從錯誤剖析到概念清晰

◎林少云

概率是新教材的一個重要內容，在每年高考中都占有一席之地。但是由于這部分內容的概念比較多，相近概念容易混淆，在解題過程中，學生會經常出現一些表面看起來正確而實際上是錯誤的解法。筆者認為，在教學過程中如果能及時向學生剖析造成錯解的原因，可以幫助學生更加透徹地理解這些概念，提高他們的辨別能力，減少錯解的發生。下面就學生在解題中經常混淆的概念進行剖析。

一、“概率”和“頻率”

例1：把一枚質地均勻的硬幣連續擲1000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，則可認為擲一次硬幣正面朝上的概率為______。

所以擲一次硬幣正面朝上的概率為0．496。

剖析：錯誤的原因是混淆了概率和頻率的概念，事實上頻率是隨機的，做同樣的試驗得到的頻率可能是不同的，如本題中的0．496是1000次試驗中硬幣正面朝上的頻率；而概率是一個確定的常數，是客觀存在的，與試驗次數無關。

正解：通過做大量的試驗可以發現，硬幣正面朝上的頻率都在0．5附近擺動并趨于穩定，故擲一次硬幣，正面朝上的概率為0．5。

點評：學生在小學時對事件發生的可能性的大小已經有了初步的認識，可以從試驗中歸納、總結得到一個事件發生的頻率，進而可能就認為這個頻率就是這個事件發生的概率，通過該錯解，讓學生區別兩者的不同：頻率是隨機的，概率是確定的，隨著實驗次數的增加，頻率在概率附近擺動。

二、“非等可能”和“等可能”［1］

例1（古典概型）：先后拋擲兩枚質地均勻的硬幣，求出現“一枚正面朝上，一枚反面朝上”的概率。

錯解：先后拋擲兩枚質地均勻的硬幣，有（正，正）、（正，反）、（反，反）共3種結果，所以

剖析：錯誤的原因是以上3種結果不是等可能發生的，（正，反）包括（正，反）和

（反，正）兩種不同的情況，從而得出錯誤的概率。

正解：先后拋擲兩枚質地均勻的硬幣，有（正，正）、（正，反）、（反，正）、

例2（幾何概型）：在等腰RtΔABC中，過直角頂點C在∠ACB內部任作一條射線CM與線段AB交于點M，求AM ＜AC的概率。［1］［2］

錯解：由于點M隨機地落在線段AB上，故可以認為點M落在線段AB上任一點是等可能的，可以將長度作為測度。在線段

AB上截取AC＇＝AC＇。當點M位于線段AC＇上時，AM＜AC

剖析：該解法錯誤的原因也是不滿足等可能性。證明如下：以C為圓心，AC為半徑作四分之一圓，H為弧AB的中點，連結CH交AB于G，取弧AH的中點Q，連結CQ交AG于P，連結PH，則CH⊥AB，∠ACQ＝∠HCQ．又CA＝CH，CP＝CP，所以ΔHPC?ΔAPC，所以AP＝HP．在RtΔGHP中，HP＞GP，所以AP＞GP．也就是說當射線CM在∠ACB內部均勻分布時，所對應的點M在線段AB上卻不是均勻分布的。

正解：在∠ACB內的射線CM是均勻分布的，所以射線CM在任何位置都是等可能的，在AB上取AC／＝AC，則∠ACC／＝67．5°，故滿足條件的概率為

三、“有序”和“無序”

例1、從5名乒乓球隊員中選3人參加團體比賽，其中甲在乙前出場的概率為（ ）

剖析：題中“甲在乙前出場”已經暗示了此題應作為有序問題處理，所以此解法錯誤的原因是把有序當無序。

例2：從10件產品（其中次品3件）中，一件一件地不放回地任意取出4件，求4件中恰有1件次品的概率。錯解：從10件取4件共有種取法，設A＝“取出的4件中恰有1件次品”，則A含有種結果，所以

剖析：在處理概率問題時，有些問題可以按“有序”處理，也可按“無序”處理，但處理時必須保證分子和分母的統一性。而該錯解計算事件A所含基本事件的個數是用組合的方法，即沒有考慮抽取的順序；而計算基本事件的總數時是用排列的方法，即考慮了抽取的順序。

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正解：（1）都用排列方法

（2）都用組合方法

一件一件不放回地抽取4件，可以看成一次抽取4件，總共含有個基本事件，A包含有個基本事件。

點評：碰到抽取問題時，首先要認真審題，確定是“有序問題”還是“無序問題”，如果是可有可無的順序問題，在實際處理時，必須保證分子和分母的統一性

四、“互斥”和“對立”

例：從裝有2個紅球和2個白球的口袋內任取2個球，那么互斥而不對立的兩事件是（ ）

A．至少有1個白球與都是白球 B．至少有1個白球與至少有1個紅球

C．至少有1個白球與都是紅球 D．恰有1個白球與恰有2個紅球

錯解：C

剖析：本題錯誤在于把“互斥”與“對立”混同，要準確解答這類問題，必須搞清對立事件與互斥事件的聯系與區別：

（1）兩事件對立，必定互斥，但互斥未必對立；

（2）互斥的概念適用于多個事件，但對立概念只適用于兩個事件；

（3）兩個事件互斥只表明這兩個事件不能同時發生，即至多只能發生其中一個，但可以都不發生；而兩事件對立則表示它們有且僅有一個發生。

正解：事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是不能同時發生的兩個事件，這兩個事件可能恰有一個發生，也可能兩個都不發生，所以應選C。

點評：該錯解除了讓學生搞清對立事件與互斥事件的聯系與區別之外，也讓他們知道判斷兩事件的關系，應先判斷兩者是否互斥，若不互斥，則肯定也不對立；若互斥，則進一步判斷它們是否對立。

五、“互斥”和“相互獨立”

例：甲投籃命中率為0．8，乙投籃命中率為0．7，每人投3次，兩人恰好都命中2次的概率是多少？

錯解：設“甲恰好投中兩次”為事件A，“乙恰好投中兩次”為事件B，

剖析：本題錯誤原因是把相互獨立同時發生的事件當成了互斥事件。

正解：設“甲恰好投中兩次”為事件A，“乙恰好投中兩次”為事件B，且A，B相互獨立，則兩人都恰好投中兩次為事件A×B，于是P（A×

點評：“互斥”和“相互獨立”是不同的概念，互斥事件是指同一試驗下的兩個事件不可能同時發生；兩事件相互獨立是指一個事件的發生與否對另一個事件發生與否沒有影響，這兩個事件事件是兩次或更多次不同試驗下出現的，它們雖然都描繪了兩個事件間的關系，但所描繪的關系是根本不同的。而且兩者的概率公式也不同：若A、B為互斥事件，則P（A＋B）＝P（A）＋P（B）；若A、B相互獨立，則P（AB）＝P（A）P（B）。

六、“條件概率”與“積事件的概率”［2］

例1、100件產品中有10件次品，隨機不放回取兩次，每次取一件，求在第一次取得正品的條件下，第二次取得正品的概率．

錯解：設第一次取得正品為事件A，第二次取得正品為事件B，則在第一次取得正品的條件下，第二次取得正品為事件AB，所以所求的概率為

剖析：解題的錯誤是由于對條件概率的定義理解不深刻，“第一次取得正品后第二次又取得正品的概率”與“在第一次取得正品的條件下，第二次取得正品的概率”的意義是不相同的，前者是積事件的概率，而后者的意思是在第一次取得正品已經預先發生的條件下，再來進行第二次試驗而取得正品的條件概率．

例2、袋中有6個黃色、4個白色的乒乓球，作不放回抽樣，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黃色球的概率．

錯解：記“第一次取到白球”為事件A，“第二次取到黃球”為事件B，“第二次才取到黃球”為事件C，則

剖析：本題錯誤也是在于對積事件的概率與條件概率的含義沒有弄清，對“第二次才取到黃球”這一事件，并不是“第一次取到白球”已經預先發生，而是與“第二次取到黃球”同時發生，所以它不是條件概率而是積事件的概率．

正解：第二次才取到黃球的概率為 P（C）＝P（AB）＝P（A）·

點評：條件概率與積事件概率本來是意義非常明確的兩個不同概念，但是初學者在一些稍復雜一點的問題中卻往往將這兩種概率張冠李戴，導致錯誤的結果．對此，筆者在多年的教學中感到這是概率中解題差錯率較高的部分，應予足夠的重視。事實上，設是隨機試驗對應的樣本空間Ω中的兩個事件。必須注意：P（A1A2）是A1，A2同時發生的概率，而是在A已經發生的條件下，A2發生的概率。從樣本空間的角度來看，這兩種事件所對應的樣本空間發生了改變，求P（A1A2）時，我們仍在原來的隨機試驗所對應的樣本空間Ω進行討論；求時，所考慮的樣本空間就不是Ω了，這是因為前提條件中已經知道了一個條件（即A1已發生）。這樣所考慮的樣本空間的范圍必然縮小了。因此。事件“A1A2”與事件“”是兩種截然不同的事件，但它們也不是一點聯系都沒有，乘法公式就給出了這兩種事件概率之間的聯系。

通過對上述問題的錯解剖析，可以看到概念在解題中有著不可忽視的作用，這就要求教師自身要加強概率中概念的學習和反思，真正的將抽象的概率知識轉化為具體的概念知識。同時在教學中，要善于利用教材中的典型例題，讓學生能看到一般概念的實際背景，弄清知識的來龍去脈，將不同概念區別開來。［3］［4］

參考文獻：

［1］彭錦平．高中立體幾何解題教學研究與實踐．［J］湖南師范大學．2015－06－01

［2］星漢．高中概率題中的數學思想方法運用［J］科學大眾（科學教育）．2017－02－20

［3］顧澤多．數學教學過程中解題思路初探研究［J］教育現代化．2017－12－11

［4］曾劍明．高中數學教學中培養學生主體參與意識的教學策略［J］教育現代化．2017－12－11