規律探究：路徑、過程與反思

一、教前思考

“表面涂色的正方體”是蘇教版小學數學六年級上冊設置的規律探究內容。“探索并發現表面涂色的小正方體的各種情況以及涂色規律，理解每一類涂色小正方體的個數與它在大正方體中所處位置的關系”是這部分內容的教學重點。這一點并不難，學生依靠直觀思維，就能較快理解?！俺醪嚼斫饷恳活愅可≌襟w的個數與大正方體每條棱被平均分成的份數之間的關系”是這部分內容的教學難點。突破了這一點，規律性的認識就能順利得出。

這部分內容的教學應該以學生為主體，從簡單到復雜，從具體到抽象，引導學生自主探究，解決問題，從中發現規律（上述一般化的關系）。此外，可以通過生活情境激發學生的興趣，用有一定難度的問題引領學生的思考。

二、教學實錄

（一）創設情境，提出問題

師 （出示問題，如圖1）圣誕節就要來了，圣誕老人準備給小朋友們派送彩色奶油蛋糕。

生 103，也就是1000個。

（教師板書，如圖2。）

師 如果你喜歡吃帶彩色奶油的蛋糕，你會怎么選擇？

生 我會選3面都有奶油的。

師 有多少個？指一指，數一數。

生 （走上來指著屏幕數）有8個。

師 為什么都在頂點處？

生 頂點是3條棱相交的點。

（教師板書，如圖3。）

師 除了3面涂色的小正方體，還有幾面涂色的？

生 2面涂色的。

師 有多少個？誰再來指一指，數一數？

生 （邊指邊數）這條棱上有8個，這條棱上也有8個……

生 可以用8×12=96來計算。

師 嗯，這位同學用算式來表示，真棒！為什么都在棱上呢？

生 因為2個面相交就成棱。

（教師板書，如圖4。）

師 還有什么？

生 1面涂色的。

師 1面涂色的會有多少個呢？都在哪兒？誰也來指一指、數一數？

生 （邊指邊數）1面涂色的在6個面上，每個面上有64個，6個面上就有64×6=384個。

生 我知道，64是這樣算出來的：8×8=64。

（有些學生豁然大悟，有些學生似懂非懂，還有些學生茫然。教師板書，如圖5。）

師 大家在找幾面涂色的小正方體個數時有什么感受？是不是覺得有些難？

生 是的，有點難，但是覺得應該有規律。

師 那么，我們研究比較難的復雜問題時可以怎么辦呢？

生 從簡單的開始。

師 可以從哪兒開始研究？

生 我們可以研究把大正方體的每條棱平均分成2份、3份、4份、5份等等。

[評析：教師沒有按教材順序從“把大正方體的每條棱平均分成2份”開始，而是直接從“平均分成10份”入手，發現學生經過努力也能大致完成。這個過程讓學生

體會到尋找規律是有一定的難度的，不由得思考怎樣才能便捷地解決這樣的問題，產生迫切的求知欲望。而這樣由繁而簡的設計也在

告訴學生：當遇到復雜問題時，可以盡可能地把它簡單化，由簡入繁。]

（二）經歷過程，探究規律

1.把大正方體的每條棱平均分成2份。

（教師出示問題，如圖6。）

生 把大正方體的每條棱平均分成2份，分成了8個小正方體，它們都是3面涂色的。

（教師板書，如圖7。）

[評析：“把大正方體的每條棱平均分成2份”的問題非常簡單，教師并未做任何提示，只是根據學生的回答做好相應的板書，靜待學生經歷探究的過程。]

2.把大正方體的每條棱平均分成3份。

（教師出示問題，如圖8。）

生 能切成27個小正方體。

生 3面涂色的還是8個，因為3面涂色的在8個頂點處。

師 會隨著平均分的份數而變化嗎？

生 （齊）不會。

生 2面涂色的有12個，因為2面涂色的在12條棱上，每條棱上有3-2=1個，12條棱上就有（3-2）×12=12個。

師 你能解釋一下“3-2”的意思嗎？

生 每條棱上有3個小正方體，去掉兩端3面涂色的2個，剩下中間的1個就是2面涂色的了。

師 大家聽明白了嗎？誰再來說一遍？

（一位學生重復解釋。）

生 1面涂色的有6個，因為1面涂色的在6個面上，每個面上有1個，6個面上就有1×6=6個。

（教師結合課件小結，如圖9。然后板書，如圖10。）

[評析：當學生回答“2面涂色的有多少個”，直接說出“（3-2）×12”時，其已經超越了

“數一數”的直觀思維水平。這出乎了教師的意料。不過，教師順勢而為，讓學生進行解釋，并給予了肯定，從而引發了更多學生的思考，讓教學難點在這樣的“意外”中自然地獲得了突破。]

3.把大正方體的每條棱平均分成4份。

（教師出示問題，如圖11。）

生 能切成64個小正方體。

生 3面涂色的還是8個。

師 為什么？

生 因為3面涂色的小正方體在頂點上，而頂點始終是8個。

師 真棒！這就是知其然又知其所以然。

生 2面涂色的有24個，每條棱上有4-2=2個，12條棱上就有（4-2）×12=24個。

生 1面涂色的有24個，每個面上有4個，6個面上就有4×6=24個。

師 4×6中的“4”是怎么來的？

生 （4-2）2。

師 你能解釋一下嗎？

（學生解釋。教師結合課件小結，如圖12。然后板書，如圖13。）

[評析：學生經歷了“把大正方體的每條棱平均分成3份”的問題解決過程后，都有了自己的思考，因此這里探究“2面涂色的小正方體個數”時都會想到“（4-2）×12”，探究“1面涂色的小正方體個數”時也會產生本質上的思考：（4-2）2×6。當然，有的學生對算式的來龍去脈可能還不能充分理解。對此，教師也不急躁，而是引導學生

進行解釋，然后“靜待花開”。]

4.把大正方體的每條棱平均分成5份。

（教師出示問題，如圖14。）

生 能切成125個小正方體。

生 3面涂色的還是8個。

生 2面涂色的有（5-2）×12=36個。

生 1面涂色的有（5-2）2×6=54個。

師 你能解釋一下嗎？

生 因為這一行有5個，去掉棱上的2個就是3個。

師 那還有一個5-2呢？

生 因為這一列也有5個，去掉棱上的2個就是3個。

師 這是一個邊長是5-2的正方形，小正方形的個數就是（5-2）2。

（教師結合課件小結，如圖12中的4階立方體變成5階立方體。然后板書，如圖13中的“4”變成“5”。）

[評析：通過“把大正方體的每條棱平均分成5份”的問題解決過程，繼續強化學生對規律的感悟。這時，學生對規律的認識已經呼之欲出了，但是表達上還是有一點小障礙。教師的處理依然非常從容：繼續等待。]

5.把大正方體的每條棱平均分成7份。

師 如果把大正方體的每條棱平均分成7份呢？這一次不看圖了。

生 3面涂色的還是8個。2面涂色的有（7-2）×12=60個。1面涂色的有（7-2）2×6=150個。

師 怎么想的？

生 3面涂色的始終是8個。2面涂色的每條棱上有7-2個，12條棱就再乘12。3面涂色的每個面上有（7-2）2個，6個面就再乘6。

師 真棒！雖然現在沒有模型也沒有圖，但是你的腦中已經有了這個模型和圖了。5是怎么來的？減掉的2表示什么？大家理解了嗎？請看圖找感覺。

（教師結合課件小結，如圖12中的4階立方體變成7階立方體。然后板書，如圖13中的“4”變成“7”。）

[評析：通過“把大正方體的每條棱平均分成7份”的問題解決過程，訓練學生的空間想象能力，同時繼續強化學生對規律的感悟。這時，學生匯報的都是有過程的算式了，說明他們對規律已經有比較清晰的認識了。]

6.把大正方體的每條棱平均分成若干份。

師 通過剛才的研究，我們發現，把表面涂色的大正方體的每條棱平均分成若干份，3面涂色的和8個頂點有關，2面涂色的和12條棱有關，1面涂色的和6個面有關。每一類涂色小正方體的個數與它在大正方體中所處位置有關，還與什么有關呢？不急，我們繼續來研究。（稍停）一開始，我們把大正方體的每條棱平均分成10份，現在你能照樣子改寫了嗎？

（學生回答。教師板書，如圖13中的“4”變成“10”。）

師 再來一個更復雜的，100份呢？

（學生回答。教師板書，如圖13中的“4”變成“100”。）

師 現在，你能把前面的“2份”的算式也改寫成這樣的形式嗎？

（學生回答。教師板書，如圖13中的“4”變成“2”。）

師 你發現什么規律了？說來聽聽。

生 3面涂色的都是8個，2面涂色的都是12的倍數，1面涂色的都是6的倍數。

生 2面和1面涂色的小正方體的個數還與大正方體每條棱被平均分成的份數有關。比如，把大正方體的每條棱平均分成7份，2面涂色的就是（7-2）×12=60個，1面涂色的就是（7-2）2×6=150個。

師 為什么會有這樣的關系？減掉的2是指什么？

生 是指每條棱上兩端3面涂色的小正方體個數。

師 一開始，也許你并不能直接發現規律，但是只要你仔細聆聽，

聽懂了，別人的發現也就成了你的發現。你也能這樣舉個例子嗎？

（學生回答。）

師 如果把大正方體的每條棱平均分成n份呢，怎樣表示？n可以指哪些數？

（學生回答。教師結合課件小結，如圖15。然后板書，如圖13中的“4”變成“n”。）

師 大家依據正方體的特征找、數、算，還能夠通過推理發現規律：每一類涂色小正方體的個數與它在大正方體中所處位置有關，還與大正方體每條棱被平均分成的份數有關。

[評析：在學生自主生成的基礎上，教師組織共同提煉升華。此時，學生對于規律的理解和認識已經很清楚到位。

整個教學過程中，教師由扶到放、由具體到抽象，讓學生自主探究并自主發現、論述，把問題簡單化并從中發現規律、加以推廣；學生始終處于積極思考的狀態，既掌握了知識，也鍛煉了思維。]

（三）反思過程，拓展問題

師 回顧發現規律的過程，你能結合板書來談談體會嗎？

生 發現規律的過程是從簡單到復雜、從具體到抽象的過程。

生 把找、數、算的方法結合起來，并根據圖形特征來考慮，就能很快找到規律。

生 發現的規律是：把大正方體的每條棱平均分成n份，3面涂色的小正方體總是8個，2面涂色的小正方體有12（n-2）個，1面涂色的小正方體有 6（n-2）2個。

師 我們用這樣的策略研究了表面涂色的正方體個數，你覺得還可以用這樣的方法來研究什么問題？

生 表面不涂色的小正方體個數。

師 你能說說嗎？

（學生積極思考、舉手。）

師 時間關系，我們課后再研究吧。

[評析：有了前面的自主探究發現，新的問題一提出，很多學生立即陷入了思考，也有學生幾乎立刻有了反饋。這樣便把課堂探究與發現延伸到了課外。]

三、教學總評

這是一節規律探究課，教學中要把學習的主動權還給學生，讓學生從具體的案例中學會探究，體會數學探究的一般“套路”，從而培養學生的學習力。

（一）探究路徑：從“發現”走向“會發現”

在數學探究教學中，我們要突破按部就班的“被動接受”方式，相信學生是與生俱來的“主動探究”者，引導學生自主創生探究的路徑。

本節課由復雜的問題情境引入，讓大部分學生感覺困難，從而引出“那么，我們研究比較難的復雜問題時可以怎么辦呢”。學生從中獲得探究的路徑：從簡單的開始發現一般規律，然后運用規律解決比較困難的問題。此時的發現規律的方法與價值也就進一步凸顯了。這樣的過程中，學生正在從“發現”走向“會發現”。

（二）探究過程：從“解決”走向“會解決”

教師要充分發揮學生的自主參與意識，鼓勵學生參與自主分工、設計、完善研究方案的過程。所以，在學生自主創生探究的路徑后，教師還要繼續引導學生經歷探究的過程，不僅獲得知識的理解，而且獲得更多智慧的啟迪。

本節課在具體探究發現規律的過程中，遵循由簡單到復雜（數量方面的簡單到復雜，重點到難點的簡單到復雜）、由具體到抽象的問題解決邏輯。最后發現規律的水到渠成驗證了探究思路的合理性。這樣的過程中，學生正在從“解決”走向“會解決”。

（三）探究反思：從“反思”走向“會反思”

教學應以學生為本，并進一步落實到使學生學會學習。這就要通過反思提高學生的元認知能力，以實現從“加工知識”走向“駕馭知識”、從“學會數學”走向“會學數學”的目標，從而促進“人的終身發展”。

本節課中，教師有一件事做得非常到位，那就是隨著學生的思維生成板書，使得每一位學生進行知識建模時有憑借、有支撐，即使基礎較差的學生也不需要教師做過多的點撥。在此基礎上，學生的反思內容自然就比較全面，有發現的路徑，有發現的方法，有發現的規律，等等。而這樣的過程本身就在有意識地引導學生從“反思”走向“會反思”，不僅關注知識的積累，更關注能力的提升。

最后需要指出的是，如何更加有效地利用學具幫助部分思維能力較弱的學生真正理解規律，如何根據學生的實際情況設計不同的學習路線，是本節課的教學設計不夠到位的地方。對此，我們將展開進一步的思考與研究。