環形倒立擺實驗教學平臺設計

陳 龍, 吳龍飛, 劉 凱

(杭州電子科技大學 電子信息學院, 浙江 杭州 310018)

倒立擺控制系統是一個復雜的、不穩定的、非線性系統,具有結構簡單、物理參數易于調整、成本低等諸多優點[1-4],是進行變結構控制、自適應控制和神經網絡控制等控制理論教學及開展各種控制實驗的理想實驗教學平臺[5-8]。對倒立擺的研究能夠直觀有效地反映控制系統的穩定性、魯棒性、快速性等,從而檢驗控制算法是否具有較強的處理非線性和不穩定性問題的能力,其相關控制算法已應用于軍工、航天、機器人以及一般工業生產過程等諸多領域[9-10]。因此,對該系統的深入研究具有重要的理論及實踐應用的意義。

針對目前倒立擺實驗平臺體積大、價格昂貴、開放性低等缺點,對其進行簡化,設計了一種環形倒立擺實驗教學平臺。該平臺具有機械結構簡單、體積小、制作成本低、操作便捷等特點。在Matlab環境中利用LMI(線性矩陣不等式)輔助設計一種滑模變結構控制器,并對倒立擺控制系統進行仿真和分析,在此基礎上對實驗平臺進行實際測試,驗證了倒立擺在控制器作用下的穩定性。該實驗平臺成功應用于自動控制課程實驗教學中,加強了學生對控制系統建模、控制器設計等理論知識的理解,提高了學生的動手實踐能力。

1 系統基本組成及工作原理

環形倒立擺實驗教學平臺主要包括底座、水平旋臂、垂直擺桿、電機、控制電路板、旋臂和擺桿位置檢測電路板等,其3D模型見圖1。在綜合考慮支架穩定性、電機和傳感器安裝位置、旋臂轉動空間、重量以及美觀性等諸多因素的基礎上,選用鋁合金、亞克力板等材料進行設計制作。

圖1 環形倒立擺實驗教學平臺3D模型

系統總體方案框圖如圖2所示,輸入量為水平旋臂和垂直擺桿的轉動角度期望值,單片機采集旋臂和擺桿的實際轉動位置信號,與期望值進行比較,通過設計的控制器輸出控制信號,再由電機驅動器驅動直流電機使旋臂在水平面內旋轉,旋臂通過轉軸使擺桿在垂直平面內自由旋轉,最終使水平旋臂轉角α和垂直擺桿轉角β穩定在期望值,從而實現對倒立擺的控制。該實驗平臺中單片機通過串口與PC端上位機進行實時雙向通信,上位機軟件可顯示實驗平臺實時數據以及發送相關指令至單片機,方便進行系統調試。

2 系統硬件電路設計

設計硬件電路實現對電機的控制以及獲取旋臂和擺桿的實時位置信號,主要包括單片機最小系統、電機驅動、旋臂和擺桿位置檢測電路、電源電路等部分。

圖2 環形倒立擺實驗教學平臺總體方案框圖

2.1 單片機最小系統設計

本實驗教學平臺選擇單片機型號為飛思卡爾半導體公司生產的32位微處理器MK60DN512ZVLQ10,其主頻為100 MHz,內部集成16位模數轉換模塊、12位數模轉換模塊、8通道PWM模塊、周期中斷定時器,支持UART、SPI、IIC等通信方式,能滿足系統設計要求。將單片機能夠正常運行的基本電路設計制作為最小系統PCB板,保證其穩定工作,提高系統調試、故障處理的便捷性,電路主要包括單片機芯片、50MHz有源晶振、復位按鍵以及電源管理、濾波電路等部分。

2.2 電機驅動電路設計

采用永磁直流電機ZYTD-60SRZ-7F1為水平旋臂提供轉矩,其額定電壓為直流24 V,額定轉矩為0.059 N·m,堵轉力矩為0.294 N·m,設計H橋電機驅動電路對其進行控制。圖3為電機驅動電路原理圖,其中IR2104是半橋柵極驅動芯片,柵極提供電壓范圍為10～20 V,兼容3.3、5、15 V邏輯電壓,內置死區時間,典型值為520 ns；功率MOS管選用IRFB4110,其VDSS=100 V,其ID=120 A,導通電阻典型值為RDS[ON]=3.7 mΩ,符合驅動器設計參數要求。

圖3 電機驅動電路原理圖

通過控制4個MOS管的導通、關斷狀態和時間可以實現對電機的轉向和轉速的控制。當端口PWM1為高電平、端口PWM2為低電平時,Q1和Q4導通,Q2和Q3關斷,驅動電路電流的方向為Power→Q1→Motor→ Q4→GND,電機正轉。同理,當端口PWM1為低電平、端口PWM2為高電平時,Q2和Q3導通,Q1和Q4關斷,驅動電路電流的方向為Power→Q2→Motor→Q3 →GND,電機反轉。在PWM1和PWM2分別輸入脈寬調制信號,改變PWM信號占空比可以改變MOS管導通時間,施加在電機電樞兩端的電壓也隨之改變,實現對電機轉速的控制。

2.3 旋臂和擺桿位置檢測電路設計

選用精密電位器進行分壓來反饋旋臂和擺桿的位置信息,通過單片機內部16位A/D模塊讀取數據,電路原理圖見圖4。精密電位器R1和R2獨立線性精度為0.1%,機械旋轉角度為0°～360°,對應阻值為0 kΩ～1 kΩ。

當系統出現故障時,需要關斷電機驅動器對系統進行保護。為此,在水平旋臂上安裝陀螺儀傳感器對其旋轉速度進行實時檢測并作為輔助反饋信息。電路原理圖見圖5,陀螺儀傳感器為意法半導體公司生產的芯片LPR510AL,2.7 V～3.6 V單電源供電,輸出量為模擬值,可檢測X、Y兩個維度角速度,每個維度可選擇單倍輸出和4倍輸出,為提高檢測靈敏度,該電路中單片機讀取Y軸方向4倍輸出值作為反饋量。

圖4 旋臂和擺桿位置檢測電路原理圖

圖5 水平旋臂角速度檢測電路原理圖

2.4 電源電路設計

選用24 V直流電源供電,系統中各電路模塊工作電壓不同,其中IR2104需直流15 V供電,單片機最小系統板需直流5 V供電,精密電位器、陀螺儀、OLED顯示屏均需直流3.3 V供電。設計電源電路實現對不同模塊的穩定供電,圖6為電源電路原理圖,線性穩壓芯片LM7815實現24 V降壓到15 V,輸出電流可達1 A,具有過載、短路過流保護功能；開關穩壓芯片TPS5430實現24 V降壓至5 V,5.5～36 V寬電壓輸入,最高持續輸出電流可達3 A；線性穩壓芯片MIC39100實現5 V降壓至3.3 V,低壓差,輸出電流可達1 A。

3 系統數學模型的建立

牛頓力學分析法和歐拉-拉格朗日法是目前建立環形倒立擺數學模型的主要方法。選用歐拉-拉格朗日法對環形倒立擺數學模型進行分析[11],建立如圖7所示的倒立擺系統模型分析坐標系,α為水平旋臂在x-y平面內的旋轉角度,β為垂直擺桿在豎直平面內的旋轉角度。

(1)

(2)

式(1)和式(2)中各參數物理意義及實測值見表1。

圖6 電源電路原理圖

圖7 倒立擺系統模型分析坐標系

表1 參數物理意義及實測值

將各參數代入系統動力學方程式(1)和式(2)中,可得到系統狀態空間表達式為:

(3)

y=Cx

(4)

根據系統狀態空間表達式,可計算得系統特征值為λ1=0，λ2=-8.590 4，λ3=-0.264 3，λ4=8.294 2。其中λ4位于復平面右平面,由李雅普諾夫穩定性判據可知系統不穩定,需設計控制器實現倒立擺在平衡點附近穩定。

4 基于LMI的滑?？刂破髟O計

滑模變結構控制具有算法簡單、魯棒性好和可靠性高等諸多優點,被廣泛應用于運動控制系統中。本部分借助于Matlab中矩陣不等式(LMI)工具設計滑模控制器[12]。

對倒立擺狀態空間表達式,假設系統不確定性和干擾為f(t),則式(3)可寫為

(5)

其中|f(t)≤δf|。

定義滑模函數為

s=BTPx

(6)

通過設計4×4階正定矩陣P使得s=0。

設計滑?？刂破鳛?/p>

u=-(BTPB)-1BTPAx-(BTPB)-1·

[|BTPB|δf+ε]sgn(s)

(7)

其中ε>0。

(8)

sBTPAx+sBTPBu+sBTPBf(t)=

-s[|BTPB|δf+ε]sgn(s)+sBTPBf(t)=

-|s||BTPB|δf-|s|ε+sBTPBf(t)≤-|s|ε≤0

(9)

由李雅普諾夫直接法可判斷此時系統在平衡點附近是穩定的。

采用LMI工具解得矩陣P為

將矩陣P代入式(6)可求得系統控制器具體表達式。

5 系統仿真與分析

仿真結果(垂直擺桿角度響應、角速度響應,水平旋臂角度響應、角速度響應)如圖8—圖11所示。由擺桿和旋臂的響應波形可知仿真環境下系統在有限時間內穩定在平衡位置附近,證明所設計的滑?？刂破髂軌蚴瓜到y收斂穩定。

6 系統實測結果及分析

采用KEIL軟件開發環境編寫單片機程序對倒立擺實驗教學平臺進行實際測試,圖12為倒立擺主程序流程圖。首先對PIT中斷定時器、ADC模數轉換、PWM脈寬調制、串口等模塊初始化,等待按鍵輸入參數并確定執行,之后進入主循環函數,寫OLED顯示屏及串口收發數據,等待PIT中斷,在中斷函數中,讀取傳感器數據并進行濾波后等待調用。當旋臂角速度在正常范圍內時,計算誤差和控制器值,系統輸出PWM信號驅動電機工作；若旋臂角速度過大,說明系統故障,關斷驅動進入保護狀態。在系統工作過程中,PC端上位機通過串口采集系統實時數據、繪制波形圖和發送指令,便于觀察分析實驗現象和結果以及對參數進行整定。圖13—圖16分別為在控制器的作用下垂直擺桿和水平旋臂實際響應波形圖。觀察波形圖可知,系統開始工作時,垂直擺桿會快速達到平衡位置,之后水平旋臂以較慢的速度趨于穩定狀態,最終均達到系統期望值。

圖8 垂直擺桿角度響應

圖9 垂直擺桿角速度響應

圖10 水平旋臂角度響應

圖11 水平旋臂角速度響應

圖12 倒立擺主程序流程圖

圖13 垂直擺桿角度實測波形

圖14 垂直擺桿角速度實測波形

圖15 水平旋臂角度實測波形

圖16 水平旋臂角速度實測波形

圖17為倒立擺起擺至穩定的過程,展示了實際測試中從垂直擺桿豎直向下、水平旋臂位于0°的初始狀態到垂直擺桿豎直向上、水平旋臂位于0°并保持穩定的工作過程。

系統從初始狀態開始工作1 s后,垂直擺桿可以達到豎直向上的穩定狀態,在工作4 s后,水平旋臂也達到角度位置為0°的穩定狀態。通過實際測試,驗證了環形倒立擺系統模型及所設計的滑?？刂破鞯恼_性和有效性,也進一步證明了該實驗教學平臺的操作簡單、穩定可靠等諸多優點。

7 結語

本文通過設計硬件電路、優化機械結構設計了環形倒立擺實驗教學平臺,在建立系統數學模型的基礎上設計了基于LMI的滑模變結構控制器,并在Matalb環境下進行仿真,驗證了控制器的穩定性,最后在平臺上進行了實測。將該實驗平臺應用于本科教學,達到了以下教學目的:

圖17 倒立擺起擺至穩定過程

(1) 掌握環形倒立擺工作原理和應用,分析滑模變結構控制算法的實現原理和優勢,實驗過程直觀地展示了系統的工作過程和實現效果,使實驗教學更加生動具體;

(2) 建立系統數學模型,掌握控制算法設計過程,為學生在分析類似的控制系統、設計算法提供思路,縮短控制算法設計周期;

(3) 在Matlab仿真環境下進行系統仿真實驗,驗證算法的可行性與穩定性,熟悉Matlab編程環境,掌握Matlab仿真實驗設計與分析;

(4) 基于實驗平臺,編寫程序實現算法并進行實測,掌握系統調試過程,實現系統控制目標。

該環形倒立擺實驗教學平臺在自動控制相關實驗課程中的應用,大大提高了課程教學質量和授課效果,增加了學生的科研興趣,提升了學生的實踐能力,為學生進入工作崗位打下了扎實的基礎。

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