基于貝葉斯理論的隨機(jī)風(fēng)荷載作用下懸索橋顫振可靠性分析

樓燦洪,董峰輝

1.長(zhǎng)安大學(xué)公路學(xué)院橋梁工程系,陜西 西安 710064 2.同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院橋梁工程系,上海 200092

懸索橋由于承重構(gòu)件-主纜主要依靠重力剛度來承擔(dān)荷載，表現(xiàn)出非常明顯的大位移非線性性質(zhì)，橋梁體系柔度顯著增加，導(dǎo)致風(fēng)致顫振對(duì)懸索橋的體系穩(wěn)定性產(chǎn)生極大威脅。目前普遍的評(píng)價(jià)方法如下：通過有限元數(shù)值分析或風(fēng)洞試驗(yàn)的手段得到體系的顫振臨界風(fēng)速，用該顫振臨界風(fēng)速與檢驗(yàn)風(fēng)速作比得到安全系數(shù)。根據(jù)相關(guān)規(guī)范及工程經(jīng)驗(yàn)，確定一個(gè)安全系數(shù)的容許范圍，設(shè)計(jì)人員檢查上述得到的安全系數(shù)是否處在容許范圍內(nèi)。然而，容許范圍的確定和基于此評(píng)價(jià)得到的大跨度懸索橋顫振穩(wěn)定性缺乏足夠的理論和數(shù)據(jù)依據(jù)作為支撐，因此得到的安全度不夠客觀，難以真正保證懸索橋的結(jié)構(gòu)安全。不僅如此，上述方法是基于確定性模型進(jìn)行的，無法考慮結(jié)構(gòu)和荷載的隨機(jī)性，也造成了評(píng)價(jià)結(jié)果的失真。

將結(jié)構(gòu)可靠度理論引入大跨度懸索橋顫振安全性評(píng)價(jià)，能夠考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)和荷載參數(shù)的不確定因素影響。葛耀君[1]、周崢[2]等在評(píng)價(jià)橋梁顫振可靠性的過程中采用確定性方法確定顫振臨界風(fēng)速和風(fēng)速，因此沒有完全擺脫傳統(tǒng)方法的不足，導(dǎo)致了過于保守的顫振評(píng)價(jià)結(jié)果[3]。程進(jìn)[4]、Thomas Canor[5]、Ibuki Kusano[6,7]、Aitor Baldomir[8]等學(xué)者進(jìn)行了大跨度懸索橋的顫振臨界風(fēng)速概率分析，但沒有進(jìn)一步進(jìn)行結(jié)構(gòu)的可靠性和失效概率的計(jì)算。

由上述分析可知，隨機(jī)風(fēng)荷載在結(jié)構(gòu)顫振可靠性評(píng)估過程中的作用不容忽視。以矩法、概率權(quán)矩法和極大似然估計(jì)法為主的傳統(tǒng)風(fēng)速預(yù)測(cè)方法均依賴于風(fēng)速樣本的大小，在樣本量小（≤50）的情況下，其精度受到限制。本文提出基于Bayes統(tǒng)計(jì)理論的極值風(fēng)速預(yù)測(cè)方法，以期改進(jìn)現(xiàn)有極值風(fēng)速預(yù)測(cè)方法的不足之處。隨后，基于這種改進(jìn)的極值風(fēng)速預(yù)測(cè)方法，得到更加精確的顫振檢驗(yàn)風(fēng)速，從而進(jìn)行大跨度懸索橋顫振可靠性分析。

1 極值-I型分布

一般采用極值-I型概率函數(shù)來刻畫橋址處設(shè)計(jì)風(fēng)速的概率模型，其概率密度函數(shù)和累計(jì)分布函數(shù)如下：

式中：μ：位置參數(shù)；σ：尺度參數(shù)。

通過對(duì)（2）式兩邊取對(duì)數(shù)，得到重現(xiàn)期為T（保證率為1- ）的風(fēng)速預(yù)測(cè)值為：

2 Bayes理論

采用Bayes理論將μ和σ作為隨機(jī)變量來估計(jì)μ和σ的聯(lián)合概率密度函數(shù)π(μ,σ)，下面采用Jeffrey’s無信息先驗(yàn)分布[9]來對(duì)進(jìn)行估計(jì)。具體步驟如下：

（3）(μ,σ)的無信息先驗(yàn)密度函數(shù)為：

為了基于π(μ,σ)推導(dǎo)的解析表達(dá)式，下面采用Lindley近似方法。

3 Lindley近似

需要注意的是，I為在給定先驗(yàn)分布v(θ)的情況下u()θ的后驗(yàn)期望。

4 極值-I型風(fēng)速的預(yù)測(cè)模型

從上述Bayes估計(jì)理論,可得考慮百年一遇極值-I型風(fēng)速預(yù)測(cè)模型如下：

由（17）式可見，基于Bayes理論的極值-I型風(fēng)速預(yù)測(cè)值，等于用一個(gè)修正項(xiàng)來補(bǔ)充最大似然估計(jì)得到的極值-I型風(fēng)速預(yù)測(cè)值。因此，從理論上來說，基于Bayes理論比基于最大似然估計(jì)進(jìn)行極值-I型風(fēng)速預(yù)測(cè)更精確，與實(shí)際情況更符合。風(fēng)速的實(shí)際分布概型復(fù)雜而未知，目前抗風(fēng)規(guī)范規(guī)定風(fēng)速服從極值-I型分布，因此本文僅針對(duì)極值-I型風(fēng)速分布進(jìn)行極值風(fēng)速預(yù)測(cè)。實(shí)際上，在具體工程實(shí)際問題分析時(shí)，只要事先假定好極值風(fēng)速分布概型，Bayes極值風(fēng)速預(yù)測(cè)方法同樣適用。

5 算例驗(yàn)證

本研究考慮重現(xiàn)期為100年，分別基于Bayes理論和最大似然估計(jì)法求得極值-I型風(fēng)速預(yù)測(cè)值，并采用Monte Carlo法數(shù)值仿真來進(jìn)行比較。數(shù)值仿真算例基本情況如下：

（1）假定隨機(jī)變量位置參數(shù)μ和隨機(jī)變量尺度參數(shù)σ相互獨(dú)立，模擬100個(gè)位置參數(shù)μ，模擬均來自于N（15,4）。

（2）假設(shè)尺度參數(shù)σ服從均勻分布，令尺度參數(shù)σ為2。

（3）前述步驟已經(jīng)得到100對(duì)位置參數(shù)μ和尺度參數(shù)σ，使用這些參數(shù)，從極值-I型概率分布函數(shù)中生成200個(gè)偽風(fēng)速母樣。

（4）為便于分析比較，求出基于Bayes理論和最大似然估計(jì)法預(yù)測(cè)極值-I型風(fēng)速的誤差。

表1示出了Monte Carlo法數(shù)值仿真模擬的結(jié)果。表1中，Bμ表示采用先驗(yàn)樣本計(jì)算位置參數(shù)的Bayes估計(jì)值，表示位置參數(shù)的最大似然估計(jì)值，表示尺度參數(shù)的最大似然估計(jì)值。表示偽風(fēng)速母樣理論值，表示最大似然估計(jì)極值-I型風(fēng)速預(yù)測(cè)值，表示Bayes估計(jì)極值-I型風(fēng)速預(yù)測(cè)值，表示采用最大似然估計(jì)得到的極值-I型風(fēng)速預(yù)測(cè)值的誤差，表示采用Bayes估計(jì)得到的極值-I型風(fēng)速預(yù)測(cè)值的誤差。

表1 結(jié)果比較Table 1 Comparison of results

從表1可知，采用Bayes估計(jì)得到的極值-I型風(fēng)速預(yù)測(cè)值比最大似然估計(jì)方法更接近理論值。

6 工程應(yīng)用

基于周崢和葛耀君[2]建立的懸索橋顫振可靠度模型，引入本文提出的基于Bayes理論的極值風(fēng)速預(yù)測(cè)方法取代傳統(tǒng)方法得到顫振臨界風(fēng)速，進(jìn)行6座懸索橋的顫振可靠性評(píng)價(jià)。

6.1 極限狀態(tài)方程

式中：Uf：顫振臨界風(fēng)速；Cw：由縮尺模型到實(shí)橋的轉(zhuǎn)換系數(shù)；Ub：橋面高度的年最大風(fēng)速值；Gs：陣風(fēng)因子。

6.2 隨機(jī)變量概率分布

我國大部分氣象站資料的統(tǒng)計(jì)分析表明，Ub的最優(yōu)分布為極值I型分布，百年一遇的極值風(fēng)速均值由前文所述的Bayes方法確定，變異系數(shù)為0.2[2]；Gs服從正態(tài)分布[2]；Cw服從正態(tài)分布[2]；顫振臨界風(fēng)速Uf服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，均值采用Van der Put近似公式[10]計(jì)算，變異系數(shù)為0.075[10]。懸索橋顫振可靠度分析中的隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)特性見表2。

表2 隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)特性Table 2 Statistics of random variables

6.3 顫振可靠性分析

本文采用基于MATLAB平臺(tái)的FERUM軟件編制了一次二階矩法中JC法的顫振可靠度計(jì)算程序。按照上文列出的四個(gè)基本隨機(jī)變量及其概率模型統(tǒng)計(jì)參數(shù)，建立大跨度懸索橋顫振可靠度模型，計(jì)算其顫振可靠性。迭代程序計(jì)算了各實(shí)例的顫振穩(wěn)定可靠指標(biāo)性β，詳見表3。表中同時(shí)列出文獻(xiàn)2的計(jì)算結(jié)果用于對(duì)比。

表3 顫振可靠性評(píng)價(jià)結(jié)果Table 3Assessment results of flutter reliability

表3結(jié)果表明：在進(jìn)行懸索橋顫振可靠性評(píng)價(jià)時(shí)，比起最大似然估計(jì)的結(jié)果，采用本文基于Bayes理論的方法計(jì)算得到的柳州紅光大橋、潤(rùn)揚(yáng)長(zhǎng)江大橋、西堠門大橋的顫振穩(wěn)定可靠性指標(biāo)都小于文獻(xiàn)2方法的結(jié)果，而廣東虎門大橋、宜昌長(zhǎng)江大橋、江陰長(zhǎng)江大橋的的顫振穩(wěn)定可靠性指標(biāo)都大于文獻(xiàn)2方法的結(jié)果。

由于采用最大似然估計(jì)法進(jìn)行極值-I型風(fēng)速預(yù)測(cè)本身存在無法回避的固有缺陷，采用貝葉斯理論進(jìn)行極值-型風(fēng)速預(yù)測(cè)能夠彌補(bǔ)和改進(jìn)最大似然估計(jì)法的不足之處，所以，采用貝葉斯理論進(jìn)行極值-型風(fēng)速預(yù)測(cè)更符合工程實(shí)際情況。顫振可靠性分析計(jì)算基于對(duì)風(fēng)速的預(yù)測(cè)，因此最大似然估計(jì)法（MLE）會(huì)過高或過低估計(jì)大跨度懸索橋的顫振穩(wěn)定安全性，采用貝葉斯理論對(duì)懸索橋的顫振性能進(jìn)行可靠度評(píng)價(jià)，精度更高，且能滿足工程應(yīng)用需求。

7 結(jié)論

本文基于Bayes理論提出極值風(fēng)速預(yù)測(cè)方法，進(jìn)而基于此極值風(fēng)速預(yù)測(cè)值建立大跨度懸索橋顫振可靠性分析模型。受到極值風(fēng)速預(yù)測(cè)的影響，傳統(tǒng)方法用于大跨度懸索橋顫振穩(wěn)定可靠性評(píng)價(jià)，會(huì)過高或過低地估計(jì)顫振的安全性；而基于Bayes理論，可以更加客觀、準(zhǔn)確地計(jì)算懸索橋顫振可靠性。本文提出的方法可以進(jìn)一步提高大跨度懸索橋顫振可靠性分析的精度，為大跨度懸索橋工程建設(shè)服務(wù)，具有良好的工程實(shí)用意義。

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