例談消元法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

方逵香

（山東省萊蕪市萊城區(qū)花園學(xué)校，山東 萊蕪）

初識(shí)消元法，好多學(xué)生狹隘地以為消元法只是應(yīng)用于解方程組，事實(shí)上消元是一種簡(jiǎn)化運(yùn)算的重要思想，它在初中數(shù)學(xué)題中有著廣泛的應(yīng)用。本文通過(guò)魯教版七年級(jí)下冊(cè)中的部分題目，對(duì)消元法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用作介紹，以供參考，希望能起到拋磚引玉的作用。

例1.解下列方程組

仔細(xì)觀察方程組（1），屬于比較對(duì)稱的一種，可以把分母為6的部分及分母為7的部分都各自視為一個(gè)整體，如分別設(shè)為m，n。采用整體換元的方法得到然后再化簡(jiǎn)得到關(guān)于x，y的方程組，從而解得x，y的值。本題在解方程組的過(guò)程中，巧妙進(jìn)行了換元，將方程組化繁為簡(jiǎn)，從形式和計(jì)算上都大大簡(jiǎn)化，降低了解題難度。這種整體換元的方法也是一種消元思想，它的妙處不言而喻。

方程組（2）也是由比較特殊的對(duì)稱方程組成的，題目比較簡(jiǎn)單，學(xué)生解題時(shí)多數(shù)是采用了代入消元法，但是有的同學(xué)代來(lái)代去容易暈頭轉(zhuǎn)向而弄錯(cuò)。針對(duì)題目特點(diǎn)，采用加減消元法，問(wèn)題就相當(dāng)容易處理。具體解的過(guò)程是：

①+②+③合并化簡(jiǎn)得：

x+y+z=20④

④-①得z=5

④-②得x=15

④-③得y=0

選對(duì)了方法后整個(gè)求解的過(guò)程變得簡(jiǎn)單輕松，視覺(jué)上也對(duì)仗整齊，利落美觀。

例 2.若 4x+3y+5=0，則 3（8y-x）-5（x+6y-2）的值等于 _____。

分析：本題中有兩個(gè)未知數(shù)，條件中卻只有一個(gè)方程，無(wú)法直接求得x，y的具體值，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)必定有特殊解法。故而先將要求的代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)。

原式=-8x-6y+10，對(duì)照已知條件，移項(xiàng)得4x+3y=-5，然后將其整體代入原式，消去兩個(gè)未知數(shù)，從而求得結(jié)果。本題通過(guò)整體代入消元，將未知數(shù)消滅的無(wú)影無(wú)蹤，消元的威力可謂大矣。

分析：本題給定了兩個(gè)方程，卻有3個(gè)未知數(shù)。如上題一樣，不能采用常規(guī)方法解方程組。觀察題目，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)方程右邊n的系數(shù)相等，符合加減消元的特點(diǎn)，不妨欲揚(yáng)先抑，先消去n再說(shuō)。

故而，②-①得：x+2y=2 ③，結(jié)合已知中另一條件得到x+y=12 ④，將③④聯(lián)立可求得x，y的值，再代入①，即可求得n值。這樣做似乎已經(jīng)很簡(jiǎn)單了，但是，如果繼續(xù)采用加減消元的思想，將 ③+④得：2x+3y=14。驀然回首已知中的方程①，驚喜地發(fā)現(xiàn)n值已經(jīng)躍然紙上。消元法再次給了我們一個(gè)驚喜！消元法不僅在解方程組、求值等代數(shù)運(yùn)算中，起著化繁為簡(jiǎn)，撥云見(jiàn)日的作用，在幾何題中也有著廣泛的應(yīng)用。

例4.△ABC和△A1B1C1中，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別是a，b，c，∠A1，∠B1，∠C1所對(duì)的邊分別是 a1，,b1，c1，∠A+∠B=∠C，∠B1+∠C1=∠A1，且 b-a=b1-c1，b+a=b1+c1，則這兩個(gè)三角形是否全等？若全等，請(qǐng)給出證明；若不全等，請(qǐng)說(shuō)明理由。

分析：要想證明是否全等，必須知道對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角的關(guān)系，題目中只有邊角的和差關(guān)系，并沒(méi)有單個(gè)邊或角的關(guān)系。故而要經(jīng)過(guò)計(jì)算整理得到單個(gè)角或邊的關(guān)系。面對(duì)四個(gè)等式不少學(xué)生一籌莫展，可是只要借助代數(shù)的方法，巧用消元即可迎刃而解。

解：∵∠A+∠B=∠C，∠B1+∠C1=∠A1

又∠A+∠B+∠C=180°，∠A1+∠B1+∠C1=180°

∴2∠C=180° 2∠A1=180°（代入消元）

∴∠C=∠A1=90°

∵

①+②得：b=b1（加減消元）

將b=b1代入②得a=c1（代入消元）

∴△ABC?△A1B1C1（SAS）

例5.已知：如圖，AM、CM分別平分∠BAD和∠BCD。

求證：（1）如果∠B=32°，∠D=38°，求∠M的度數(shù)；（2）∠M=1/2（∠B+∠D）。

分析：不少學(xué)生只能通過(guò)三角形的內(nèi)角和或外角定理求得第一問(wèn)。對(duì)于第二問(wèn)有的不知從哪里下手，有的求證過(guò)程相當(dāng)麻煩，最后無(wú)疾而終。如果運(yùn)用方程思想，列出方程，再借助代入消元和加減消元法，問(wèn)題就大大簡(jiǎn)化。如此一來(lái)，得到關(guān)于求∠M的算式，回過(guò)頭由一般到特殊，將第一問(wèn)中的已知條件代入算式驗(yàn)證，或者先做第二問(wèn)就更簡(jiǎn)單了，可謂一舉兩得。

證明：∵AM、CM平分∠BAD和∠BCD

∴∠BAM=∠DAM=1/2∠BAD=m ①

∠BCM=∠DCM=1/2∠BCD=n ②

∵∠B+∠BAM=∠M+∠BCM

∠D+∠DCM=∠M+∠DAM

將①②中相應(yīng)的值代入上兩式得：

∠B+m=∠M+n ③

∠D+n=∠M+m ④

③+④得：

2∠M=（∠B+∠D）

∴∠M=1/2（∠B+∠D）。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有許多先進(jìn)的思維方式，比如方程思想，消元思想等等，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用這些思維方式，訓(xùn)練學(xué)生抓住問(wèn)題本質(zhì)的能力，有利于快速準(zhǔn)確地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和自信心。作為數(shù)學(xué)教師，引領(lǐng)學(xué)生的思維是我們的責(zé)任。