2018年高考數學（理科二卷）導數解答題解題研究及教學建議

□海南省海口市第一中學 陳文彩

2018年導數解答題考查了學生對導數知識的掌握程度和導數在研究函數性質中的作用，在秉承以往能力立意的基礎上，關注到素養立意。

理科第21題：已知函數f（x）=ex-ax2.（Ⅰ）若a=1，證明：當x≥0時，f（x）≥1；（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）上只有一個零點，求a.

一、整體評價這個題的設計

第（Ⅰ）問設計合理，難度適中。考查學生對導數、極值、單調性的深層理解，以及二階求導的能力，還考查學生變通的能力，即使沒有考慮到二次求導，還可以用換元法轉化成新函數再求導。除此之外，還考查學生解題的規范性，特別是求極值時要先判斷單調性。

第（Ⅱ）問設計靈活，難度偏易。考查學生的綜合分析能力，此題有分離參數和分類討論兩大解法，在時間緊迫的考場上需要學生能綜合分析題意，選擇較簡單的解題方法。選擇分離參數法，計算簡單，但需考慮端點取值；選擇分類討論，計算繁雜，難以討論清楚。

二、學生答得較好的地方

一是部分學生不會用二次求導，但也懂得先用換元法轉化成新函數再求導；二是第（Ⅱ）問會做的學生中，大部分應該是用分離參數法做出來的，僅有少數會用分類討論的方法做出。

三、學生答得不足的地方

一是應該存在部分學生不會解方程ex=2，甚至不會第一步求導，提交白卷。二是不明白求導的意義，盲目求導，甚至盲目求二階導、三階導，求完不知接下來做什么。三是個別學生求導后會直接判斷最小值，不考慮單調性。四是個別學生會把極值點代入原函數而不是一階導函數。五是第（Ⅱ）問分離參數時，有部分學生會讀題不準，分離的是導函數的參數而不是原函數的參數。六是用分離參數法的學生會有很多沒有考慮端點的取值而導致不能拿到滿分。

四、給高三備考的建議

本題難度較以往降低，題型比較常規，方法比較大眾，沒有出現偏題、怪題和太刁難的題目，對導數的考查主要是極值、最值和零點問題，應用的方法主要是二階求導和分離參數法，在設計時比較注重細節，注重解題的規范性，還注重題目的綜合分析能力，解題方法的選擇。

建議后面高三備考時，在導數上抓基礎、抓常規題型、抓解題的規范性、抓易扣分的細節，注重關注一元函數的極值、最值、單調性、切線問題，關注含參數的恒成立問題和零點的存在性問題，以及已知恒成立、零點而反求參數的問題。

在講每一種題型時，提供多種解法、多方面多維度地分析求解題目，提升學生綜合分析題目的能力，提升學生選擇解題方法的能力，注重思維的寬、廣、細，在保證基礎、常規、細節、規范格式的基礎上再進行適度的拓展。

很多學生不能真正理解導數與單調性、極值最值的關系，所以在一階求導后不能想到二階求導，今后的教學可以給學生分析清楚求導的目的和意義，讓學生在吃透概念的基礎上進行教學會事半功倍。

五、給高二新課的授課建議

新課教學時，要先熟記基本的求導公式，分析清楚導數的本質，導數與單調性、極值最值、圖像之間的關系，函數與方程的關系，以及他們之間的相互轉化的思想。

注重解題的規范性，教師教學時也要嚴格按照規范，不能隨便出現考試不能用的記號，比如箭頭，該寫的步驟不能隨便省略，學生會模仿，習慣了就改不掉。平時作業、測試要嚴抓解題格式，該嚴格扣分就嚴格扣分，一定要讓學生在初始學習時就養成良好的解題習慣。

注重細節，易扣分的細節要告訴學生，并且多在考試中考查這些細節，讓學生養成注重細節的習慣。

加強常規題型的練習，降低難度，提升思維的寬度，研究多方法解決問題的能力，研究各種解法之間的關系，提升綜合分析能力，在考試中能選擇較便捷的解題方法。

六、常見解答方法

第（Ⅰ）問

解法1：當a=1時，f（x）=ex-x2.

f'（x）=ex-2x.

則f''（x）=ex-2，令ex-2=0得x=1n 2.

當x＞1n 2時，f''（x）＞0，則f'（x）在（1n 2，+∞）上是增函數；

當0≤x＜1n 2時，f''（x）＜0，則f'（x）在［0，1n 2）上是減函數；

所以f'（x）min=f'（1n 2）=e1n2-21n2=2（1-1n2）＞0.

所以f（x）在［0，+∞）上是增函數.

所以f（x）≥f（0）=1.

解法2：當a=1時，f（x）=ex-x2，f'（x）=ex-2x.

令g（x）=ex-2x，x∈［0，+∞），則g'（x）=ex-2.

令ex-2=0得x=1n2.

當x＞1n2，g'（x）＞0，則g（x）在（1n2，+∞）上是增函數；

當0≤x＜1n2時，g'（x）＜0，則g（x）在［0，1n 2）上是減函數；

所以g（x）min=g（1n2）=e1n2-21n2=2（1-1n2）＞0.

即f'（x）＞0，所以f（x）在［0，+∞）上是增函數；

所以f'（x）≥f（0）=1.

解法3：當a=1時，f（x）=ex-x2.

f（x）≥1等價于（x2+1）e-x-1≤0.

設函數g（x）=（x2+1）e-x-1，則g'（x）=-（x2-2x+1）e-x=-（x-1）2e-x.

當x≠1，g'（x）＜0，所以g（x）在（0，+∞）上單調遞減

而g（0）=0，故當x≥0時，g（x）≤0，即f（x）≥1.

解法4：當a=1時，f（x）=ex-x2，f'（x）=ex-2x.

令fy=ex，y'=ex.

函數y=ex的圖像在點（x0，ex0）處的切線方程為y-ex0=（x-x0）.

當該切線經過原點（0，0）時，0-ex0=ex0（0-x0），得x0=1，即函數y=ex的圖像經過原點的切線方程為y=ex.

由于e＞2，所以x≥0時，ex0=ex≥2x.

所以f（'x）=ex-2x≥0在x≥0時恒成立.

所以 f（x）在［0，+∞）上是增函數.

所以 f（x）≥f（0）=1.

第（Ⅱ）問

解法1：f（x）在（0，+∞）上只有一個零點，

即x＞0時方程 f（x）=ex-ax2=0有且僅有一解

即x＞0時方程 f（x）=ex-ax2=0等價于a=e2x

x

令g（'x）=0得x=2

令g（'x）＞0得x＞2，則g（x）在（2，+∞）上是增函數.

令g（'x）＜0得x＜2，則g（x）在（0，2）上是減函數.

因為x→0時，g（x）→+∞；x→+∞時，g（x）→+∞.

所以g（x）min=g（2）=

所以當a=e42時（fx）在（0，+∞）只有一個零點.

解法2：

設函數h（x）=1-ax2e-x.

f（x）在（0，+∞）上只有一個零點當且僅當h（x）在（0，+∞）上只有一個零點.

（i）當a≤0時，h（x）＞0，h（x）沒有零點；

（ii）當a＞0時，h'（x）=ax（x-2）e-x.

當x∈（0，2）時，h'（x）＜0；當x∈（2，+∞）時，h'（x）＞0.

所以h（x）在（0，2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增.

①若h（2）＞0e，即a＜，h（x）在（0，+∞）上沒有零

點；

零點；

由（1）知，當x＞0時，ex＞x2，所以h（4a）=1-=1-

故h（x）在（2，4a）上有一個零點，因此h（x）在（0，+∞）上有兩個零點.

綜上，（fx）在（0，+∞）上只有一個零點時，a=

解法3：

當 （fx）在（0，+∞）上只有一個零點時，

即x＞0時方程 （fx）=ex-ax2=0且僅有一解，

亦x＞0時即方程ex=ax2有且僅有一解.

令g（x）=ex，x∈（0，+∞），h（x）=ax2，x∈（0，+∞），

則方程ex=ax2有且僅有一解時，

函數g（x）=ex，x∈（0，+∞），h（x）=ax2，x∈（0，+∞）的圖像有且僅有一個公共點，

設該點橫坐標為x0，

則函數g（x）=ex，x∈（0，+∞），h（x）=ax2，x∈（0，+∞）的圖像在x=x0處有公切線

g（'x）=ex，h（'x）=2ax，則，解得x0=2，a=。