耦合含時(shí)滯的相互依存網(wǎng)絡(luò)的局部自適應(yīng)異質(zhì)同步?

王宇娟 涂俐蘭 宋帥 李寬洋

(武漢科技大學(xué)理學(xué)院,武漢 430065)

(2017年8月30日收到;2017年11月4日收到修改稿)

1 引 言

自20世紀(jì)末起,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)一直是科學(xué)界的熱點(diǎn)研究領(lǐng)域,取得了一系列研究成果,但是,很多成果僅僅適用于被視為孤立系統(tǒng)的單個(gè)網(wǎng)絡(luò)[1].隨著科技和社會的發(fā)展,不同系統(tǒng)或網(wǎng)絡(luò)之間的相互聯(lián)系越來越緊密,即網(wǎng)絡(luò)間的耦合越來越強(qiáng)[2].這使得某個(gè)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的故障可能引起其他網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的崩潰,反之亦然[3].譬如:交通系統(tǒng)中航空與鐵路運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)的復(fù)合;計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中物聯(lián)網(wǎng)與無線傳感器系統(tǒng)的相互支撐;電力基礎(chǔ)設(shè)施中變電供電系統(tǒng)與計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)的安全牽制;現(xiàn)實(shí)生活中社會關(guān)系網(wǎng)和流行病傳播網(wǎng)之間的互相影響;投資與實(shí)業(yè)的合作演化等[4?8].近年來,國內(nèi)外學(xué)者提出的相互依存網(wǎng)絡(luò)能更好地刻畫這種存在相互影響、相互依賴耦合作用的“網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)”,已經(jīng)成為當(dāng)今復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域最前沿的重要研究方向之一[9,10].

同步問題是復(fù)雜動力網(wǎng)絡(luò)研究中一個(gè)有趣且有意義的問題.最主要的原因是網(wǎng)絡(luò)同步在各個(gè)科技領(lǐng)域都有許多應(yīng)用,譬如網(wǎng)絡(luò)通信中的信息交換一致,數(shù)值信號、模擬信號的同步轉(zhuǎn)換等[11?14].過去的20年里,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的各種同步問題已經(jīng)進(jìn)行了深入探討[15?21],并提出了各種同步方法,如聚類同步、相位同步、投影同步、廣義同步、滯后同步等[22?26].在復(fù)雜動力網(wǎng)絡(luò)的行為分析中,時(shí)滯扮演著非常重要的角色,對時(shí)滯的研究不可避免.研究表明,時(shí)滯對復(fù)雜動力網(wǎng)絡(luò)的行為有顯著影響[17?19,27,28].文獻(xiàn)[17—19]分別探討了時(shí)滯對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的影響,并提出了使網(wǎng)絡(luò)達(dá)到同步的刻畫指標(biāo);對于時(shí)滯遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),文獻(xiàn)[27]分析了一種新的基于加權(quán)時(shí)滯的穩(wěn)定性判據(jù);文獻(xiàn)[28]通過引入新的時(shí)間變量使得網(wǎng)絡(luò)的時(shí)滯變小,從而提高網(wǎng)絡(luò)的同步能力.

迄今為止,科學(xué)界對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的研究主要限于單個(gè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò),對“網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)”的研究還處于初級階段,特別是相互依存網(wǎng)絡(luò)[29?33].文獻(xiàn)[29]提出了一種基于脈沖相互作用的具有時(shí)滯的多重遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)全局同步的新結(jié)果,其中的脈沖相互作用是指一定的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)只在脈沖時(shí)刻相互通信,而在剩余時(shí)間獨(dú)立;文獻(xiàn)[30]探討了多層網(wǎng)絡(luò)中多智能體系統(tǒng)的同步,提出了加性耦合和馬爾可夫開關(guān)耦合俘獲兩種數(shù)學(xué)模型的分層鏈接;文獻(xiàn)[31]研究了自適應(yīng)多層網(wǎng)絡(luò)中的同步問題;文獻(xiàn)[32]發(fā)現(xiàn)連接方式對兩層網(wǎng)絡(luò)的同步能力具有很大的影響,為了獲得良好的同步能力,最有效的方法是連接度大的節(jié)點(diǎn);文獻(xiàn)[33]研究了相互依存網(wǎng)絡(luò)的廣義互同步.

單個(gè)網(wǎng)絡(luò)上的動力學(xué)研究存在一定局限性,為了更好地反映實(shí)際網(wǎng)絡(luò)的演化行為機(jī)理,將這些動力學(xué)行為放在相互依存網(wǎng)絡(luò)中進(jìn)行研究就顯得尤為重要.基于此,本文深入地研究耦合含時(shí)滯的相互依存網(wǎng)絡(luò)的局部自適應(yīng)異質(zhì)同步問題,并提出了新的局部自適應(yīng)異質(zhì)同步控制器和充分條件,創(chuàng)新點(diǎn)如下:1)考慮的網(wǎng)絡(luò)不僅含有非線性、光滑的耦合函數(shù),而且時(shí)滯同時(shí)出現(xiàn)在子網(wǎng)內(nèi)和子網(wǎng)間的耦合項(xiàng)中,因此研究的相互依存網(wǎng)絡(luò)較其他文獻(xiàn)更具一般性;2)利用自適應(yīng)控制和線性矩陣不等式(LMI)方法,從理論上提出了耦合時(shí)滯相互依存網(wǎng)絡(luò)的局部自適應(yīng)異質(zhì)同步充分條件,這些條件簡單易行.

2 預(yù)備知識

考慮由兩個(gè)子網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的具有時(shí)滯的相互依存動力網(wǎng)絡(luò),節(jié)點(diǎn)數(shù)為N1=N2=N,網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)都是一個(gè)n維系統(tǒng),且子網(wǎng)絡(luò)間是一對一相互依賴的關(guān)系,網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程可表示為

則Lk=?dkAk是一個(gè)拉普拉斯矩陣.ckl是子網(wǎng)絡(luò)k對子網(wǎng)絡(luò)l的耦合強(qiáng)度,代表了兩個(gè)子網(wǎng)絡(luò)對應(yīng)節(jié)點(diǎn)間的相互依存關(guān)系.

假設(shè)1在本文中,總假設(shè)c12=c21=c.

假設(shè)2設(shè)是函數(shù)在s1(t)處的雅可比矩陣;設(shè)其中是的最大值.再設(shè)是函數(shù)在s2(t)處的雅可比矩陣;設(shè)其中是的最大值.

假設(shè)3設(shè)是函數(shù)處的雅可比矩陣;設(shè)是函數(shù)在處的雅可比矩陣;再設(shè)B=(bij)n×n,D=(dij)n×n,且bij和dij分別是bij(t? τ)和dij(t? τ)(t∈R)的最大值.

注1在本文中,E代表適當(dāng)維數(shù)的單位矩陣.

注2本文主要討論(1)式網(wǎng)絡(luò)在控制器的作用下達(dá)到局部自適應(yīng)漸近異質(zhì)同步問題,所以,若對(1)式網(wǎng)絡(luò)施加控制器,可得其狀態(tài)方程如下.

當(dāng)k=1時(shí),子網(wǎng)1可表示為

當(dāng)k=2時(shí),子網(wǎng)2可表示為

定義1(漸近異質(zhì)同步) 一般地,對于相互依存網(wǎng)絡(luò)((1)式),若

則稱(1)式網(wǎng)絡(luò)達(dá)到漸近異質(zhì)同步,其中s1(t)∈Rn和s2(t)∈Rn分別為

和

這兩個(gè)孤立節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的解.

同時(shí),(6)式和(7)式系統(tǒng)分別可表示為

引理1(Schur complement[34]) 假設(shè)Q(x)=QT(x),R(x)=RT(x)和S(x)都是x的矩陣函數(shù),則線性矩陣不等式

等價(jià)于下列條件中的任何一個(gè):

引理2[35]對于任意矩陣X,Y∈Rn×m,矩陣不等式XTY+YTX≤XTAX+YTA?1Y成立,其中AT=A＞0,A∈Rn×n.

3 主要結(jié)果

根據(jù)上述假設(shè),提出相互依存網(wǎng)絡(luò)((1)式)的局部自適應(yīng)漸近異質(zhì)同步的充分條件.

定理1當(dāng)假設(shè)2和假設(shè)3成立時(shí),若存在兩個(gè)對稱正定矩陣P＞0和Q＞0,兩個(gè)正實(shí)數(shù)矩陣使得

成立,則(1)式網(wǎng)絡(luò)在控制器

和自適應(yīng)律

證明構(gòu)造一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)為

由引理2,有

而且

所以,

由假設(shè)2和假設(shè)3,有

假設(shè)

其中

且設(shè)

則

(21)式表明在各種假設(shè)下,時(shí)滯耦合的相互依存網(wǎng)絡(luò)((1)式)達(dá)到了局部自適應(yīng)漸近異質(zhì)同步.因?yàn)椴坏仁?20)式不是標(biāo)準(zhǔn)的LMI形式,利用引理1,可以將其改寫為不等式(11)式.至此,定理1得證.

4 數(shù)值模擬

為了驗(yàn)證上述理論分析的主要結(jié)果,對NW小世界子網(wǎng)絡(luò)和BA無標(biāo)度子網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的相互依存網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行數(shù)值模擬,其中子網(wǎng)絡(luò)間是一對一的相互依賴關(guān)系.考慮具有100個(gè)節(jié)點(diǎn)的NW小世界子網(wǎng)絡(luò)((3)式),其平均路徑長度為1.616,聚類系數(shù)為0.37934,節(jié)點(diǎn)平均度為38.02.網(wǎng)絡(luò)的每個(gè)節(jié)點(diǎn)動力系統(tǒng)都是Lorenz系統(tǒng),

式中a1,b1,c1是實(shí)數(shù).當(dāng)a1=10,b1=28,c1=8/3時(shí),系統(tǒng)是混沌的.

另外一個(gè)子網(wǎng)絡(luò)為含100個(gè)節(jié)點(diǎn)的BA無標(biāo)度子網(wǎng)絡(luò)((4)式),其平均路徑長度為2.1376,聚類系數(shù)為0.21285,節(jié)點(diǎn)平均度為10.74.網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)動力系統(tǒng)是R?ssler系統(tǒng),

式中a2,b2,c2是實(shí)數(shù).當(dāng)a2=b2=0.2,c2=5.7時(shí),系統(tǒng)是混沌的.

同時(shí),設(shè)網(wǎng)絡(luò)((3)式和(4)式)的內(nèi)部耦合函數(shù)為

在所有的數(shù)值模擬中,為了簡單起見,設(shè)網(wǎng)絡(luò)中的參數(shù)分別為τ=1,c=0.03,d1=0.02,d2=0.02.并設(shè)孤立節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的初始值分別為s1=(3,?10,8),s2=(2,8,?10);子網(wǎng)絡(luò)(3)式和(4)式的初始值分別為自適應(yīng)律的初始值和反饋增益分別為和

圖1 子網(wǎng)絡(luò)((3)式)的運(yùn)動軌跡圖Fig.1.Trajectory of the sub-network(Eq.(3)).

圖2 子網(wǎng)絡(luò)((4)式)的運(yùn)動軌跡圖Fig.2.Trajectory of the sub-network(Eq.(4)).

在上述條件下,相互依存網(wǎng)絡(luò)的子網(wǎng)絡(luò)((3)式和(4)式)的各個(gè)節(jié)點(diǎn)的動力軌跡圖分別如圖1和圖2所示.圖1和圖2說明隨著時(shí)間的改變,網(wǎng)絡(luò)中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)的運(yùn)行軌跡處于雜亂的狀態(tài).

根據(jù)定理1,利用MATLAB的LMI工具箱,可求得存在正定矩陣P和Q,

使得滿足定理1的條件((11)式).對網(wǎng)絡(luò)((3)式和(4)式)施加控制器((12)式),在自適應(yīng)律((13)式)的作用下,獲得誤差系統(tǒng)的軌跡圖,如圖3和圖4所示.圖3和圖4表明,在自適應(yīng)控制器的作用下,在1 s之內(nèi)第二個(gè)、第三個(gè)子圖的誤差分量很快都趨于零,而第一個(gè)子圖的軌跡則在零的附近有非常微小的擺動,這說明在控制器的作用下此時(shí)的誤差運(yùn)動軌跡是有界的,也是漸近穩(wěn)定的.圖5和圖6則說明隨著時(shí)間的增加(如增大到5 s),最終完全趨于零.此時(shí),兩個(gè)子網(wǎng)絡(luò)各自完全自適應(yīng)同步到各自孤立系統(tǒng)的運(yùn)動軌跡.

圖3 子網(wǎng)絡(luò)((3)式)節(jié)點(diǎn)誤差系統(tǒng)的軌跡圖Fig.3. Trajectory of the error system of the subnetwork(Eq.(3)).

圖4 子網(wǎng)絡(luò)((4)式)節(jié)點(diǎn)誤差系統(tǒng)的軌跡圖Fig.4.Trajectory of the error system of the subnetwork(Eq.(4)).

圖5 誤差分量的軌跡圖Fig.5.Trajectory of.

圖6 誤差分量的軌跡圖Fig.6.Trajectory of.

在相互依存網(wǎng)絡(luò)的兩個(gè)子網(wǎng)絡(luò)((3)式和(4)式)達(dá)到自適應(yīng)漸近異質(zhì)同步的同時(shí),圖7和圖8說明自適應(yīng)律((13)式)的軌跡也很快趨于穩(wěn)定值,從而驗(yàn)證了本文提出理論的正確性和有效性.

圖7 子網(wǎng)絡(luò)((3)式)自適應(yīng)律軌跡圖Fig.7.Adaptive laws of the sub-network(Eq.(3)).

5 結(jié) 論

在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)間相互作用關(guān)系日益增強(qiáng)的今天,需要將研究目光由單個(gè)網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)向更一般的由多個(gè)子網(wǎng)絡(luò)所組成的相互依存網(wǎng)絡(luò),進(jìn)而對實(shí)際系統(tǒng)或網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)作有更深入、全面的了解.研究了由兩個(gè)子網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的相互依存網(wǎng)絡(luò)的局部自適應(yīng)異質(zhì)同步問題,其中兩個(gè)子網(wǎng)內(nèi)和子網(wǎng)間耦合都具有時(shí)滯,網(wǎng)絡(luò)中耦合關(guān)系是滿足光滑性的非線性函數(shù).首先對網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行局部線性化,再利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論,結(jié)合自適應(yīng)控制技術(shù)和線性矩陣不等式方法,對網(wǎng)絡(luò)施加合適的控制器,提出了時(shí)滯相互依存網(wǎng)絡(luò)達(dá)到自適應(yīng)漸近異質(zhì)同步的充分條件.值得注意的是,本文所提出的控制器簡單且易操作.最后,利用NW小世界子網(wǎng)絡(luò)和BA無標(biāo)度子網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的相互依存網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了數(shù)值模擬,結(jié)果表明提出理論的正確性和有效性.該研究為揭示網(wǎng)絡(luò)行為規(guī)律提供了新的思路,也為實(shí)際網(wǎng)絡(luò)建設(shè)(如基礎(chǔ)設(shè)施系統(tǒng))[3?8]提供了理論基礎(chǔ).由于提出的理論結(jié)果與時(shí)滯無關(guān),因此下一步工作是探討相互依存網(wǎng)絡(luò)時(shí)滯相關(guān)的同步問題.

[1]Havlin S,Kenett D Y,Ben-Jacob E,et al.2012Eur.Phys.J.Spec.Top.214 273

[2]Feng A,Gao X Y,Guan J H,Huang S P,Liu Q 2017Physica A483 57

[3]Buldyrev S V,Parshani R,Paul G,Stanley H E,Havlin S 2010Nature464 1025

[4]Cardillo A,Zanin M,Gómez-Garde?es J,et al.2013Eur.Phys.J.Spec.Top.215 23

圖8 子網(wǎng)絡(luò)((4)式)自適應(yīng)律軌跡圖Fig.8.Adaptive laws of the sub-network(Eq.(4)).

[5]Ang L M,Seng K P,Zungeru A M 2016IJSIR7 52

[6]Stasiuk A I,Hryshchuk R V,Goncharova L L 2017Cybernet.Syst.Analysis53 476

[7]Bauch C T,Galvani A P 2013Science342 47

[8]Chen W,Wu T,Li Z W,Wang L 2017Physica A479 542

[9]Um J,Minnhagen P,Kim B J 2011Chaos21 025106

[10]Lee K,Kim J,Lee S,et al.2014Multiplex networks//D’Agostino G,Scala ANetworks of Networks:The Last Frontier of Complexity.(1st Ed.)(Berlin:Springer)pp3–36

[11]Albert R,Barabási A L 2002Rev.Mod.Phys.74 47

[12]Wang X F,Chen G 2002IEEE Trans.Circuits Syst.I49 54

[13]Wang X F,Li X,Chen G R 2006Theory and Application of Complex Networks(Beijing:Tsinghua University Press)p7(in Chinese)[汪小帆,李翔,陳關(guān)榮 2006復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論及其應(yīng)用(北京:清華大學(xué)出版社)第7頁]

[14]Doyle J C,Alderson D L,Li L 2005PNAS102 14497

[15]Wang X F,Chen G R 2002Physica A310 521

[16]Kocarev L,Amato P 2005Chaos15 024101

[17]Zhou J,Chen T 2006IEEE Trans.Circuits Syst.I53 733

[18]Tu L L,Lu J A 2009Comput.Math.Appl.57 28

[19]Zhang Q J,Lu J A,Lv J H 2008IEEE Trans.Circuits Syst.II55 183

[20]Liu J L 2013Acta Phys.Sin.62 040503(in Chinese)[劉金良2013物理學(xué)報(bào)62 040503]

[21]Liang Y,Wang X Y 2013Acta Phys.Sin.62 018901(in Chinese)[梁義,王興元 2013物理學(xué)報(bào) 62 018901]

[22]Wu W,Zhou W,Chen T 2009IEEE Trans.Circuits Syst.I56 829

[23]Ma J,Mi L,Zhou P,et al.2017Appl.Math.Comput.307 321

[24]Liu J,Chen S H,Lu J A 2003Acta Phys.Sin.52 1595(in Chinese)[劉杰,陳士華,陸君安 2003物理學(xué)報(bào) 52 1595]

[25]Wong W K,Zhen B,Xu J,Wang Z 2012Chaos22 033146

[26]Rosenblum M G,Pikovsky A S,Kurth J 1997Phys.Rev.Lett.78 4193

[27]Zhang H G,Liu Z W,Huang G B,Wang Z S 2010IEEE Trans.Neural.Netw.21 91

[28]Zheng Y G,Bao L J 2017Chaos.Soliton Fract.98 145

[29]Yang S F,Guo Z Y,Wang J 2017IEEE Trans.Neur.Net.Lear.28 1657

[30]He W L,Chen G R,Han Q L,et al.2017IEEE Trans.Syst.Man.Cy-S.47 1655

[31]Zhang X Y,Boccaletti S,Guan S G 2015Phys.Rev.Lett.114 038701

[32]Li Y,Wu X Q,Lu J A,Lü J H 2016IEEE Trans.Circuits Syst.II63 206

[33]Xu Q,Zhuang S X,Hu D,Zeng Y F,Xiao J 2014Abst.Appl.Anal.10.1155 453149

[34]Boyd S,Ghaoui L E,Feron E,Balakrishnan V 1994Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory(Philadelphia:SIAM)pp7–14

[35]Tu L L,Liu H F,Yu L 2013Acta Phys.Sin.62 140506(in Chinese)[涂俐蘭,劉紅芳,余樂 2013物理學(xué)報(bào) 62 140506]