=tanθ/2,則cosθ=(1-t2)/(1+t2),sinθ=2t/(1+t2),代入式(26)可得關于t的一元六次方程

w6t6+w5t5+w4t4+w3t3+w2t2+w1t+w0=0

(27)

式中w1=2(r2+r4+r6)

w2=-3r1-r3+r5+3r7;w3=4(-r2+r6)

w4=3r1+r3-r5+3r7;w5=2(r2-r4+r6)

w6=-r1+r3-r5+r7;w0=r1+r3+r5+r7

式(27)為推導出的平面并聯機構的符號形式輸入輸出方程,即式(27)的系數wi(i=1～6)全部為機構結構參數的符號表達。求解式(27)時,由于計算機硬件的限制,需將已知參數的數值代入系數wi進行求解,可求出關于變量t的6組解,根據θ=2arctant可求得相應的6組θ值。然后,將θ代入式(25)可得px和py的值,從而可獲得平面并聯機構的全部位置正解解析解,無增根也無漏根。值得注意的是,將θ=±π代入式(26)中,若w6=0,則θ=±π也是式(26)的可行根。

上述推導過程全部為符號計算,不需要經典機構運動學理論中的歐拉旋轉角和矩陣運算,亦無需復雜的多元高次非線性方程組消元技巧,只需簡單的線性消元即可推導出平面并聯機構位置正解符號形式的一元六次輸入輸出方程。對于任意1 140種平面并聯機構類型的位置正解,只要將其等效模型的結構參數直接代入式(27),通過求解式(27)和(25),即可快速獲得相應平面并聯機構位置正解的所有解析解,求解過程簡捷,易于編程實現。

3　數字驗證

本文方法可通過科學計算軟件Maple16編程實現。為驗證方法的正確性和有效性,針對圖2b所示的RPR型平面并聯機構,應用本文算法對文獻[2,9-10]中的2組實例進行數字驗證。

3.1　數字實例1

以文獻[2]中的機構結構參數為例進行驗證。將文獻[2]中的結構參數換算成本文等效機構模型的結構參數:q1=46,q2=48,q3=40,p2x=44,p2y=p3x=p5y=0,p3y=30,p5x=52,p6x=42,p6y=40。將結構參數直接代入式(27)和式(25),可快速獲得該并聯機構位置正解的全部6組解析解。計算結果如表2所示,與文獻[2]獲得的結果相同。將6組解分別代入原方程(20)～(22)的左邊,等式成立,說明計算正確。

表2　數字實例1的6組解

3.2　數字實例2

以文獻[9]或[10]中的機構結構參數為例進行驗證。將文獻[9]或[10]中的結構參數換算成本文等效機構模型的結構參數:q1=5,q2=4,q3=4,p2x=6,p2y=p3x=p5y=0,p3x=5,p3y=11,p5x=6,p6x=4×cos45°=2.828 4,p6y=4×sin45°=2.828 4。將結構參數直接代入式(27)和式(25),可快速獲得該并聯機構位置正解的全部6組解析解。計算結果如表3所示,與文獻[9]或[10]獲得的結果相同。將6組解分別代入原方程(20)～(22)的左邊,等式成立,說明計算正確。

表3　數字實例2的6組解

4　結　論

(1)本文闡明了由轉動副R和移動副P任意組合而成的平面并聯機構共有1 140種類型,根據各支鏈的長度約束條件,提出了涵蓋這1 140種平面并聯機構類型的等效機構模型。

(2)基于共形幾何代數提出的求解所有1 140種平面并聯機構位置正解的解析方法,避免了以往文獻中煩瑣的歐拉旋轉角和矩陣運算,以及多元高次非線性方程組的復雜求解,只需簡單線性消元即可推導出該問題的符號形式一元六次輸入輸出方程,并可快速獲得該問題的全部解析解,無增根也無漏根。

(3)推導出的符號形式輸入輸出方程可直接用于平面并聯機構的位置正解輸出變量的求解,使得求解過程十分簡單,不需要重復公式推導以及人工參與消元,適合計算機編程,實現了該問題的數學機械化求解。

(4)通過2個數字實例驗證了本文方法的正確性和有效性。該方法可為平面并聯機構后續的構型退化條件、奇異性研究提供理論基礎。

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附錄A參數r1～r7的符號表達式