人口結構變動對時間偏好的影響分析

歐明青，倪宣明，韋 江

(1.清華大學經濟管理學院，北京 100084；2.北京大學軟件與微電子學院，北京 100871)

1 引言

如果一個國家或地區60周歲及以上老年人口占人口總數的10%，或者65歲及以上老年人口占人口總數的7%，該國家或地區就被認為進入了老齡化社會。根據當前我國統計局對老年人口的統計，2001年我國65歲及以上老年人口占總人口的比例為7.1%，表明我國已正式進入老齡化社會。而且這個老年人口比例還在逐年上升，依據《2016年社會服務發展統計公報》，我國60周歲及以上老年人口占總人口比例為16.7%，65周歲及以上老年人口占總人口比例已達10.8%，并預期未來老齡化程度會進一步加深。因此人口老齡化已成為影響我國經濟發展的重要因素之一。

老年人占比的變化即人口結構的變動形成了當前的人口老齡化問題。而我國老年人口基數大，增長速度較快，老年人的養老支出逐年上升，使得經濟的總儲蓄率下降，資本積累速度下降，投資也下降，從而導致經濟增長速度下滑。近年來我國GDP整體增速變緩，人口老齡化程度不斷加深顯然是重要因素之一。這種人口結構的老齡化變動使得勞動生產力的供給整體下滑，勞動人口占總人口的比重越來越低，并具有持續下降趨勢，也會使得政府的政策與人們的觀念均發生變化，因此人口結構的變化會影響人們對未來的看法，即人口結構的變化會影響時間偏好，即影響效用貼現因子。因此本文從人口結構和時間偏好的角度來建立老齡化的經濟增長模型。

對經濟增長理論的分析始于Harrod[1]，基于“資本產出比不變”這一關鍵假設，將經濟增長率分為實際增長率、均衡增長率與自然增長率，這三個增長率均由外生參數決定，很難同時相等，因此，增長路徑呈現“刀鋒式”形態，難以穩定。Solow[2]用新古典生產函數代替了Harrod[1]的生產函數假設，構建了新古典增長理論，即經濟系統全局穩定，在該平衡增長路徑上，人均產出唯一取決于技術進步率，從而改變了Harrod[1]的悲觀結論。隨后，Cass[3]和Koopman[4]在Ramsey[5]研究的基礎上，將Solow模型中外生的儲蓄率內生化，引進代表性家庭假設，并在Samuelson[6]效用可加、時間可分、偏好一致及效用貼現因子不變的假設下，將Solow模型的一維微分系統拓展為二維微分系統，得出鞍型(Saddle)的平衡增長路徑，這種鞍型路徑正反映了代表性家庭的理性。Ramsey模型還可以對家庭的效用函數及企業的生產函數進行拓展，如Sidrauski[7]基于Tobin[8]模型將貨幣引入效用函數，Kurz[9]將財富引入效用函數，Arrow和Kurz[10]和Barro[11]將政府公共支出引入效用函數和生產函數，Cole等[12]將社會地位引入效用函數，Turnovsky[13]將勞動引入效用函數等。

但利用Ramsey模型求解家庭效用最大化問題時，若不考慮人口增長、技術進步等因素，給定資本回報率為常數，那么微分系統中資本回報率與效用貼現因子這兩個外生參數如果不相等，將會產生動態無效，但相等又將出現無動態。因此，需要對Samuelson[6]的效用貼現因子假設進行拓展，主要有內生和外生兩個方向。效用貼現因子反映家庭對未來的看法，內生化方向上將效用貼現因子表示為系統內生變量的函數，效用貼現因子隨著內生變量的變化加以調整。Uzawa[14]指出，效用貼現因子受家庭效用的影響，而效用受消費影響。Obstfeld[15]將Uzawa[14]的研究方法直接推廣到開放經濟系統。Becker和Barro[16]指出幸福程度影響貼現因子。Becker和Mulligan[17]指出健康、不確定性、死亡率等都會影響效用貼現因子，家庭可以通過投資來改變對未來的看法。Gootzeit等[18]指出儲蓄水平影響家庭對未來的耐心程度，并認為這是Marshall的觀點，因此將這種貼現因子稱為Marshall貼現因子。Kam[19]指出財富會影響貼現因子。但是，內生化方向在技術上難以處理，對效用貼現因子函數的假設也更為嚴格，不如外生化方向便利。Laibson[20]提出了雙曲線貼現因子(Hyperbolic discounting)，認為家庭在今天和明天之間耐心程度較低，更為看重今天，但明天和將來之間耐心程度較高，甚至未來無差異。Barro[21]在Laibson[20]基礎上研究承諾能力(Commitment)。Takashi[22]提出非線性貼現因子(Nonlinear discounting)。Krusell和Smith[23]提出擬幾何級數貼現因子(Quasi-geometric discounting)。

Ramsey模型將經濟增長歸結為外生的技術進步率，內生增長率理論則將技術進步率內生化，探究經濟增長的微觀機制，將技術進步主要歸結為人口的增長。Arrow[24]提出了干中學(Learning by doing)模型，指出技術可以在生產產品的過程中附帶產生，這就改變了新古典生產函數的基本假設，如使用AK型生產函數。Uzawa[25]建立了產品生產和人力資本生產的兩部門經濟模型，人力資本的生產過程與物質產品的生產過程類似。這兩個基本模型均指出，技術進步唯一取決于人口增長。顯然，若發明技術的成本獨立于使用技術的人數，隨著人口規模的增加，技術發明的潛在人數將會增加，技術的總量將會上升。隨后，Romer[26-27]和Lucas[28-29]分別對這兩個基本模型加以拓展，前者指出除人口增長外，政府對研發的投入、制度建設及經濟一體化等因素也會促進技術進步，后者指出人力資本存在溢出效應，分別形成了Arrow-Romer模型與Uzawa-Lucas模型。Aghion和Howitt[30]也給出類似的觀點。人口增長促進技術進步的同時，技術進步也會影響人口增長，Kremer[31]研究指出，在幾乎全部的人類歷史中，技術進步主要用于人口增加而非人均收入增加。

Ramsey模型假定了代表性消費者的同質性，并認為消費者永續存在(Infinite horizon)，要想在經濟系統中分析老年人，需要對這種假設加以改變。Ramsey模型中與人口相關的基本假設，有代表性家庭假設與總人口增長率與勞動人口增長率相等假設。Samuelson[32]和Diamond[33]改變代表性消費者永續存在假設，直接引入老年人，指出代表性消費者只存在兩期，分別表示為年輕人和老年人，年輕時進行儲蓄以便老年時消費，在兩類人口結構平穩的前提下建立OLG模型進行分析。這是當前國內外研究老齡經濟的主流范式，例如在OLG模型基礎上，Futagami和Nakajima[34]結合生命周期假說分析老齡化問題，劉窮志和何奇[35]、Nishiyama[36]研究老齡化與財政政策的關系，胡翠和許召元[37]研究老齡化與儲蓄率之間的關系，Mao Rui和Xu Jianwei[38]研究老齡化與消費率之間的關系，Fougere等[39]、Choi和Shin[40]直接進行實證分析。此外，Blanchard[41]在Yarri[42]的基礎上，在經濟模型中引入死亡率假設，這改變了代表性家庭永續存在這一假設，以間接的方式變相引入了老年人。另一種間接方式由武康平等[43-44]給出，通過放寬Ramsey模型中“總人口增長率與勞動人口增長率相等”這一假設，引入人口結構變動，指出人口老齡化的形成總與人口某一階段快速增長相關，并將總人口增長率與勞動人口增長率之差定義為老齡化率，在此基礎上分析老齡經濟，此時將經濟系統中未被勞動吸收的新增加的人口視為老年人，而且人口結構持續變動，這樣不必引入年齡結構參數。本文正是在這一假設基礎之上研究人口結構變化對效用貼現因子及經濟增長與社會福利的影響，并從以下方面區別于既有文獻的研究工作。

第一，我們從人口結構的持續變動出發，在經濟學上而非統計學意義上定義老齡化率，并在此基礎上定義人口結構變動參數。第二，人口結構變動會影響人們對未來的看法，即影響效用貼現因子，我們引入人口結構的變動對既有的增長理論模型進行了拓展。因為增長理論一般都假設一個代表性家庭和一個代表性企業，即經濟系統中的家庭或企業是同質的。但由于代表性家庭又被假定永續存在，那么人口結構變動對代表性的家庭或者個體沒有意義，因此在這種假定下人口增長率的變化、人口結構的變動等都無法影響效用貼現因子，而這與現實的經濟運行不符合。我們引入人口結構變動后，可以刻畫人口結構對效用貼現因子的影響，從而拓展現有的增長理論模型使之更符合實際情況。第三，根據我們的模型可以直觀的從理論上探討人口結構變動對社會福利及經濟增長的影響。更進一步的證明如果用代表性家庭的終身效用來度量社會福利，由于人口結構也影響效用貼現因子，社會福利最大化與經濟增長速度最大化將會呈現不一致。第四，從社會福利最大化和經濟增長速度最大化兩個角度出發，我們給出了對人口政策及老齡化問題相應的政策建議，并在一定的假設下，給出了最優的人口結構參數。

本文的內容安排如下：給出理論分析所需要的基本假設，包括老齡化率、人口結構變動、效用貼現因子等；建立分散經濟框架下的理論模型，探討人口結構變動對經濟增長及社會福利的影響，并給出相應的數值模擬。另一方面，理論分析和數值模擬的結果也可以為政府制定相應的政策提供依據。

2 模型假設

通過放寬Ramsey模型中“總人口增長率與勞動人口增長率相等”這一假設，引入人口結構變動，將總人口增長率與勞動人口增長率之差定義為老齡化率，將經濟系統中未被勞動吸收的新增加的人口視為老年人，而且人口結構持續變動，這樣不必引入年齡結構參數，在此基礎之上研究人口結構變化對效用貼現因子及經濟增長與社會福利的影響。

2.1 老齡化率

假設勞動人口是總人口的一定比例，即L(t)=φ(t)P(t)，L(t)與P(t)表示t時刻的勞動人口與總人口。比例φ(t)并非常數，總人口增長率與勞動人口增長率不相等，將經濟系統中持續增加的非勞動人口定義為老年人，則老齡化率θ的定義如下：

(1)

2.2 人口結構參數

因為我國已經進入老齡化社會，也即θ>0，但是經濟系統中老年人口總量以增速θ持續上升，也意味著我國的人口結構也在持續發生變動，這種結構變化可以用老年人口與勞動人口的增速之比來度量。又因為二者增速之間滿足關系式θ+l=n，因此我們將人口結構參數λ定義為老年人口與總人口的增長速度之比：

(2)

2.3 技術

內生增長理論將技術進步主要歸結為人口的增長。Arrow-Romer的干中學模型表明知識可以在生產物質產品過程中伴隨產生，而Uzawa-Lucas的兩部門經濟模型表明技術的生產過程與物質產品的生產過程類似，兩部門之間的資源配置對經濟系統有影響。由于知識普遍具有非競爭性和非排他性的公共品屬性，既有的知識存量也會對技術進步產生影響。

如果忽略財富、研發投入、基礎教育投入、制度等因素對技術進步的影響，僅考慮人口因素，則技術進步率可以表示為：

(3)

其中，A表示技術或知識，初始的技術存量為A0。n-θ是勞動人口的增長速度，可以視為干中學效應。老年人往往擁有較高的人力資本，尤其體現在智慧上，如大學教授、中醫等，因此θ某種程度上也可視為兩部門模型中生產技術的資源投入。這里，技術進步率使用人口結構參數來度量，因此(3)式可改為：

(4)

參數θ與n已外生給定，則g(λ)>0也為外生給定。

2.4 效用貼現因子

時間偏好，即效用貼現因子，反映代表性家庭對未來的看法。假設效用貼現因子ρ受人口結構的影響，即：

ρ=ρ(λ)

(5)

假設ρ(λ)在[0,1]上可導，并在(0,1)上該導數連續。假設人口增長率小幅上升，形成的額外的老齡化率的上升超過人口增長率，當λ小幅上升，人們預期額外增加的人口所形成的技術進步成果更高，會對未來極為有耐心，更看重未來，此時ρ′(λ)<0；但是如果經濟系統中老齡化率占人口增長率的比例過高，人們預期未來的技術進步率不足以支撐老年人口，從而會擔心未來，此時更看重當前，即ρ′(λ)>0。假設這種不安會隨著老齡化率占比上升而加深，因此不妨假設ρ″(λ)>0。例如，放開二胎政策，一對夫婦可生兩胎時，相比較一胎而言，對未來的擔心程度會降低，比如至少“失獨”家庭的可能性會降低。但若夫婦生五六胎甚至更多時，如類似建國后初期人口的快速增長，則會使社會形成對未來養老問題的擔憂，甚至會擔心進入馬爾薩斯陷阱，從而更會看重當前。

當人口結構參數λ給出時，ρ(λ)也為外生常數。

2.5 其它相關假設

假設代表性消費者具有CRRA型效用函數為u(C)=C1-δ/(1-δ)，δ∈(0,1)為常數表示不變的相對風險規避傾向。經濟系統中代表性家庭永續存在且家庭數量Z不發生變化，人口在家庭內增長，則代表性家庭的終身效用可以表示為：

(6)

家庭的收入來源包括勞動(L)收入與資產(B)收入，有效勞動(AL)的工資率w，資產的收益率為常數r，初始資產為B0。

假設代表性企業的生產函數Y=F(K,AL)滿足新古典函數假設，即生產函數對資本和勞動一次齊次、K與L的邊際生產率為正并遞減、Inada條件等。

經濟系統不考慮政府、折舊等因素。

3 理論模型與福利分析

3.1 理論模型

首先定義有效勞動人均下的集約形式：k=K/(AL)，c=PC/(AL)，b=B/(AL)，f(k)=Y/(AL)=F(k,1)，在代表性家庭與代表性企業優化行為的基礎上，分析平衡增長路徑。

代表性家庭考慮終身效用最大化，優化問題如下：

(7)

其中，D=(A0φ0)1-δP0/Z，β=ρ(λ)-n-(1-δ)(g(λ)-θ)為有效勞動人均化后的效用貼現因子，假設β>0，用以保證廣義積分收斂，b0=φ(c0)表示代表性家庭收支平衡下，初始有效勞動資產與初始有效勞動人均消費所滿足的函數關系。

定義Hamilton函數為H=Dc1-δe-βt/(1-δ)+μ(rb+w-c-(n+g(λ)-θ)b)，其中μ為Hamilton乘子，表示有效勞動人均資產b的邊際值。

(8)

這里未給出生產函數的具體形式，微分系統難以求出顯式解，僅考慮穩態點及平衡增長路徑，并忽略對橫截性條件的討論。

代表性企業追求利潤最大化，優化問題如下：

(9)

一階必要條件在集約化下的形式為：

r=f′(k)，w=f(k)-kf′(k)

(10)

市場出清要求企業資本需求與家庭資產供給相等，即：

b=k

(11)

結合式(8)與式(10)，經濟系統由下述微分方程組決定：

(12)

3.2 平衡增長路徑

(13)

由生產函數的單調性假設f′(k)>0，均衡點的存在需要滿足以下前提條件：

ρ(λ)+δ(g(λ)-θ)>0

(14)

基于式(14)，均衡點滿足存在性和唯一性，進一步分析考慮經濟系統的穩定性。將式(12)中的微分方程組在均衡點(k*,c*)附近一階泰勒展開，對應系數矩陣的特征方程為：

η2-βη+c*f″(k*)/σ=0

(15)

其中，η表示系數矩陣的特征根，由η1η2=c*f″(k*)/σ<0和η1+η2=β>0，可知特征根一正一負，表明經濟系統在均衡點附近鞍點穩定，與標準的Ramsey模型類似，且這種鞍型路徑正反映了代表性家庭的理性選擇行為。不妨假設η1<0，則-η1可以表示經濟系統從初始狀態到均衡點的近似收斂速度。

(16)

此時，總產出與總資本均以n+g(λ)-θ的速度增長，但勞動人均產出的增長率與人均產出的增長率并不相同。勞動人均產出的增長率為：

(17)

而人均產出(yP)的增長率為：

(18)

即人均產出增長率取決于技術進步率和老齡化率之差，顯然，人均產出持續上升，前提條件必須滿足：

g(λ)>θ

(19)

技術增長率必須超過老齡化率。一旦g(λ)=θ，人均產出陷入停滯，技術進步帶來的成果由老齡化率完全吸收，而若g(λ)<θ，人均產出將持續下降，最終將會陷入馬爾薩斯陷阱。

平衡增長路徑的基本分析由定理1總結：

定理1：給定ρ(λ)+δ(g(λ)-θ)>0，總產出和總資本以n+g(λ)-θ的速度增長，若g(λ)>θ，人均產出以g(λ)-θ的速度增長，取決于技術進步率與老齡化率之差；若g(λ)=θ，技術進步帶來的成果完全由老齡化率吸收；若g(λ)<θ，經濟會陷入馬爾薩斯陷阱。

3.3 社會福利與經濟增長

基于代表性家庭存在，社會福利可以由家庭的終身效用表示，在平衡增長路徑上，社會福利表示為：

U*=Du(c*)/β

(20)

由式(18)，經濟增長速度可由人均收入(產出)的增長速度表示：

γ=g(λ)-θ

(21)

經典的Ramsey模型中一般假設β為常數，社會福利僅取決于效用，基于效用函數的單調性，效用u(c*)最大化意味著c*的最大化，而后者與y*的最大化一致，此時社會福利最大化與經濟增長速度一致。當效用函數或生產函數發生變化時，如Sidrauski或Barro，二者會呈現不一致。但在本模型中，由于人口結構影響了效用貼現因子ρ進而影響β，此時，福利最大化與增長速度最大化將會呈現不一致。

依式(2)中人口結構參數的定義，人口結構受總人口增長率及老齡化率的影響。依式(1)老齡化率的定義，總人口增長率分解為老齡化率與勞動人口增長率，因此，可以假設θ與l均為n的函數，分別表示為θ(n)與l(n)，進而人口結構參數λ也為總人口增長率n的函數。假設λ(n)、θ(n)和l(n)在[0,∞)上可導，并在(0,∞)上導數連續，θ′(n)∈[0,1]。當θ′(n)=0時，表明總人口增長率上升全部為勞動人口增長率所吸收；當θ′(n)=1時，表明總人口增長率上升全部為老齡化率所吸收；當θ′(n)∈(0,1)時，總人口增長率上升使得老齡化率與勞動人口增長率同時上升。下面考慮人口增長率變化對經濟系統的影響。

定理2：若(ρ′(λ)+δg′(λ))λ′(n)-δθ′(n)>0，則勞動人均資本隨總人口增長率上升而下降，?k*/?n<0；若(ρ′(λ)+δg′(λ))λ′(n)-δθ′(n)<0，則?k*/?n>0。若β?k*/?n-k*(1+g′(λ)λ′(n)-θ′(n))<0，則勞動人均消費隨總人口增長率上升而下降，?c*/?n<0；若β?k*/?n-k*(1+g′(λ)λ′(n)-θ′(n))>0，則?c*/?n>0。其中，?k*/?n=(ρ′(λ)+δg′(λ))λ′(n)/f″(k*)-δθ′(n)/f″(k*)。

證明：式(13)兩邊同時對n求導，可得：

(22)

整理可得定理2。證畢。

下面考慮社會福利最大化。式(20)對總人口增長率求導可得：

(23)

其中，εnc、εcu與εnβ分別表示總人口增長率n對有效勞動人均消費c、有效勞動人均消費c對代表性消費者效用u和總人口增長率n對調整后效用貼現因子β的彈性。式(23)表明，人口增長率對社會福利的影響，取決于其對效用和對效用貼現因子的影響之差。在代表性家庭假設中使用了CRRA型效用函數，易得：

εcu=1-δ

(24)

定理3：若(1-δ)εnc>εnβ，則社會福利隨人口增長率上升而上升，?U*/?n>0；若(1-δ)εnc<εnβ，?U*/?n<0；社會福利最大化的必要條件為：(1-δ)εnc=εnβ。

其中：

(25)

基于定理2及β的定義，對n求偏導并整理，即可完成定理3的證明。

從式(25)可以看出，n對調整后的效用貼現因子β的影響分為三部分：首先是對效用貼現因子ρ(λ)的影響；其次是人口增長的直接影響，因為人口在代表性家庭中增長；最后是對技術進步率的影響，因為分析中使用了勞動人均的集約形式。

由于ρ(λ)的存在，社會福利最大化與經濟增長最大化呈現不一致。人口增長率對經濟增長的影響由定理4給出：

定理4：若g′(λ)λ′(n)>θ′(n)，人均收入增速隨人口增長率上升而上升，?γ/?n>0；若g′(λ)λ′(n)<θ′(n)，則?γ/?n<0；人均收入增速最大化必要條件為g′(λ)λ′(n)=θ′(n)。

式(21)中對n求導并整理，即可完成定理4的證明。

定理3與定理4比較易得，社會福利最大化和人均產出增速最大化所要求的總人口增長率很難一致，不一致的條件由定理5給出。

定理5(不一致定理)：總人口增長率不能同時滿足社會福利最大化和人均收入增長速度最大化的充分條件為：(1-δ)(βρ′(λ)λ′(n)/f″(k*)-k*)/c*-(ρ′(λ)λ′(n)-1)/β≠0。

定理5的證明中，將人均收入增速最大化必要條件代入社會福利最大化的必要條件，即可證得。

3.4 最優人口結構

前面分析中，人口結構λ取決于人口增長率n，社會福利或人均收入增速最大化決定了最優的人口增長率n，進而也決定了最優的人口結構λ。

這里考慮一種特殊情形以分析人口結構的影響：人口增長率的變動不影響人口結構，λ′(n)=0，即εnθ=1，這表明老齡化率始終為人口增長率的不變比例λ∈(0,1)，θ=λn。

此時，考慮人口結構變動，定理2相應調整為：

定理2’：若ρ′(λ)+δ(g′(λ)-n)>0，則?k*/?λ=(ρ′(λ)+δ(g′(λ)-n))/f″(k*)<0；若ρ′(λ)+δ(g′(λ)-n)>0，則?k*/?λ<0。若β?k*/?λ-k*(g′(λ)-n)<0，則?c*/?λ<0；若β?k*/?λ-k*(g′(λ)-n)>0，則?c*/?λ>0。

人口結構對社會福利的影響相應調整為：

定理3’：若(1-δ)ελc>ελβ，則社會福利隨人口結構參數上升而上升，?U*/?λ>0；若(1-δ)ελc<ελβ，?U*/?λ<0；社會福利最大化的必要條件為：(1-δ)ελc=ελβ。

其中：

(26)

人口結構對經濟增長的影響相應調整為：

定理4’：若g′(λ)>n，人均收入增速隨人口結構參數上升而上升，?γ/?n>0；若g′(λ)

為給出人均收入增速最大化下的最優人口結構參數顯式解，不妨假設最優技術進步率的函數為：

g(λ)=(1-dλ)λ，d>0

(27)

易得人均收入增速最大化下的最優人口結構參數為：

(28)

式(28)要求n<1，實際經濟中，這一條件很容易滿足。

為簡化分析社會福利，將式(27)給出的技術進步率函數調整為：

g(λ)=λn=θ

(29)

式(29)表明，技術進步率是總人口增長率的固定比例，但低于人口增長率，而且此時技術進步帶來的成果完全為老齡化率所吸收，人均產出維持不變。

定理6：若g(λ)=λn，則社會福利最大化的充分條件為：ρ′(λ)=0。

證明：給定g(λ)=λn，依據式(20)及定理3’，整理可得：

(30)

由f″(k*)<0、1-δ>0及效用貼現因子ρ(λ)的相關假設可知，ρ′(λ)=0為社會福利最大化的充分條件。證畢。

這里給出一個簡單的函數模擬，假設效用貼現因子的函數為：

ρ(λ)=ρ0+λ(qλ-p)

(31)

其中，ρ0>0，0

當λ

0，最優的人口結構參數為λ=p/2q。

3.5 參數模擬

為了更直觀地觀察人口增長率對社會福利和經濟增長速度的影響，我們采用數值計算來說明。選取參數ρ0=0.02，δ=0.75，λ=0.3，d=2，p=1，q=4，則g(λ)=(1-2λ)λ，ρ(λ)=0.02+λ(4λ-1)。如圖1所示，社會福利最大化和經濟增長速度最大化所要求的人口增長率是不同的。在選取的參數下，人口結構參數超過p/2q，代表性消費者對未來較為悲觀，轉而越來越看重當前。

圖1 人口增長率對社會福利和人均產出增長率的影響

類似的，用數值模擬的方法觀察人口結構對社會福利和人均產出增長率的影響，選取參數ρ0=0.02，δ=0.75，n=0.002，d=2，p=1，q=30，則g(λ)=(1-2λ)λ，ρ(λ)=0.02+λ(30λ-1)。如圖2所示，社會福利最大化和經濟增長速度最大化所要求的人口結構是不同的。

圖2 人口結構對社會福利和人均產出增長率的影響

4 結語

本文根據老齡化這一實際社會現象，從人口結構持續變動出發，放寬“總人口增長率與勞動人口增長率相等”這一基本假設，從經濟學角度定義老齡化率，并將人口結構參數定義為老齡化率與人口增長率的比例。人口結構變動不僅影響人們對未來的看法，即效用貼現因子，還影響技術進步率。在一定假設下，我們將人口結構參數引進Ramsey模型，得出鞍型的平衡增長路徑。并發現在該路徑上，人均產出增長率取決于技術進步率與老齡化率之差。在既定的人口結構下，技術進步除用于提高收入水平外，還用于贍養經濟中的老年人口。由于人口結構參數受總人口增長率影響，又影響效用貼現因子，因此經濟增長速度最大化與福利最大化所要求的總人口增長率不一致，本文也給出了相應的邊界條件。

為分析人口結構參數對經濟系統的影響，本文隨后考慮一種特殊情形，老齡化率是總人口增長率的固定比例，此時總人口增長率不影響人口結構參數。在給出經濟增長速度最大化和社會福利最大化所需人口結構參數的一階條件基礎上，本文進行了相應的函數模擬。經濟增長速度最大化要求人口結構參數對技術進步率的邊際影響等于總人口增長率。為簡化為社會福利的分析，本文給出技術進步率與老齡化率相等的假設，得出對應社會福利最大化的最優人口結構參數的一階條件，此時人口結構參數對效用貼現因子的邊際影響應該等于零。

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