屬性集容量確定的夾擠式測度模式及其推算模型

李春好，李孟姣，田 碩

(吉林大學管理學院，吉林 長春 130022)

1 引言

針對建立在屬性偏好獨立假設基礎上的傳統多屬性決策模型即屬性權重固定不變的加權平均模型不能反映決策者關于屬性偏好的關聯關系問題，Grabisch提出了取代屬性權重的屬性集容量概念，并在此基礎上通過引入Choquet積分算子，建立了適用于屬性偏好關聯情形的多屬性決策模型(下文稱作多屬性決策Choquet積分模型)[1]。該模型自提出后便受到學術界的高度關注，專家和學者在對其開展應用研究的同時也進行了相關理論擴展研究[2-3]。特別地，趙樹平等[2]基于多屬性決策Choquet積分模型提出了偏好關聯情形下的多屬性群決策方法。

需要指出，無論是多屬性決策Choquet積分模型還是基于多屬性決策Choquet積分模型的多屬性群決策方法，在實際決策應用時均可能出現不可行問題。具體地講，對于屬性有n個的多屬性決策問題應用多屬性決策Choquet積分模型，需要決策者給出的屬性集容量個數為指數量級的2n個，因此當n的取值較大時模型會因決策者判斷工作過于繁重而失去應用的可行性[4-7]。目前，學術界通常將這種過于繁重的屬性集容量判斷稱為多屬性決策Choquet積分模型的指數復雜性難題。

為解決屬性集容量判斷的指數復雜性難題，Sugeno基于“任意兩屬性集的交互作用同兩屬性集容量乘積之比為常數λ”的假設(下文稱比例假設)，提出了關于容量判斷與推算的λ模糊測度模式(有時也簡稱為λ模糊測度)[8]。雖然該模式能夠明顯降低決策者的容量判斷工作量(需要決策者判斷給出的容量僅為n個)，但受比例假設的影響，相對于多種多樣的實際決策問題而言其適用性較差[4,9]。對此問題，武建章、張強進一步指出λ模糊測度模式只能表示一類交互作用(即偏好關聯關系要么全部是正向的要么全部是負向的)，因而當決策者的偏好結構中既存在正向交互作用又存在負向交互作用時該模式并不適用[10]。與λ模糊測度模式不同，Grabisch[11]基于“k個以上屬性間無交互作用”的假設(下文稱無交互作用假設)提出了k-可加模糊測度模式(有時也簡稱為k-可加模糊測度)。在該模式基礎上，學術界結合決策者給出的判斷信息構建了多種容量推算模型，如Marichal和Roubens[5]提出的容量推算優化模型等等。然而，k-可加模糊測度模式的容量推算模型有時并沒有可行解，因而其決策適用性也會受到限制。對此問題，盡管Grabisch等[6]建議采用k+1-可加模糊測度等高階可加模糊測度構建模型，但他自己也承認上述做法并不能一定保證引入高階可加模糊測度后的容量推算模型具有可行解。為發展k-可加模糊測度模式，章玲和周德群[12]通過引入屬性間關聯矩陣和關聯關系閾值λ來推算確定屬性集容量。雖然他們所給出的方法僅要求決策者給出屬性間的直接關聯度及閾值λ，能夠降低決策者的判斷工作量，但也存在兩方面不足。其一，關于屬性間關聯矩陣沒有區分屬性關聯與屬性偏好關聯之間的內涵差異。其二，閾值λ需要由專家或決策者憑經驗加以設定，因而所推算確定出的屬性集容量具有較強的經驗隨意性。

為解決上述問題，下文以平衡容量判斷的數量可操作性和容量推算的準確性為視角，在簡要介紹相關基礎知識的基礎上，提出一種新容量測度模式，即關于容量判斷與推算的夾擠式測度模式，并在此基礎上給出屬性集容量的推算模型，之后采用數值模擬的方式對夾擠式測度模式、λ模糊測度模式、k-可加模糊測度模式進行對比分析，以驗證夾擠式測度模式的決策適用性。

2 相關基礎知識

設多屬性決策問題有n個屬性，分別為C1,…,Cn，并將屬性全集{C1,…,Cn}記為N；將屬性全集N除去屬性Ci外的屬性集記為N{Ci}，i∈{1,…,n}；將任意屬性集A中屬性的個數記為|A|；將包含k個屬性的屬性集容量簡稱為k階容量，k∈{1,…,n}。

2.1 容量

容量，又稱模糊測度，是一個非負次可加集函數。其定義如下：

定義1[13-14]對于有限屬性全集N及其冪集P(N)，若存在集函數μ:P(N)→[0,1]滿足：①邊界條件，即μ(?)=0，μ(N)=1；②單調性條件，即?A,B?P(N)，且A?B，有μ(A)≤μ(B)，則稱μ為定義在P(N)上的容量。

類似于傳統多屬性決策模型中屬性權重的可操作性內涵解釋，Grabisch[1]將屬性集容量解釋為屬性集的重要性或重要程度。此外，由于隨著屬性個數的增多，需要決策者予以判斷給出的容量個數會呈指數性增長，而從容量判斷的數量可操作性上看，要求決策者對過多的容量開展判斷并不具有具體實施的可操作性，因而如何減少容量判別的個數便成為學術界關于容量確定的難題。

2.2 λ模糊測度模式

(1)

由于當Sλ=N時有μ(Sλ)=μ(N)=1，因此式(1)可轉化為：

(2)

(3)

需要指出，由于λ模糊測度模式建立在比例假設基礎上，只能應用于屬性間偏好關聯關系要么全為正向的要么全為負向的決策問題，而對于屬性間偏好關聯關系既有正向的又有負向的決策問題，采用式(3)推算出的屬性集容量會因誤差過大而失去決策的適用性[4,9-10]。

2.3 k-可加模糊測度模式

為減少容量判斷的個數，Grabisch[11]通過容量的M?bius變形及無交互作用假設提出了k-可加模糊測度模式。從原理上講，該模式僅需要決策者判斷給出1階至k階容量μ(Dk)(Dk?P(N)且|Dk|≤k)的判斷信息。對于k階以上的容量μ(Sk)(Sk?P(N)且|Sk|>k)，通過無交互作用假設和μ(Dk)的M?bius變形由式(4)予以推算確定：

(4)

其中a(Dk)為容量μ(Dk)的M?bius變形，其表達式為

(5)

在使用k-可加模糊測度模式時，為了盡可能使得容量的推算誤差最小化，一般可采用式(6)所示優化模型進行容量推算。

(6)

需要指出，式(6)有時并沒有可行解。為此，Grabisch等[6]建議使用k+1-可加模糊測度等高階可加模糊測度來克服式(6)無解問題。但是，Grabisch等[6]也承認，即使使用高階可加模糊測度(甚至n-可加模糊測度)，式(6)優化模型也并不能保證一定有解。由此可見，k-可加模糊測度模式并不能保證對任何實際決策問題均適用，尚存在著應用可行性較差的技術缺陷。

3 容量確定的夾擠式測度模式

多屬性決策要求決策者判斷給出的偏好信息一般有數值信息和序信息兩種類型[17]。不同于數值信息的給出需要決策者承受較大的判斷壓力，采用序信息進行偏好描述對決策者而言其判斷壓力較小，因而相對于數值信息決策者更易于判斷給出其偏好描述的序信息[18-22]。由此并為克服λ模糊測度模式與k-可加模糊測度模式采用人為假設、過于追求容量判斷的可操作性而犧牲容量推算準確性的技術不足，下文以平衡容量判斷的可操作性與容量推算的準確性為視角，提出一種既能保證容量判斷的可操作性又能提高容量推算準確性的新容量測度模式，并在此基礎上通過引入決策者較易判斷給出的容量序信息構建相應的容量推算模型。新容量測度模式由容量序判斷、低階容量(1階和2階容量)數值判斷、高階容量(3階及3階以上容量)序的端點容量數值判斷和容量推算模型四部分組成。其技術核心是通過確定同階容量(階數相同的容量)中的最大值和最小值而將其他同階容量的取值夾在兩個邊界值之間，并且通過決策者給出的屬性集容量排序將各屬性集容量的推算值擠到特定取值區間內。基于上述技術核心，我們將所給出的新容量測度模式稱為夾擠式測度模式。

3.1 容量序判斷

請決策者按照容量的可操作性定義(即屬性集的重要性)對l(l∈{1,…,n-1})階容量開展容量序判斷，并將其由小到大的排序記為RANKn,l。需要指出，當屬性個數n較小時，可以直接對l階容量開展容量序判斷；當n取值較大時，為降低決策者的判斷難度，首先請決策者按照非常不重要、較不重要、中等程度重要、較重要、非常重要五個等級對l階容量進行重要程度劃分，然后分別對每個重要程度等級內的容量排序，進而得到l階容量的排序。

3.2 低階容量數值判斷

以1階容量數值判斷為例，其步驟為：首先請決策者相對于屬性全集重要性μ(N)=1對RANKn,1排序端點的容量(即1階容量中的最大容量和最小容量)在[0,1]上賦值，然后請決策者按照RANKn,1對其余1階容量在兩個邊界值之間賦值。2階容量和1階容量的賦值步驟類似。1階容量和2階容量賦值完成后需要檢驗其是否滿足定義1中單調性條件的數量關系。若不滿足，則需要重新對其賦值。

3.3 高階容量序的端點容量值判斷

對于3階及3階以上容量，請決策者相對于屬性全集容量μ(N)=1在[0, 1]上對各階容量排序RANKn,m(m∈{3,…,n-1})的端點容量(即m階容量中的最大容量和最小容量)賦值。

3.4 夾擠式容量推算模型

利用決策者給出的容量序信息、低階容量數值信息、高階容量序的端點容量數值信息等判斷信息，建立如下容量推算模型：

(7)

需要強調指出，與k-可加模糊測度模式所依賴的推算模型類似，建立夾擠式容量推算模型的意義在于保證推算出的容量符合定義1的理論關系，并使容量推算誤差最小化，從而提高容量推算的準確性。

3.5 夾擠式測度模式的技術優勢

4 數值模擬對比分析

數值模擬對比分析旨在通過對屬性個數不同的多屬性決策問題開展多次模擬，來驗證夾擠式測度模式在決策適用性(包括決策應用可行性和容量推算準確性)方面相對于原有容量判斷模式的比較優勢。

為使模擬對比接近具體決策的實際情況，下文分別按照多屬性決策問題有5個屬性、7個屬性和9個屬性共三種情形進行模擬。此外，為保證對比分析更具有一般性，在借鑒Bottomley和Doyle[23]的模擬研究基礎上，針對每種情形分別模擬5000次(Bottomley和Doyle[23]中的模擬次數為1000次)。

由于夾擠式測度模式需要決策者判斷給出的容量個數略多于2-可加模糊測度，可能會導致前者的容量推算準確性高于后者，因此為更苛刻地檢驗夾擠式測度模式的容量推算準確性，下文在對比夾擠式測度模式和k-可加模糊測度模式時，不僅將夾擠式測度模式和2-可加模糊測度模式進行對比，而且還將夾擠式測度模式同3-可加模糊測度(需要決策者進行數值判斷的容量的個數多于夾擠式測度模式)進行對比。此外，由于在λ模糊測度模式下只要決策者判斷給出1階容量值就能相應地確定出λ*值及各階容量的推算值，從形式上看該模式對于任何決策問題均具有應用可行性，因此下文在對比夾擠式測度模式和λ模糊測度模式時僅比較兩者在容量推算準確性方面的差異。

步驟1：令h=0，hSMP=0，h2=0，h3=0，zSMP,λ=0，zSMP,2=0，zSMP,3=0。

步驟2：使用Matlab中rand函數隨機生成一組符合定義1數量關系的基準容量組，并令h=:h+1。

步驟3：將基于基準容量組中1階至n-1階屬性集容量值得到的各階容量排序視為決策者基于夾擠式測度模式判斷給出的容量序，將基準容量組中的1階和2階容量值視為決策者基于夾擠式測度模式判斷給出的1階和2階容量值，并將基準容量組中m(m∈{3,…,n-1})階容量排序的端點容量值視為決策者基于夾擠式測度模式判斷給出的m階容量序的端點容量值；類似地，將基準容量組中的1階容量值視為決策者基于λ模糊測度所給出的1階容量值；將基準容量組中的1階和2階容量值視為決策者基于2-可加模糊測度所給出的1階和2階容量值；將基準容量組中的1階至3階容量值視為決策者基于3-可加模糊測度所給出的1階至3階容量值。

如果Mn在成巖過程中活動性較強，可用Al2O3/(Al2O3+Fe2O3)代替Al2O3/(Al2O3+Fe2O3 +MnO)[11]，另外MnO含量極低，遠遠低于Al2O3、Fe2O3含量，對最終結果并無影響。研究區硅質巖Al2O3/(Al2O3+Fe2O3)比值為0.39～0.87，平均為0.71，除樣品化-49-8其余樣品均大于0.5，位于大洋盆地(0.4～0.7)和大陸邊緣(0.5～0.9)硅質巖范圍內，說明研究區硅質主要形成于大陸邊緣，而處于石炭系與泥盆系分界處的樣品化-49-8比值0.39，可能形成于大陸邊緣到大洋盆地的過渡地帶。

步驟4：將決策者基于夾擠式測度模式判斷給出的各階容量序、1階和2階容量值、m階容量序的端點容量值輸入到該模式的容量推算模型(見式(7))，并利用matlab中求解線性規劃的linprog函數對其求解：若該模型有解(即linprog函數的輸出結果中優化指示參數exitflag值為1)，則令hSMP=:hSMP+1，并計算推算出的1階至n-1階容量值與基準容量組中相應容量值的均方根值(將其記為RMSSMP)；若該模型無解(即exitflag≠1)則直接進入步驟5。

步驟5：將決策者基于λ模糊測度模式判斷給出的1階容量值輸入式(2)計算λ*值，然后由其容量推算模型(見式(3))推算得出2階至n-1階容量值，最后計算推算得出的2階至n-1階容量值與基準容量組中相應容量值的均方根值(將其記為RMSλ)。

步驟6：將決策者基于2-可加模糊測度模式判斷給出的1階和2階容量值輸入該模式下的推算模型(見式(6))，并利用matlab中的linprog函數對該模型求解：若該模型有解，則令h2=:h2+1，并計算其推算出的1階至n-1階容量值與基準容量組中相應容量值的均方根值(將其記為RMS2)；若該模型無解，則直接進入步驟7。

步驟7：將決策者基于3-可加模糊測度判斷給出的1階至3階容量值輸入該模式下的推算模型(見式(6))，并利用matlab中的linprog函數對該模型求解：若該模型有解，則令h3=:h3+1，并計算推算出的1階至n-1階容量值與基準容量組中相應容量值的均方根值(將其記為RMS3)；若該模型無解，則直接進入步驟8。

步驟8：若步驟4中夾擠式測度模式的推算模型有解，則令zSMP,λ=:zSMP,λ+1，并計算RMSSMP減RMSλ的值(將其記為ΔRMSSMP,λ)，否則直接進入步驟9。

步驟9：若步驟4中夾擠式測度模式的推算模型有解，同時步驟6中2-可加模糊測度的推算模型也有解，則令zSMP,2=:zSMP,2+1，并計算RMSSMP減RMS2的值(將其記為ΔRMSSMP,2)，否則進入步驟10。

步驟10：若步驟4中夾擠式測度模式的推算模型有解，同時步驟7中3-可加模糊測度的推算模型也有解，則令zSMP,3=:zSMP,3+1，并計算RMSSMP減RMS3的值(將其記為ΔRMSSMP,3)，否則直接進入步驟11。

步驟12：對夾擠式測度模式、λ模糊測度模式、k-可加模糊測度模式的推算模型在5000次模擬中能夠給出最優解的次數(即hSMP、h2、h3)及均方根之差(即ΔRMSSMP,λ、ΔRMSSMP,2、ΔRMSSMP,3)進行統計。

經上述步驟，最終給出的h值為對模擬次數的計數，hSMP值、h2值、h3值為對夾擠式測度模式、2-可加模糊測度模式、3-可加模糊測度模式分別對應的容量推算模型求得最優解次數的計數，zSMP,λ值為對夾擠式測度模式與λ模糊測度模式容量推算準確性對比次數的計數，zSMP,2值為對夾擠式模糊測度模式與2-可加模糊測度模式容量推算準確性對比次數的計數，zSMP,3值為對夾擠式測度模式與3-可加模糊測度模式容量推算準確性對比次數的計數。經統計，在5000次模擬中，各種容量測度模式(不含λ模糊測度模式)能夠給出最優解的次數及比例如下表1所示；關于夾擠式測度模式對應的均方根值與其他兩種容量測度模式對應的均方根值之差的統計結果如下表2所示。

表1 夾擠式測度模式、k-可加模糊測度在5000次模擬中得到最優解次數及比例

表2 夾擠式測度模式相對于λ模糊測度和k-可加模糊測度的均方根之差

由表1可知：盡管隨著屬性個數的增加(即屬性個數由5個增加為9個)，2-可加模糊測度模式和3-可加模糊測度模式獲得最優解的比例(即模式可行的比例)呈現出先減后增的態勢，但它們均沒有保證所采用的容量推算模型對每次模擬均可行。而夾擠式測度模式針對三種模擬情形無論屬性個數怎樣變化每次模擬均給出了最優解，沒有類似于k-可加模糊測度模式出現不可行問題。這表明，夾擠式測度模式相對于k-可加模糊測度模式具有更高的決策應用可行性。由表2可知：在絕大多數情況下，夾擠式測度模式對應的均方根值不僅小于λ模糊測度模式、2-可加模糊測度模式對應的均方根值，而且也小于3-可加模糊測度模式所對應的均方根值。這表明夾擠式測度模式要比λ模糊測度模式、k-可加模糊測度模式具有更高的容量推算準確性。綜上可知，夾擠式模糊測度模式在決策適用性上明顯優于λ模糊測度模式和k-可加模糊測度模式。

5 結語

現有文獻針對屬性集容量確定的指數復雜性難題提出的容量測度模式(即λ模糊測度模式和k-可加模糊測度模式)，雖然在一定程度上提高了決策者容量判斷的可操作性，但由于其中采用了較為武斷的人為假設(即比例假設和無交互作用假設)，因而在實際決策應用中存在著適用性差的缺陷。為此，上文以平衡容量判斷的可操作性和容量推算的準確性為視角給出了一種新容量確定模式，即夾擠式測度模式，并在此基礎上通過引入決策者較易判斷給出的容量序信息構建了相應的容量推算模型。新模式具有如下兩方面技術優勢：其一，從降低容量判斷的指數復雜性上看，具有與2-可加模糊測度模式相近的應用可操作性；其二，不再引入武斷的人為假設，而是直接采用更符合決策者偏好描述的容量序信息及序端點容量值信息，因而相對于λ模糊測度模式和k-可加模糊測度模式具有更高的容量推算準確性。基于數值模擬的對比分析表明，夾擠式測度模式不僅在應用可行性上高于k-可加模糊測度模式，而且從容量推算的準確性上看也明顯優于λ模糊測度模式和k-可加模糊測度模式。綜上所述，夾擠式測度模式較之于λ模糊測度模式和k-可加模糊測度模式具有更強的決策適用性。

需要強調指出，與k-可加模糊測度模式僅適用于k個及k個以下屬性間偏好具有交互作用而在k個以上屬性間偏好相互獨立的決策場合不同，也與λ模糊測度模式僅適用于偏好關聯關系要么全是正向的要么全是負向的決策場合不同，夾擠式測度模式因其中不再引入人為假設，只要決策者能夠判斷給出容量序、低階容量值、高階容量序端點容量值，它便可以適用于具有各種偏好關聯關系的決策場合。換言之，夾擠式測度模式具有逾越λ模糊測度模式和k-可加模糊測度模式僅適用于特殊場合的決策應用一般性。

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