用坐標運算解決高考向量問題

周文建

[摘 要]平面向量是高考的一個考點，也是近年高考中的一個熱點、難點問題.用坐標運算能解決高考中的向量問題.

[關鍵詞]坐標運算；向量問題；高考

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 16746058（2017）02003601

平面向量一直是高考中的一個考點，也是近年高考中的一個熱點、難點問題.有的學生在解決平面向量問題時，使用常規的向量運算法，更多的學生相對更喜歡使用向量的坐標運算來解決問題.我們可以采用特值法或者將平面向量轉化成向量的坐標運算.

【例1】 （2015年北京高考題理科第13題）在△ABC中，點M，N滿足AM=2MC

，BN=NC

.若MN=xAB+yAC，

則x= ，y= .

題目所給的已知條件中，沒有說明三角形是什么三角形，用一般三角形來解決問題，只能采用常規的方法，較煩瑣.而應用平面向量基本定理來解決則會事半功倍.解題思路如下.

MN=MA+AB+BN

=-23AC+AB+12BC

=-23AC+AB+12（AC-AB）

=12AB-16AC

筆者發現大部分學生對于平面向量基本定理的應用都存在很大的問題，他們更喜歡應用向量的坐標表示方法，用坐標表示向量，進而應用坐標運算來解決問題.但是本題所給三角形沒有說具體形狀，就沒有辦法應用坐標方法.筆者認為，既然沒說三角形是什么形狀，也就是說直角三角形也是滿足題意的.不妨假設三角形ABC為直角三角形，建立坐標系.解法如下.

試題分析：（特殊化）不妨設AC⊥AB，AB=4，AC=3.利用坐標法，以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，建立直角坐標系，A（0，0），M（0，2），C（0，3），B（4，0），N（2，32），

則

MN=（2，-12），

AB=（4，0），

AC=（0，3），

則（2，-12）=x（4，0）+y（0，3），

4x=2，3y=-12，∴x=12，y=-16

.

應用特殊值加向量的坐標方法來解決此類問題，可以把思維難度很高的向量基本邏輯運算轉化成直角坐標運算來解決，從而降低題目本身的難度，使學生能夠很快入手，輕松解決此類問題.現行高考中理科立體幾何解答題就可以應用這個方法（建立坐標系）來解決，也是現在絕大部分教師建議學生應用的方法.既然立體幾何可以應用這一方法，筆者認為在高考的客觀題中也應應用此方法解決此類問題.但是如果像本題，不

能直接建立坐標系，需要使用特殊情況來建立坐標系的方法，只能局限于客觀題.

【例2】 （2016年天津高考題第7題）已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點D、E分別是邊AB，BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE=2EF，則AF·BC的值為（ ）.

若應用向量的坐標運算方法則可以如下解決.

【坐標運算】建立以BC為x軸，其中點為坐標原點的坐標系，則有

此題應用坐標運算的方法，只需要一步就可以得到答案，而用常規方法則至少需要四步.

【例3】 （2014年新疆維吾爾自治區高考第一次適應性檢測第16題）若D為三角形ABC的邊BC的中點，三角形ABC所在的平面內有一點P滿足，則λ的值為 .

分析：題中沒有說明三角形ABC的形狀，不妨設三角形ABC是以角A為直角的等腰直角三角形，建立以A為坐標原點，有向線段AB方向為x軸正方向，有向線段AC方向為y軸正方向的平面直角坐標系.

綜上可知，用坐標運算解決高考向量問題，可收到事半功倍的效果.

（責任編輯 黃桂堅）