強化題型整合 重視方法歸納
——以《橢圓》為例談培養學生的知識整合能力

陳 櫟

（福州第二中學，福建 福州 350001）

新一輪數學課程改革，將課程的總體目標鎖定在數學核心素養上。學生數學學科核心素養水平的達成不是一蹴而就的，具有階段性、連續性、整合性等特點。基于數學學科核心素養的教學活動應該把握數學的本質，創設合適的教學情境、提出合適的數學問題，引發學生思考與交流，形成和發展數學學科核心素養。

一、當前知識體系的碎片化現狀

教育學家烏申斯基指出：知識只有形成了系統，當然是從事物本質出發來形成的合理的系統，才能被我們充分掌握。數學知識內在邏輯關聯緊密，數學知識的有組織建構是非常必要的。傳統的數學教學容易使學生過于注重模仿式解題訓練，卻忽略學習方法和數學本質，缺乏對知識的系統歸納和對數學方法的提煉，造成頭腦中的知識無序、破碎，甚至可能淪為一堆“珍珠”的堆砌。而現有教材按模塊，分學段的編排意圖是呈螺旋形上升，這種編排的優點在于給予學生足夠的消化時間，弊端在于存在知識體系割裂現象，容易造成知識的碎片化。

基于此，教與學都有共同的需求：即抓住核心知識，將散落在各處的知識點重新整合，理順高中數學基本結構與規律。教師不僅要傳授知識，更要想方設法地引導學生掌握學習方法，將相關的數學知識串聯起來，并能夠多角度分析問題，養成對知識進行歸納整理的學習習慣，讓學生成為學習的主體。同時，要引導學生探究數學問題的本質，在探究中形成自己的學習策略，發揮潛能，進而實現對數學知識深層次和本質意義上的理解。

二、知識整合的培養與引導策略

作為“專家引領模式”基地校的被指導教師，筆者對北京專家劉煥中老師的一句話印象特別深刻：“每個優秀的學生心里都應該有三張網絡：一張知識點網，一張題型網，一張易錯點網。”

多年來，筆者致力于在教學中尋找合適的方式，培養學生進行系統性的知識整合，提煉出解決某知識塊下各類問題的數學方法，理解其中的數學思想，建立網狀的知識結構。

2017年頒布的《普通高中數學課程標準》明確突出了“數學建模活動與數學探究活動”主題并提出：必修課程與選擇性必修課程中的主題活動都是數學建模活動與數學探究活動，要求學生完成一個課題研究，可以是數學探究的課題研究。選題可以在教師的指導下自主選題，也可以在必修或選擇性必修課程中數學探究活動的研究基礎上繼續進行深入探究。根據選題的內容，報告可以采用研究報告或小論文等多種形式。

在此筆者僅就自己在一輪復習至少完成一個知識塊后，指定某知識塊以小組合作的方式進行數學探究活動，指導和培養學生進行系統性的題型整合談談自己的做法。通過自由分組或對不同層次的學生按比例分組；依據學習層次的不同，學生在組內擔任不同的任務，負責設計前期整體布局與后期審核的評析員，負責詳細分析的操作員，負責將合作交流的討論成果打印成稿的技術處理員；對所選知識塊，在平時校本作業與錯題本的基礎上，優先選擇一些共性問題，將具有普遍適用規律的題型及其步驟、思想方法，以題組的形式做題型整合，理順題型關系，并以被考的頻率由高到低進行排序；小組交流討論，逐步完善題型網絡，各組準備展示匯報，并在教師指導下進行試講，各組發言人依序上臺匯報和答辯，臺下其他組的成員可以進行補充提醒或質疑，同組的成員可以提供支援，回答不到位或者無法解答的則由教師來補充講解，最后給出各小組的互評與教師的評價；教師調整后，將匯總解題的題型網小論文打印下發，并作為日后復習的主要依據。為了使學生了解題型網論文的大致模式，教師可以在初次探究活動開始前對整體布局做示范性引導。

三、知識整合的效果與反饋

在組織學生探究“題型網論文”活動開始后，筆者發現學生做的比預判得更好，他們在筆者給的示范框架的基礎上增加了新的題型；并將易錯點提示融入典例的說明中加以提醒；最后還在文末增加了“基本數學思想總結”和“方法歸納總結”。

當學生弄清某知識塊，如橢圓的基本研究思路與方法之后，他們中的大部分人能自發地將之遷移到雙曲線、拋物線中去，即做到新課程要求的“能夠在解決相似的問題中感悟數學的通性通法；能夠理解和構建相關數學知識之間的聯系”。

在整理的過程中，他們踐行了“書由薄學到厚，再由厚學到薄”。隨著不斷的交流磨合，學生漸漸在大腦中明晰了數學知識并不是孤立存在的，而是相互聯系的，對具有內在聯系的數學知識，要在相同處建立聯系，在相異處加以區別，才能自主構建出互相聯結、交錯有度的知識網絡。［1］

為了更好地引導和促進學生在主體反思中構建適合自己的知識網絡，教師還可以打破教材原有順序重新整合。如筆者在對“三角函數”做章節整合時，就要求學生按四個考點：求值類、圖像類、函數性質類、應用類來進行。這種不同的排序設置可以倒逼學生形成合理的思維場，用思維去引領、激發和喚醒學生，不斷感悟，逐步擴張、豐富和完善所建立的知識網絡。

在培養學生進行系統性題型整合的數次探究活動中，大部分學生都越來越積極地表現出參與意識，這不僅是因為應試的需求，更因為當學生親歷思考過程，在不斷整合中逐步探究，逐漸完善起屬于自己的，能準確再現的數學體系后，發覺自己可以更扎實地把握數學知識。這個過程激發了他們學習數學的興趣，增強了他們學習數學的信心。

不同程度的學生從不同的角度對知識進行了再加工：高水平學生借著這次機會梳理了知識間的邏輯聯系，在頭腦中形成了一個清楚完整的知識結構；中等水平生在反復修改和完善中檢驗了知識的完備性；較弱水平的學生則借助最后的整理和講解以抄代記，加強了對各種題型的強化記憶。課堂的展示匯報環節不僅能讓同學們體會到教師在臺上講解的辛苦，更能迫使他們站在“教”的角度將自己思維邏輯傳達給其他學生，這要求學生更清晰地厘清知識的來龍去脈，更縝密更有邏輯地思考問題，使他們能夠形成重論據、有條理、合乎邏輯的思維品質和理性精神，增強了交流能力。而最后印發的論文成品在溫書期間也起到了提高復習效率的效果，它覆蓋了主要知識面，注明了每類題型對應解法步驟、注意點，使學生在遇到相關問題時，能快速從自己的網絡體系里將所需要的知識與技能準確檢索出來，動員它們前來參與解題活動，不在回憶上浪費時間，而把更多精力放在整體地運用基本技能將題目解完。［1］

幾年前參與系統性題型整合探究活動的學生在畢業后給筆者留言：“我覺得分組自擬題型網的方法對于提高數學是很有效的。我們在學習一段時間后，頭腦中的知識點如果不經過整理就會混淆，因此要定期梳理。首先，在翻書的過程中我們就可以通過目錄和要點弄清結構，一些概念和定義又得到了強化；其次，梳理題型和找例題的過程，不僅能鞏固錯題還能慢慢理清思路；再者，教師對于題型網的補充，突出了重難點，使它更精更有準確性。這個方法對于不懂學習數學的學生效果很實用，分組中同學溝通合作還能獲得更多的信息，考前復習也能更有效率，最終我們從中掌握相關的數學思想，也明白怎樣運用”“做題型網給我最大的收獲就是我不再恐懼壓軸題。在做題型網之前，我一直抱著第一小題拿分，第二三小題看靈感的考試策略。但是當我做完題型網后，已經很熟悉壓軸題大概會考哪些題型，每種題型也都有各自的解決策略，這對我的解題思路有很大的幫助。能讓我看到一種題型時迅速反應出該從哪個切入點下手，而不是盲目的碰運氣做多少是多少”。

四、知識整合帶來的啟示

從核心素養的角度培養學生系統地整理數學知識，其價值并不在于學生把題型都覆蓋全了沒有，而在于學生在親歷構建的過程中，是否理解了知識的內部聯系，將技能、知識點和其中滲透的思想方法融合為一體，并理清它們之間的邏輯關系。

教育的出發點和落腳點就是讓學生經歷一種成長、見證一種成長。［2］我們在教學實踐中，要不斷探索和創新教學方式，不僅重視如何教，更要重視如何引導學生會學數學，養成良好的學習習慣，要努力激發學生數學學習的興趣，增強學生學習數學的自信心，［1］為學生的可持續性發展和適應終身學習創造條件、做好準備，充分體現數學課程“以人為本”的理念。順著學生的認知規律不斷向前推進，學生的學習品質和生命品格才能在感悟中不斷得到有效、有度的錘煉，數學知識只有內化為數學智慧，積淀成核心素養，才會產生強大的思維力量，為學生終身學習和發展奠定數學基礎。［3］