零級(jí)Dirichet級(jí)數(shù)的增長(zhǎng)性及其Dirichlet-Hadamard乘積

崔永琴,周鳳麟,徐洪焱

(景德鎮(zhèn)陶瓷大學(xué)信息工程學(xué)院,江西景德鎮(zhèn) 333403)

1　引言及相關(guān)結(jié)果

考慮Dirichlet級(jí)數(shù)

其中{an}是復(fù)數(shù)列,0＜λn↑∞,s=σ+it(σ,t是實(shí)變量).當(dāng)級(jí)數(shù)(1.1)滿足

這時(shí),根據(jù)文[1–2]的Valiron公式可得級(jí)數(shù)(1.1)的收斂橫坐標(biāo)及絕對(duì)收斂橫坐標(biāo)都是+∞,那么其和函數(shù)f(s)在全平面內(nèi)解析,即為整函數(shù).

記f(s)的最大模,最大項(xiàng)為

定義1.1[3]若f(s)是滿足(1.2)式的整函數(shù),那么f(s)的級(jí)ρ定義為

若ρ=0,級(jí)數(shù)(1.1)是全平面上的零級(jí)Dirichlet級(jí)數(shù).此時(shí)定義該級(jí)數(shù)(1.1)的對(duì)數(shù)級(jí)ρ?為

當(dāng)ρ?∈(1,+∞)時(shí),Dirichlet級(jí)數(shù)的對(duì)數(shù)型T?如下

關(guān)于整函數(shù)的增長(zhǎng)性的問(wèn)題,Hardy、余家榮、孫道椿、高宗升等已經(jīng)得到了許多經(jīng)典的結(jié)論[1?2,4?6].Sayyed,Metwally[7]討論了泰勒級(jí)數(shù)的對(duì)數(shù)級(jí),而對(duì)復(fù)平面上的零級(jí)Dirichlet級(jí)數(shù)增長(zhǎng)性的研究較少.2006年,田宏根、孫道椿、鄭承民在相對(duì)較寬的條件下,對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行深入的研究并得到了由系數(shù)表示的零級(jí)Dirichlet級(jí)數(shù)的對(duì)數(shù)級(jí)的結(jié)果.

定理A[3]若f(s)是滿足(1.2)式的整函數(shù),則

本文將繼續(xù)研究了零級(jí)Dirichlet級(jí)數(shù)的對(duì)數(shù)型,得到如下結(jié)果.

定理1.1若f(s)是滿足(1.2)式的整函數(shù),則

這里

2009年,孔蔭瑩在文[9–10]構(gòu)造了Dirichlet-Hadamard乘積并得到了有限級(jí)及無(wú)窮級(jí)Dirichlet級(jí)數(shù)在該乘積下的增長(zhǎng)性的相關(guān)結(jié)果.2015年,崔永琴等在文[11]構(gòu)造了新型的Dirichlet-Hadamard乘積進(jìn)一步推廣了文[9,10]的結(jié)果.

然而,對(duì)于零級(jí)Dirichlet級(jí)數(shù)的Hadamard乘積的增長(zhǎng)性并未有人涉及.本文將主要考察零級(jí)Dirichlet級(jí)數(shù)的Dirichlet-Hadamard乘積的對(duì)數(shù)級(jí)與對(duì)數(shù)型,在介紹主要結(jié)果前,我們先給出如下Dirichlet-Hadamard乘積定義.

定義1.2[11]若且f1(s),f2(s)是滿足(1.2)式的整函數(shù).若α,β為兩個(gè)實(shí)常數(shù)滿足0＜α,β＜∞,構(gòu)造它們的Dirichlet-Hadamard乘積如下

其中μ和v是正實(shí)數(shù);{an},{bn}?C,0＜γn,ξn↑∞.

定理1.2若f1(s),f2(s)是滿足(1.2)式的整函數(shù),它們的對(duì)數(shù)級(jí)分別為,且

則 Dirichlet-Hadamard 乘積 F(s) 的對(duì)數(shù)級(jí) ρ?滿足特別地,當(dāng)時(shí),F(s)的對(duì)數(shù)型T?滿足

推論1.1若f1(s),f2(s)是滿足(1.2)式的整函數(shù),它們的對(duì)數(shù)級(jí)分別為和且滿足 (1.9)式,則其 Dirichlet-Hadamard 乘積 G(s)的對(duì)數(shù)級(jí) ρ?滿足特別地,當(dāng)對(duì)數(shù)型 T?滿足

接下來(lái),在放寬條件的前提下進(jìn)一步討論Dirichlet-Hadamard乘積形式的增長(zhǎng)性,得到如下結(jié)果.

定理1.3若f1(s),f2(s)是滿足(1.2)式的整函數(shù),它們的對(duì)數(shù)級(jí)分別為和,且

則其 Dirichlet-Hadamard 乘積 F(s) 的對(duì)數(shù)級(jí) ρ?滿足特別地,當(dāng)F(s)對(duì)數(shù)型T?滿足

推論1.2若f1(s),f2(s)是滿足(1.2)式的整函數(shù),它們的對(duì)數(shù)級(jí)分別為和且滿足 (1.10) 式,則其 Dirichlet-Hadamard 乘積 G(s) 的對(duì)數(shù)級(jí) ρ?滿足當(dāng)對(duì)數(shù)型 T?滿足

2　若干引理

引理2.1[11]若f1(s),f2(s)是滿足(1.2)式的整函數(shù),且滿足(1.9)式,那么其Dirichlet-Hadamard乘積F(s)是整函數(shù).

引理2.2若f1(s),f2(s)是滿足(1.2)式的整函數(shù),且滿足(1.10)式,那么其Dirichlet-Hadamard乘積F(s)是整函數(shù).

證

又

所以其Dirichlet-Hadamard乘積F(s)是整函數(shù).

引理2.3若a,b(b＞ 1)是一正的常數(shù),x是任一正實(shí)數(shù),那么函數(shù)ψ(σ)=aσb?時(shí)達(dá)到最小值

證由令 ψ′(σ)=0 解得

引理2.4若a,b(b＞1)是一正的常數(shù),σ是任一實(shí)數(shù),那么函數(shù)在時(shí)達(dá)到最大值

3　定理的證明

定理1.1的證明 先證

從而

由T?的定義知,?ε＞0,有充分大的σ使則

所以

由ε的任意性知

假設(shè)等號(hào)不成立,即存在T1使得于是存在 N1＞ 0,當(dāng) n ＞ N1時(shí),

即

由(1.2)式知存在一常數(shù)M,N2＞N1,使得n＞N2時(shí)有λn＞M logn,于是

再由(1.2)式知λn+1≤(1+ε)λn,對(duì)所有的n∈N+成立,記所以

由(3.1)–(3.3)式知,對(duì)充分大的σ有

定理1.2的證明由定理A可知?ε＞0,存在兩個(gè)正整數(shù)N1,N2,當(dāng)n＞N=max{N1,N2}時(shí),有

即

由cn的定義有

則

由于 λn= αγn+βξn,γn～ ξn(n → ∞),可得

故定理1.2得證.

定理1.3的證明類(lèi)似于定理1.2的證明:?ε＞0,存在兩個(gè)正整數(shù)N1,N2,當(dāng)n＞N=max{N1,N2}時(shí)有

由 γn= ηξn,有于是

故定理1.3得證.

[1]Hardy G H,Riesz M.The general theory of Dirichlet series[M].New York:Stechert-Hafner,Inc,1964.

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[7]賀隆貞.關(guān)于狄里克萊級(jí)數(shù)確定的整函數(shù)的(p,q)(R)級(jí)和下(p,q)(R)型[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1983,3:73–89.

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[11]崔永琴,湯文菊,徐洪焱.Dirichlet級(jí)數(shù)及其新型Dirichlet-Hadamard乘積的增長(zhǎng)性[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2015,45(22):267–273.