從一道開放題管窺數學發散的思維基點

◎畢坤博

前言：在數學的學習過程中，我們除了需要重視對知識的了解與掌握，還應該注重對數學潛能的激發和數學思維模式的構建，對數學問題進行大膽的創新與實踐。此外，我們應該重視對例題和課后習題拓展與訓練，例如：條件和結論的轉化等，從而使數學習題更具開放性與靈活性，進一步增強自身的發散性思維。

一、開放性題目

部分數學問題能夠在經過兩次變化之后，與原題保持一致，通常情況下，我們將這樣的數學問題稱為二階回歸變換。本文將以一道數學平面幾何題為例，分析應該從哪幾個維度培養自身的發散思維。

二、條件發散

從心理學的角度來講，我們在思考問題過程中，往往習慣于探究問題的本源，并從特殊條件的角度，分析問題的結論。此外，數學家華羅庚曾說過“退，足夠的退，退到最原始的地方，你將會海闊天空”，這與二階回歸變換的本質完全相同。從條件發散的角度，設計以下問題。

如果△ABC為直角三角形，BC為斜邊，AD是該邊的高，可知，AB·AC＝AD·BC。這一等式經常用于計算直角三角形的高，而且這一等式中的BC就是直角三角形ABC外接圓的直徑。

三、解法分散

在解答數學問題時，必須注重對自身潛力的挖掘，包括對從多個維度對數學問題進行思考，并提出自己的見解；或者是對數學解題方法進行創新，進一步提升自己的創造性思維與發散性思維。在面對一道數學題時，我們需要從不同的層面去思考，全面分析問題的解決方案，從而使自己思維的變通性得到鍛煉，更好地把握問題之間的有效聯系。

在上邊提到，要求證：AD·AE＝AB·AC。這一問題可以從三個角度進行證明，

解法1：從相似性的角度證明 AD·AE＝AB·AC。連結CE或者BE，通過證明△AEC∽△ABD或者△ABE∽△ADC，并根據相關定理，得到：AD·AE＝AB·AC。

解法3：從圓周角定理推論的角度證明，同弧與等弧所對應的圓周角相等。首先要延長AD，與直角三角形外接圓相交于點F。然后連結EF與EB（見上圖2），可以推導出BC∥EF→BE＝CF→∠1＝∠2→△ABE∽△ADC→AD·AE＝AB·AC。

四、結論分散

從高中生的角度來講，發散性思維要求自身在思考數學問題的過程中，能夠考慮到不同的結果，并將思維進行全方位拓展，從而獲得更多與題相關的信息。這樣，自身的思維途徑和方式才會更加多樣性，而且也不僅限于得到最基礎的結論。例如：，其實就是三角形任意一邊的高于另外兩邊之積除以外接圓直徑的商相等。這一結論可以用公式表示為

五、培養自身發散思維的具體策略

1．強化自身的探究意識，注重自身探究能力的提升 受到傳統教學方式的影響，我們對一些數學定理、公式和結論的應用往往采取直接記憶的方式，但是這一過程中，我們難以了解數學相關定義的形成過程，而且自身的思維能力與創新能力得不到培養。所以在課堂學習過程中，我們必須重視教師針對問題構建自己的思維過程。以二項式定理的推導學習為例，首先將把（a＋b）2，（a＋b）3，（a＋b）4分解展開，其次觀察這三個等式，利用前面學到的排列組合的知識對a和b的系數進行歸納，進而歸納出（a＋b）n的展開式。通過這樣的方式，我們能夠在自己的努力下，加深對二項展開式的理解，同時也鍛煉了自身動手實踐能力。

2．拓寬數學思維的視野，提升自身發散性思維能力 在高中數學學習過程中，很多學習思維固定化，思路過于狹窄，不利于對信息進行多方位、多角度、多層次的分析。作為一名高中生，我們必須對自己的思維模式進行創新，而且不能局限于常規的解題思路。

例如：已知實數X、Y滿足X＋Y＋1，那么點g（X，Y）對應的運動軌跡應該是什么？復習圓錐曲線的過程中，我們在這個問題上，往往會采取簡化方程的方式解決，但是通常是化簡半天還看不出結果，而不去仔細研究此式的結構，進而可以看出點（1，3）及直線X＋Y＋1＝0的距離相等，從而判斷出其軌跡為拋物線。這樣的例子可以讓我們從多方位、多角度的思維方式找出題目中的“變”和“不要”，從而使疑難問題簡單化。經過這樣的訓練可以拓展自身的思維，并使發散性思維能力得到培養與提升。

結語：開放性試題最大的特點就是開放，利用這類題型培養自身的開放性思維具有非常重要的作用，能夠鍛煉我們從多個角度思考問題，還能夠讓我們增強自身對問題之間內在聯系的探究與分析。為使自身的開放性思維得到進一步培養與提升，我們需要在平時的學習過程中，注重從多個維度進行思考，重視對解題技巧和方法的積累，并能夠養成對零散知識進行整合的習慣，才能夠靈活應用所學的知識，做到舉一反三。文章從開放題，對數學發散思維的三個思維基點，即：條件、結論與解法，進行簡單的分析，并在此基礎上提出兩條發散思維的培養策略，以期能夠具有為高中生發散思維的培養提供一定的借鑒意義。

參考文獻：

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