問題驅動理念下的高中數學合作學習探析
——以“差角三角函數公式”教學為例

陳龍珠吳 飛

（1.尤溪第一中學，福建 尤溪 365100；2.尤溪教師進修學校，福建 尤溪 365100）

“自主、合作與探究”是本次課程改革所提倡的教學理念。相對自主學習而言，高中生合作學習的組織和實施比較困難，主要問題集中表現在兩個方面：一是不愿合作與不會合作。基礎好的學生認為課堂學習時間太緊，與其合作不如自己多學，基礎弱的學生提不出問題，不知道如何合作。二是沒有合作學習的平臺與機制。所謂“合作學習平臺”，是指兩人及以上有組織的合作學習小組，小組內有目標、有分工。沒有平臺就沒有組建學習小組或有小組沒有組織管理。［1］所謂“合作學習機制”主要指相互間的幫扶機制，合作的評價、激勵機制。［2］沒有機制就沒有結對子幫扶措施，沒有過程評價和行為激勵的運行機制。

上述問題的根源集中體現在教師和學生認識上，反映在合作學習問題設計上。認識到位，問題設計合理，那么合作的態度、平臺及其機制就有根基。對此，筆者以“差角三角函數公式”教學為例，從學習問題設計入手，對高中生數學合作學習的實施進行具體分析。

一、師生慣性思維引發的合作學習困境與矯正

對教師而言，依據教材講授知識是最為簡單的教學行為。“教都教不會，讓學生自己合作學習不是時間浪費嗎？”“課程教學內容多、任務重，沒有時間安排合作”，這是“教教材”教師的普遍認識。以“差角三角函數公式”（2013人教版A版數學必修4）的教學為例，按照教材設計的教學基本流程“情境設置、調度思維”“猜想入手、驗證跟進”“聯系舊知、推導公式”和“例題講解、練習配套”四個環節展開，是多數教師的教學行為。從教學內容和教學課時安排看，一個課時教學時間，要讓不同程度學生掌握知識點（如何在單位圓中用角α與β的正弦值和余弦值來表示角α-β的余弦值；如何用向量數量積的坐標來表示角α-β的余弦值）并且在思維能力（思維方面：如何構造α-β？為什么要這樣設計？思想方法上：單位圓模型應用）上有所提升和發展，的確是有一定的難度。很顯然，無論教師多么努力講解，中等程度以下學生都將存在“夾生飯”情況，課后要花時間自己再理解，而優生的認知水平也只是停留在接受上。既然如此，讓學生帶著一定問題（有梯次的問題串）合作（好、中、差的組合）探究，然后，教師根據情況再行施教至少有兩個好處：好生可以在“教而知困”中實現“憤啟”——說得出來，系統化知識；中下生可以在“學而知不足”中實現“悱發”——有基礎的啟發，理解知識。在本例“差角三角函數公式”教學中，如果組織學生先依據問題串合作探究然后再因學施教，筆者以為對教師后續講解和對學生思維的調度，在時間上、在知識理解和能力發展上都是經濟、合理的（下文將具體分析）。因此，教師認識問題要在課堂教學設計的比較中具體解決。

對學生而言，依賴感是長期講授式教學形成的習慣。學習好的學生不愿與學習落后的學生交流，是因為優生認為自己已經理解了教師的講解，沒有問題需要交流，而一旦形成依賴，多數時候也提不出有價值的問題；對于學困生而言，由于基礎不扎實怕提問題，加之形成了對教師的依賴，也確實提不出問題交流。因此，在課堂中無法實施合作學習的本質是學生長期依賴教師的結果。因此，要有意識地組織學生自主探究與合作探究，讓學習還原為活動中經驗交流的過程性本質，正如差角三角函數公式學習中，“為什么要學”“如何轉化差角函數值為兩個角的三角函數值”“怎么從特殊角到一般的角”，以及“兩種證明方法的比較”都是很自然的經驗問題，只有經驗的自然交流才能實現學習社會性和個體性的統一，促進好生在“教”中深化對知識內在性認識、學困生在交流中消弭對知識交流的“恐慌”，形成好中差的多贏局面，這才是解決問題之根本。

二、以問題作主線串聯合作內容

合作學習涉及到五個方面：積極的互賴關系，個人的責任，促進性互動，社交技能和小組自評。而探究性合作學習的關鍵是“探究”核心是“合作”，在處理好以上五個方面的同時要認真把握以下三個問題串。

一般而言，課堂教學任務是有一定結構性的，它由學生的認知水平、認知規律和課程標準所決定。因此，探究的內容要圍繞著學生的認知需求與認知水平來組織；探究的任務要圍繞著教材所呈現的教學內容來生成；探究過程圍繞著課程標準所設計的教學目標和教學任務來推進。在明確探究內容、任務的基礎上，用問題串的形式將其串聯起來，特別是將合作內容串聯起來。就“差角三角函數公式”的教學而言，從“為什么要研究差角三角函數值”“章頭圖的情境問題表達了怎樣意圖”，進一步思考，“已知角α的正弦，能不能求出45°+α的正切值？”這些問題對長期“教教材”的那些教師來講不是問題，但是，對于學生來說卻是十分重要的，它不僅是對學習需求、學習必要性的激發和調度，更是引導學生從現實問題入手，學會解決問題所必須經歷的思維過程。很顯然，問題解決來自于問題發現，問題發現來自于對事物的觀察與思考，而觀察與思考的行為動力則是個體的內在需求。由于學生不是天生的就會觀察，也很少有機會面臨現實的、典型的實際問題進行觀察思考，尤其是帶有思維方法習得的思考。因此，教師要把探究內容轉化為問題思考來促進學生探究。上述三個問題指向了數學現實應用急迫性和數學問題解決一般性的情感和能力領域，是探究性合作性學習的首要內容，因此，有必要將其分解成問題串，用于合作學習。

三、以問題作載體調節自主與合作的學習進程

從形式上看，探究可以分為個體的自主探究和小組的合作探究。自主是合作的前提，在自主基礎上的合作，合作才有針對性和達成性。個體如果未能事先切入教材去理解“為什么要研究差角三角函數值”“章頭圖的情境問題表達了怎樣意圖”，那么，對于“已知角α的正弦，能不能求出45°+α的正切值”這樣需要真正合作的問題是沒有合作意愿和基礎的。從合作的目的看，合作探究是以解決共同關注的問題為前提的。如果個體沒有自主探究的準備，對探究對象了解不充分、認識不全面，那么合作交流自然就不充分、不全面甚至無法合作，解決問題的目的就無法實現。在本例中，如果學生沒有“如何構建α-β，為什么要這樣構建α-β”的自主思考在前，那么合作的意義只能停留在對角α與角β余弦線和正弦線的理解上，這樣的合作是低層次的。因此，調節自主與合作學習進程是十分重要的問題，教師在設計學生合作學習活動的首要工作就是先設計學生自主學習要先行思考和解決的問題。

四、以問題作階梯推進分層合作

要讓每個合作小組持續保持合作意愿和合作熱情不是教師一廂情愿的事情，它不僅需要建立相應的合作機制，如組織機制、幫扶機制、討論機制，還要根據學生的知識或認知水平分層實施1對1聯動性交流或指導性交流。因此，合作問題的設計要有層次性：同水平的實施有層次的聯動性交流；不同水平間實施有層次的指導性交流。聯動性交流如：“情境圖中，（1）已知條件有哪些？（2）求解什么？（3）解決問題的關鍵在哪里（怎么由角α的正弦值，求出45°+α的正切值）？”這些問題的設計既要直接明了，又要涵蓋情境問題中基本的思維價值。指導性交流如：“情境圖中，（1）從已知到未知，它的本質問題是什么（問題轉化：由角α的正弦值，求45°+α的正切值）？（2）在具體到一般的轉化中，角α，β的三角函數值與α+β或α-β的三角函數值可能是什么關系（是一種簡單的分配關系嗎，請舉例）？（3）怎么在單位圓中構建α-β？為什么這樣構建？”指導性交流問題主要聚焦于問題解決的思維梯度的設計上。思維梯度既要指向新舊知識的勾連，又要指向解決問題的思維啟發上。

五、用問題來聚焦知識的發生與發展來展開合作學習進程

課堂教學要常態把握的總問題通常有三個方面：一是要學什么？二是為什么要學？三是怎么學？從人的認知規律看，這三問題實際上是知識的發生（發現了哪個知識）與發展（怎么發現的，能解決什么）問題。因此，相對于合作學習而言，要思考、要合作解決的總問題也是圍繞著這三個方面來設計。

所以，課堂教學總問題的設計是要為整個教學流程服務的；具體的合作學習問題設計只是對總體問題的落實。以“差角三角函數公式”教學來講，每個教學環節的問題設計（主要是自主與合作的問題設計）都是對“為什么要學習差角三角函數公式”“如何在單位圓中學習差角三角函數公式”“怎么更為一般化地證明差角三角函數公式對于任意角都成立”的落實。

綜上所述，探究性合作學習問題（串）設計必須把握好學生認知水平分層設計原則、合作探究內容整體設計原則和依據知識發生與發展邏輯梯次設計原則。如此，基于探究的高中生數學合作學習才是有效的、自覺的。