一元二次函數零點分布問題新探

張宏斌

（重慶市銅梁中學校，重慶）

一元二次函數是高中解題的基礎，高中階段幾乎所有章節的數學問題，都可以與其結合，是歷年高考永恒的主題。而現階段初中教學降低了對一元二次函數的要求，學生對其圖象性質把握不好，特別是對其零點的分布問題認識不深入。教學中我發現不少同行雖然也用數形結合對零點進行分析，但不透徹，甚至有些教學資料上將零點細分為多達八九種類型，不便于學生掌握。本文仍用數形結合的思想，把一元二次函數零點分布（亦即一元二次方程根的分布）問題總結為兩種主要類型，便于學生把握其本質，提高解題效率。

定義1.同一范圍：根所處的區間端點沒有把兩個根分開，稱根分布在不同范圍內。

定理一.根在同一范圍時，需要列：

例 1.二次方程 ax2+bx+c=0（a＞0）二根 x1，x2均在區間（m，n）內，怎么列式？

解：記f（x）=ax2+bx+c。由題做出圖1，結合一元二次函數圖象開口方向、對稱軸、圖象所經過的特殊點，容易列出如下不等式組。

圖1

若不等式組※缺少任何一個不等式，均得不到圖1。即不等式組※是題目成立的充要條件。四個不等式、三種條件缺一不可。

定義2.不同范圍：根所處的區間端點，將兩個根分開，稱根分布在不同范圍內。

定理二.根在不同范圍時，只需列：端點函數值的正負。

區間的端點有幾個就要列幾個不等式，需全部考慮完整。

例 2.二次方程 ax2+bx+c=0（a＞0）二根 x1，x2滿足 m＜x1＜x2＜n，又怎么列式？

作圖2或圖3，因為軸的位置與m，n的關系不明確，可列出如下不等式組：

圖2

圖3

仔細研究函數圖象發現：①開口向上；②f（m）＜0，f（n）＞0，自然二次函數圖象穿過x軸，所以不必要列判別式也可以得到m＜x1＜x2＜n，自然對稱軸也不需要列了。僅（2）（3）兩式就可做出圖2或圖3，和原題等價。

由上例1和例2，簡單證明了定理一、二。

例3.關于x的方程x2-mx+2m-1=0滿足下列條件，分別求m的取值范圍。

（1）一根小于-1，一根大于2；

（2）一根在（0，2）內，一根在（3，5）內；

（3）二根均大于2；

（4）二根均在（-4，0）之間

（5）在區間（2，+∞）上無實根。

解：記f（x）=x2-mx+2m-1

（1）（2）均是根的不同范圍分布，只列端點函數值得正負：

（3）（4）均是根的相同范圍分布，需列判別式、軸、端點函數值正負三種類型：

（5）方程要么無解，要么解都在（-∞，2］內：

特別注意的是，區間端點的開、閉對所列不等式可否取等號的影響，多用數形結合分析討論。

例4.二次方程2x2-（m+1）x+m=0有且僅有一實根在（0，1）內，求 m取值范圍。

此題容易作出如下圖4、5的形式，列出下式：

圖4

圖5

函數圖象也可能過x=1或x=2這兩點，即為圖6或圖7，就有f（1）=0或f（0）=0

圖6

圖7

但僅將上式（1）添個等號：f（1）·f（0）≤0，結果也不等價，如圖8，在區間內就無解了。

圖8

實際上圖6、7應歸結為根的相同范圍分布，要考慮軸靠近哪個端點，即軸與比較大小，綜合圖 6、7，應列出如下式子：

有沒有更簡潔的方法呢？實際上等號的問題就是擔心圖6到圖8的情形，可直接算f（1）=0或f（0）=0，用算出的m再求根，檢驗根是否滿足題目就行了，結果f（0）=0時成立，f（1）=0時不成立。

如此一來，關于在某區間內僅有一解的問題就有兩種解法了：①歸結成相同范圍和不同范圍，當穿過端點時討論軸與端點中點的大小關系。②當作不同范圍解，結合圖象檢驗端點函數值為0時是否符合要求。第二種能簡化計算。

數形結合是解決根分布問題的捷徑，緊緊抓住一元二次函數的3個圖象性質，將一元二次函數零點分布問題總結為分布在相同范圍或分布在不同范圍兩種基本類型，遇到區間內僅有一解的問題多用檢驗端點函數值為0時根是否滿足題意，可簡化運算。