統籌優化：“烙餅”教學的目標定位與價值指向

黃秀梅

（尤溪縣城關小學，福建 尤溪 365100）

“烙餅”是義務教育小學數學人教版四年級上冊第八單元“數學廣角——優化”的內容。作為讓小學生體會數學思想方法的一個特殊的領域，“烙餅”教學受到小學數學界廣泛關注，只要在網上鍵入“烙餅”一詞，其教學內容和教學視頻比比皆是。“烙餅”的教學資源雖然很多，但是，在教學目標定位和教學主張方面卻存在較大分歧，即“烙餅”教材的教學實施到底是聚焦規律探尋，以期建立烙餅省時的數學模型？還是聚焦方法比較，以期感悟統籌優化思想方法？或者是二者兼得而進行某些平衡？

一、“烙餅”教學三大類型分析

在眾多的“烙餅”教學認知中，筆者對教學目標定位相對明確、教學主張相對鮮明的文章進行檢索，歸納了三類有代表性的主張：第一類以劉婷、袁穎杰等為代表，通過強化烙餅活動的實施過程，在活動中促進學生積累基本活動經驗，發展學生解決問題能力，姑且稱之為“活動經驗積累型”。劉婷在教學中先讓學生通過計算烙餅的時間，并讓學生將餅的正反面依次作上標記方便觀察，再實際演示，畫圖表示，在表格中記錄數據來弄清烙三張餅的最優過程，在動手操作中積累活動經驗并解決問題。［1］第二類是通過強化烙餅活動的實施過程，在活動中促進學生歸納總結烙餅省時的規律，發展學生發現問題并提出問題能力，姑且稱之為“規律探索型”。持這一教學主張的較多，如：王增強主張讓學生通過烙餅活動，找到烙餅問題最優化的規律建立數學模型，感悟烙餅問題中的模型思想。［2］針對“要不要引導學生用字母表示烙N張餅的最短時間？”這一問題，曹培英主張：讓學生跳一跳夠得著，讓部分學生提前進入他們的最近發展區也是可以的。［3］張小燕通過教學實例指出：烙餅問題，僅關注如何讓學生理解優化思想，形成從多種方案中尋找最優方案的意識不夠，還應該通過比較，總結出一般的數學模型，提升學生的數學思維，提高學生解決問題的能力。［4］黃玉香認為：教學若只概括——“烙的餅數是雙數，可以2張2張地烙；烙的餅數是單數，可以先2張2張地烙，最后3張餅按最優的方法烙，就可以達到整體的最優”。這樣的規律，并沒有真正從數學的角度揭示烙餅規律。“看到張數就能算出時間”，這樣的發現才更具有數學意義。［5］第三類是通過烙餅活動來探尋省時方法，在方法的探尋中來體驗問題解決的多樣性，初步感悟統籌優化的數學思想，筆者將其稱之為“統籌優化型”。張衛星基于教材分析指出：此課教學的主要目標是讓學生通過操作、模擬的過程，初步體會運籌思想在解決簡單生活問題中的應用，從而形成尋找解決問題最優方案的意識。［6］黃迪主張在知識形成過程中初步感悟“優化”， 解決問題中提煉“優化”，反思中明晰“優化”，強調每個環節要聚焦優化三大要素：一是優化有前提，在經歷中找到多種解決問題的方案，感悟“統籌”；二是優化有方向，在比較中選擇一種最優方案，感受“至少”；三是優化有方法，在思考中發現要充分利用鍋的空間，領悟“充分利用資源”。［7］

三大類型各有明確的價值主張和目標定位，但側重點卻有明顯的區別，因此，教學過程雖有類似之處，但設計意圖卻大相徑庭。對此，筆者擬從課程標準和教材兩方面對其理念再作分析。

二、“烙餅”教學理念形成

課程標準決定課程內容，課程內容決定教材組織。由此可見，從課程標準和課程內容層面來理解教材編排意圖才是最直接、最可信的教材解讀，這樣的教學定位才最具權威性。《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“新課標”）“總目標”第二條要求“體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系，運用數學的思維方式進行思考，增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”。這里與“烙餅”直接聯系的內容是“數學與生活之間聯系”，是“運用數學的思維方式進行思考”。因此，“烙餅”的課程價值應該是聚焦“統籌優化”這一思想方法的感悟。

新課標第二學段“學段目標”中“數學思考”第四條要求“會獨立思考，體會一些數學的基本思想”；第二學段“學段目標”中“問題解決”第二條要求“能探索分析和解決簡單問題的有效方法，了解解決問題方法的多樣性”。“課程內容”的要求具體表現在“綜合與實踐”第三條上：“在給定目標下，感受針對具體問題提出設計思路、制定簡單的方案解決問題的過程”。從中可看出，兩條學段要求都指向“烙餅”問題解決方法多樣性中的統籌與優化思想。這里“給定目標”“感受”和“方案”是關鍵詞，就“烙餅”活動而言，目標就是省時，策略就是具體方案的比較，并在設計思路、制定方案中感受具體的數學思想、積累數學活動經驗。

以上是依據課程標準得到的分析情況。顯然，從分析中可以明確“烙餅”的目標定位是初步體會運籌思想在解決簡單生活問題中的應用，從而形成尋找解決問題最優方案的意識。教學重點是利用學具動手操作嘗試探索烙3張餅的規律。基于活動經驗，讓學生經歷“三張餅”的烙法優化的過程。

人教版義務教育數學四年級上冊的“烙餅”一課中，教材編排了三幅情景圖：講述兩個生活事例和一個古代故事。

一是“沏茶”問題。“怎樣才能盡快讓客人喝上茶”？沏茶有六道工序，每一道工序用時不同，怎么組織工序才能節省時間是問題的核心。“哪些事情可以同時做，哪些不能？”“哪些要先做，怎樣的順序較合理？”教材情境圖對這些使用流程圖提示。流程圖本質就是工序組織具體方案圖，需要將不同工序進行組合形成不同沏茶方案，有不同的方案才有比較，然后才有條件進行優化。

二是“烙餅”問題 。“怎樣才能盡快吃上餅？”是問題解決的核心，它涉及每烙一面餅的時間以及一個鍋能烙幾張餅的問題。對此，教材將重點放在烙三張餅的情境上，在此基礎上再探尋烙4、5、6……張餅情況。在教材的情境圖中，有2個烙餅思維引導問題“為什么烙2張餅和烙1張餅都是6分鐘？”“每次總烙（ ）張餅，別讓鍋（ ），這樣應該最省時間”，他們直接指向了“最省時”的基本策略（雙數2張2張烙，單數先2張后3張烙），也就是說，不同的烙餅方法，烙一樣多張的餅時間是不一樣的，因此，烙餅不只是活動經驗積累或規律的發現，而是烙餅多鐘策略的統籌和優化問題。

三是“田忌賽馬”問題：“田忌是如何贏了齊王的？”是核心問題。教材情境圖中有2個問題是相互關聯的，“田忌所用的這種策略是不是唯一能贏齊王的方法？”是“田忌共有多少種可采用的對應策略？”的“藥引子”，引領學生去探索和掌握所有策略，也就是填寫完教材提供的表2內容，然后再比較結果。如此看來，田忌賽馬問題還是與前兩例一脈相承的。雖然，在“有序排列、列舉填表、比較對照”活動中有分析問題、解決問題的經歷，也會積累相應的基本活動經驗，但是，感悟問題解決多樣性中的統籌和優化思想卻是更加核心的任務。

從一脈相承的三個例題的編排看，教材的意圖是明確的，那就是要通過生活事例讓學生初步體會統籌優化策略在解決現實問題中的價值作用，初步領會數學優化思想方法；而讓學生在自主探究活動中體驗解決問題策略的多樣性，并尋求最有方案的過程本質上就是一個統籌和優化的實施過程。

三、“烙餅”教學的價值指向

雖然，對于四年級學生而言，具體、形象情境和富有挑戰性的可操作的活動是教學過程得以順利開展的保障。但是對“烙餅”這節課而言，無論從課標去理解這一領域（數學與生活之間聯系、數學綜合與實踐）的課程目標和課程內容，還是直接從教材編排的邏輯上去理解“烙餅”問題的教學價值定位，筆者以為，“烙餅”教學的核心價值就是“感悟數學優化思想”。而在教學過程中開展的列表、方法比較、順序安排等活動只是具體的教學手段和過程，此過程中形成的體驗和經驗自然地只是“烙餅”教學的副產品。至于發現和探索烙4、5、6、7張或更多餅的規律（甚至是數學建模），探索一鍋烙3張或4張餅的烙法或規律，則更是“烙餅”問題的拓展和遷移，不能因為他們能夠促進學生的思維發展，積累數學基本活動經驗，而忽略了統籌優化思想的感悟和理解（雖然只是初步的），甚至出現“耕種別人的田”而不務正業的情況。對此，筆者認同這樣的觀點：《烙餅》是一節統籌優化的探究課，對優化思想應用的體會和感悟是這節課的目標之一，但優化的前提是統籌，而且統籌過程的本質是各種數量關系和空間形式的邏輯梳理，需運籌到位優化選擇才有可能。因此,讓學生盡情地去體會求異、求優的優化思想，體驗問題解決策略的多樣性，將積累基本活動經驗、統籌和抽象、數學建模結合融于具體的教學活動之中，為感悟優化思想目標服務才是理想的教學過程。［8］

因此，“烙餅”教學目標定位就是“初步體會優化思想”“體會統籌方法在解決問題中的作用和意義”；“烙餅”教學的根本任務就是組織學生在具體活動中去感悟解決問題多樣性之存在；去把握多樣性中的統籌策略（優化方法、優化程序、優化過程）；去逐步明了“優化”的目標可以指向“合理、經濟、省時、省力、更方便、更有效、更科學”等效率價值，“統籌”的目標指向是“比較、平衡、組合”等方法選擇，進而去感悟數學的價值，發展分析和解決問題的能力。