熟知知識背景 揭示問題實質
——多角度例說圓錐曲線中的一類對稱問題

◎姚石

角度1 根據判別式及韋達定理來求解

假設兩點A、B關于直線l對稱，根據兩點關于一條直線對稱的知識背景，首先要明確對稱中體現的兩要點：垂直和兩點連線中點在對稱直線l上，因此使用這種方法求解時，必須同時確保：⑴垂直；⑵平分⑶存在，下面就說明三個確保的實施。解法如下：設橢圓上存在A、B兩點關于直線對稱，為了保證A、B兩點所在的直線與直線l垂直，故設直線AB為：則直線 AB與橢圓有兩個不同的交點，即，得：13x2－8nx＋16n2－48＝0?Δ＝－192（4b2－13）＞0，解得設點 A（x1，y1）、B（x2，y2），由韋達定理得：，所以A、B兩點中點的橫坐標為縱坐標為，因此點在直線直線l：4x－y＋b＝0上，即：，解出所以可得：

角度2 根據點差法的知識背景來求解

點差法是解決中點弦的一種常見解題方法，在已知弦中點坐標的前提下，能快速得到弦所在直線的斜率問題，而該題目完全符合點差法的應用條件，解題過程如下：設橢圓上關于直線 l對稱的兩點 A（x1，y1）、B（x2，y2），弦 AB的中點為 M（x0，y0），利用點差法得：在直線l：4x－y＋b＝0上，得：y0＝4x0＋b···② ，①②聯立得到x0＝－b，y0＝－3b，因為點M（x0，y0）在橢圓內部，即

角度3 根據平行弦中點軌跡的背景來求解

根據有關弦中點軌跡的思路，可以通過軌跡曲線與圓錐曲線的位置關系，可利用數形結合尋找參數范圍。解題思路如下：

設橢圓上關于直線l對稱的兩點 A（x1，y1）、B（x2，y2），弦 AB的中點為 M（x0，y0），利用點差法得：，得y0＝3x0，所以以為斜率的平行弦的中點軌跡是直線y＝3x在橢圓內部的一段（不包括端點）。將y＝3x與橢圓聯立得兩交點，所以問題即轉化為直線l：4xy＋b＝0與線段有交點，易得

角度4 根據根的分布來求解

橢圓上存在不同兩點關于直線l對稱，等價于橢圓上存在被l垂直平分弦，即等價于橢圓的適合條件的弦所在的直線方程，與曲線的方程組成的方程組在某確定的區間上有兩個不同的解，因此可以利用一元二次方程根的分布來解，解題過程如下：根據角度2得到中點M（x0，y0）的坐標為（－b，－3b），直線AB的方程為：