“思”中遇見(jiàn)本質(zhì)，“教”中發(fā)現(xiàn)價(jià)值

周靜

在蘇教版的教材中我們把分?jǐn)?shù)定義為，把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫分?jǐn)?shù)。這樣定義比較直觀，通俗易懂，強(qiáng)調(diào)了“平均分”，分母是平均分成的若干份，分子是這樣的一份或幾份，對(duì)理解以后的分?jǐn)?shù)運(yùn)算也有重要的價(jià)值。但是用份數(shù)來(lái)定義分?jǐn)?shù)，也有一定的缺陷，因?yàn)榉輸?shù)中的一份或幾份還是與自然數(shù)比較接近，并沒(méi)有讓學(xué)生能真正體會(huì)到分?jǐn)?shù)是一種新的數(shù)，是由于自然數(shù)已經(jīng)無(wú)法滿足我們的需求而產(chǎn)生的一種新數(shù)，是實(shí)際生活的需要。也會(huì)給學(xué)生帶來(lái)思維定式，認(rèn)為分?jǐn)?shù)就是小于1的，分子都是要比分母小的，對(duì)于接下來(lái)學(xué)習(xí)假分?jǐn)?shù)造成負(fù)遷移。

張奠宙先生曾在《小學(xué)教學(xué)》2010年第一期關(guān)于《“分?jǐn)?shù)”教學(xué)中需要澄清的幾個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題》一文中，對(duì)分?jǐn)?shù)的意義進(jìn)行了深入的解讀，分?jǐn)?shù)的定義一般有以下四種：

定義1（份數(shù)定義）：分?jǐn)?shù)是一個(gè)單位平均分之后中的一份或幾份。

定義2（商定義）：分?jǐn)?shù)是兩個(gè)數(shù)相除的商。

定義3（比定義）：分?jǐn)?shù)是q與p之比。

定義4（公理化定義）：有序的整數(shù)對(duì)p，q，其中p≠0。

分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生，是除法除出來(lái)的，當(dāng)?shù)玫降慕Y(jié)果無(wú)法用整數(shù)來(lái)表示時(shí)，就產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)，也是數(shù)系的一次擴(kuò)張。同時(shí)也說(shuō)明了，“商定義”才是分?jǐn)?shù)最本質(zhì)的定義。因此，份數(shù)定義只能是起點(diǎn)，在教學(xué)的過(guò)程要選擇合適的模型進(jìn)行建模，逐步向更為抽象的分?jǐn)?shù)定義去轉(zhuǎn)移。

一、課前思

由于蘇教版教材已在前面安排了兩次學(xué)習(xí)，對(duì)于把一些物體看作一個(gè)整體其實(shí)已經(jīng)出現(xiàn)過(guò)，所以在涉及分?jǐn)?shù)的“份數(shù)”意義理解上應(yīng)該沒(méi)有什么問(wèn)題。但是知識(shí)之間如何串聯(lián)？分?jǐn)?shù)的意義、單位“1”、分?jǐn)?shù)單位、分?jǐn)?shù)的發(fā)展史，這些知識(shí)有的是互相牽扯，有的是互有聯(lián)系，如何過(guò)渡？學(xué)生動(dòng)手操作是否必要？學(xué)生在三年級(jí)時(shí)已經(jīng)學(xué)過(guò)分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)，有過(guò)一些經(jīng)驗(yàn)，從圖中也可直觀看出平均分后的結(jié)果，那么還要不要?jiǎng)邮植僮鳎咳绾雾樌麑?dǎo)入？是否要逐字逐句地?fù)父拍睿繉?duì)于分?jǐn)?shù)的意義中的重點(diǎn)詞如“一個(gè)物體”“一些物體”“一個(gè)整體”“平均分”“若干份”“一份”“幾份”，對(duì)知識(shí)的拓展到什么程度？學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)知需要從初步理解到深入理解，那么也需要有一定程度上的延伸，如何把握這個(gè)度？

在上這節(jié)課之初，我努力想擺脫“份數(shù)”的定義，努力向除法和比的意義靠攏，但這樣做似乎在行進(jìn)的過(guò)程中竟然“忘記了當(dāng)初出發(fā)的目的是什么了”，因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)與除法的關(guān)系以及比的認(rèn)識(shí)在五、六年級(jí)都安排了專題進(jìn)行學(xué)習(xí)。于是，我又把教學(xué)目的進(jìn)行適度回歸，重新回到“份數(shù)”的定義上來(lái)，只不過(guò)突出強(qiáng)調(diào)學(xué)生借助直觀的操作和數(shù)線模型，溝通分?jǐn)?shù)和整數(shù)之間的聯(lián)系和區(qū)別，加深對(duì)單位“1”的理解，從而理解分?jǐn)?shù)的意義。

二、行中悟

分?jǐn)?shù)的本質(zhì)究竟是什么？數(shù)學(xué)家史寧中教授曾在《數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育》一書中，闡述它代表一件事物的一部分，其本質(zhì)意義是它的無(wú)量綱性。分?jǐn)?shù)無(wú)量綱性的意義在于，可以把事物許多不可比的狀態(tài)變?yōu)榭杀鹊臓顟B(tài)。在本節(jié)課中，我先從一個(gè)蛋糕到一個(gè)圖形，再到一個(gè)計(jì)量單位，最后到一組圓片（單位“1”），突出分?jǐn)?shù)意義的相對(duì)性。然后以此為起點(diǎn)抽象到數(shù)線上表示，體現(xiàn)分?jǐn)?shù)意義的無(wú)量綱性——僅僅是一個(gè)新數(shù)而已。

在過(guò)渡到分?jǐn)?shù)的本質(zhì)意義時(shí)，“分?jǐn)?shù)是相對(duì)于整體‘1而言的。在數(shù)射線上的0和1之間，標(biāo)出分?jǐn)?shù)等，是認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)關(guān)鍵的一步，及早進(jìn)行，十分重要” 。這是因?yàn)閿?shù)線是一個(gè)半抽象模型，它是“圓模型”和其他平面模型的“再抽象”，可以充當(dāng)分?jǐn)?shù)的“份數(shù)模型”向“除法的商”定義過(guò)渡的幾何載體。用線段的長(zhǎng)度表示分?jǐn)?shù)的大小，無(wú)論是一個(gè)，還是一些，都是單位“1”。這樣表示的好處有很多。首先，它的單位是抽象的“1”。雖然與圓片、三角、長(zhǎng)方形等幾何圖形相比較抽象，但仍然是幾何直觀，可以幫助學(xué)生感知分?jǐn)?shù)的含義。其次，這是數(shù)軸的雛形，學(xué)生早在學(xué)習(xí)自然數(shù)的時(shí)候就已經(jīng)接觸過(guò)，這樣就很好地溝通了分?jǐn)?shù)與自然數(shù)之間的聯(lián)系。

三、教后感

通過(guò)教學(xué)發(fā)現(xiàn)，用數(shù)線表示分?jǐn)?shù)的優(yōu)越性（譬如分?jǐn)?shù)的性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的大小比較、分?jǐn)?shù)的抽象性、以及0到1之間分?jǐn)?shù)個(gè)數(shù)的無(wú)限性）并沒(méi)有讓學(xué)生很好地體會(huì)，特別是最后一個(gè)環(huán)節(jié)，在數(shù)線上出示整節(jié)課所學(xué)的分?jǐn)?shù)后，教師沒(méi)有很好地引導(dǎo)，深為遺憾。

回顧整個(gè)教學(xué)過(guò)程，本來(lái)是想借助操作，讓學(xué)生明白不管分的物體是多是少，只要平均分成三份，其中的兩份都可以用三分之二來(lái)表示，進(jìn)而將一個(gè)整體的概念擴(kuò)展到大數(shù)目。但是對(duì)于操作后的思考，引導(dǎo)得不得力，導(dǎo)致學(xué)生無(wú)法說(shuō)出“核心”。

在求同比較環(huán)節(jié)，突出了三分之二這個(gè)分?jǐn)?shù)的本質(zhì)：與分的東西是什么無(wú)關(guān)，與分東西的數(shù)量多少也無(wú)關(guān)，只要將這些物體平均分成三份，其中的兩份就是這個(gè)物體總數(shù)的三分之二。

求異環(huán)節(jié)比較中，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到：之所以表示的個(gè)數(shù)不同，是因?yàn)閱挝弧?”不同，單位“1”里物體的個(gè)數(shù)不同，雖然都是單位“1”的三分之二，表示的個(gè)數(shù)自然也不相同。三分之二這個(gè)分?jǐn)?shù)在這里并不是表示一個(gè)具體的量，而是表示部分與整體的一種關(guān)系。

最后，就是沒(méi)有處理好學(xué)生的自主學(xué)與老師的講授間的關(guān)系。感覺(jué)老師在課堂上說(shuō)得比較多，學(xué)生說(shuō)得少。有的需要學(xué)生多說(shuō)的地方，學(xué)生不說(shuō)，師就自己包辦了。希望在接下來(lái)的教學(xué)中要多加反思，力爭(zhēng)避免一些不該出現(xiàn)的問(wèn)題。

四、結(jié)語(yǔ)

《分?jǐn)?shù)的意義》這一節(jié)課具有很特殊的意義。要重視從學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，抓住新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)。注重讓學(xué)生在應(yīng)用中鞏固和加深對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解。不僅要給學(xué)生提供較豐富的學(xué)習(xí)材料，通過(guò)觀察比較、分析討論，歸納概括出分?jǐn)?shù)的意義，而且還要注意讓學(xué)生經(jīng)歷分?jǐn)?shù)在生活中的應(yīng)用，深化對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解和認(rèn)識(shí)，從而把對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)提高到一個(gè)新的層次，同時(shí)也為今后學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的有關(guān)知識(shí)打下基礎(chǔ)。

【作者單位：太倉(cāng)市港城小學(xué) 江蘇】