基于概率密度函數的時滯依賴故障檢測與診斷

陳龍，李濤，徐嘯峰

南京信息工程大學信息與控制學院，南京210044

基于概率密度函數的時滯依賴故障檢測與診斷

陳龍，李濤，徐嘯峰

南京信息工程大學信息與控制學院，南京210044

CNKI網絡出版：2017-04-14,http://kns.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20170414.1723.018.html

1 引言

隨著科技的不斷進步，現代控制系統的形式變得越來越復雜，而故障發生的比例也隨之增長。控制系統一旦發生故障，就有可能造成整個系統的不穩定、失效，甚至人員和財產的巨大損失。為了避免故障的發生，或者將故障發生時帶來的危害降到最低，人們不斷研究新技術來應付故障系統，以保證系統能夠安全、可靠地運行。因此，對控制系統進行故障檢測與診斷研究，保障現代復雜系統的可靠性與安全性，具有十分重要的意義[1]。

近幾年，隨機系統是控制理論與控制工程領域中的一個重要的研究方向。經過國內外眾多學者多年的深入研究，隨機控制已形成較為系統和完善的理論體系。目前，隨機系統控制研究的主要成果有馬爾可夫參數過程控制[2]、最小方差控制[3]、自校正控制[4]和線性高斯二次型[5]等。但是，在這些傳統的隨機控制中，大都假設系統中隨機變量的統計特性服從高斯分布，然而在實際應用中并非如此，大多統計特性是非高斯分布，往往都是要求過程變量的概率密度函數[6-7]。文獻[8]提出了一種有理平方根B樣條模型，并設計了一種線性隨機系統的輸出概率密度函數控制和建模方法。文獻[9]基于有理平方根B樣條模型中實際權重與偽權重的關系，提出了PDF的建模方法，并在此方法上設計了相應的控制器。文獻[10]基于有理平方根B樣條模型，設計了一種針對輸出概率密度函數的預測控制算法，并設計了控制器。為了讓隨機系統更加可靠，對隨機系統進行故障檢測和診斷也越來越受到重視[11-15]。文獻[16]利用PDF信息設計了一種基于觀測器的故障檢測方法。文獻[17]基于輸出概率密度函數和神經網絡，通過設計自適應控制器提出了一種新的故障檢測與診斷策略。這類設計方法具有很大的應用潛力，比如在礦物加工浮選工藝中，浮選過程表現出多變量、非線性等特點，而且浮選泡沫尺寸的非高斯分布、左偏斜、高峰值等分布特性，導致常規的方法無法準確檢測和診斷浮選過程中出現的故障。文獻[18]通過對泡沫尺寸分布的輸出概率密度函數的統計分析，建立了非線性不確定性權動態模型，基于PDF設計了一種新的浮選過程故障檢測和診斷方法。

另外，時滯現象廣泛存在于現實的系統中，由于時滯的存在，得到的是被滯后了的控制信息，導致被控量不能及時控制信號動作，時滯是導致系統不穩定的一個重要原因[19]。數十年來許多學者對于時滯系統進行了深入的研究[20-24]。在隨機分布系統的故障檢測與診斷過程中考慮時滯的影響也是非常重要的。然而，目前關于隨機分布系統時滯依賴的故障檢測與診斷方法并不多。

因此，受到上述問題的啟發，本文的主要目的是設計一個包含時滯信息的故障檢測觀測器和故障估計器，得到時滯依賴的故障檢測與診斷方法。首先，針對一類包含時滯和建模誤差的隨機分布系統，建立基于PDF信息的殘差，然后通過構造李雅普諾夫泛函，建立基于LMI時滯依賴的故障檢測觀測器的方法，進一步，在此基礎上加入故障估計，設計了故障估計器的方法。最后，通過仿真實驗，證明其有效性。

2 問題描述

這里的概率密度函數是利用有理平方根B樣條函數[25]來描述的。假定隨機系統在時刻t的輸出η(t)∈[a,b]是一致有界的隨機過程，u(t)為輸入向量，F(t)為故障。則在任意時刻，η(t)的分布可以用它的概率密度函數γ(z,u(t),F(t))來描述，定義如下：

P(α≤η(t)≤β|u(t))表示系統在u(t)的作用下，輸出z(t)落在區間[α,β]的概率。假設區間[a,b]已知，輸出概率密度函數γ(z,u(t),F(t))連續且有界，則可以用如下的有理平方根B樣條模型來逼近，并且在建模過程中考慮了建模誤差：

這里bi(z)(i=1,2,…,n)是預先給定的定義在區間[a,b]上的基函數，BT是與基函數相關的函數，V(t)為權值，，δ是給定的正數，并且給定矩陣U1，對于任意的V1(t)和V2(t)，成立。

假設B樣條模型中權值V(t)與輸入u(t)和故障F(t)之間滿足如下的系統描述：

其中，x(t)是系統的狀態，d(t)是時變時滯，F(t)是系統故障，A,Ad,G,H,J,E是具有合適維數的系統矩陣，其初值表示為x(t)=φ(t)(-τM≤t≤-τ0),τ0和τM表示常時滯。給定矩陣U2,對于任意x1(t)和x2(t),成立。

引理[26]對任意矩陣R＞0，對于x∈[α1,α2]，始終滿足下列不等式：

其中

3 時滯依賴故障魯棒檢測觀測器設計

故障檢測主要是通過殘差信號來進行檢測的，為了產生殘差，構造觀測器如下：

定義狀態誤差：

于是可得誤差系統如下：

這里

ξ1(t)可表示為：

下面的定理給出了包含時滯信息及建模誤差信息的故障觀測器的設計方法。

定理1給定標量λi＞0(i=1,2)，時間τM＞τ0≥0，0＜d?(t)＜1，及αi(i=1,2,3,4,5,6)，如果存在矩陣P＞0，Q1＞0，Q2＞0，Q3＞0，S1＞0，S2＞0，R和任意可逆矩陣H1，標量η＞0，滿足如下不等式：

其中

則不存在故障F(t)時，誤差系統（6）是漸近穩定的，且對任意t∈[τ0τM]滿足：

證明構造李雅普諾夫泛函為：

則：

對于任意矩陣H，如下的等式恒成立：

其中：

聯合式（7）、（14）、（15），并令：H2=α1H1,H3=α2H1,H4=α3H1,H5=α4H1,H6=α5H1,H7=α6H1。

所以

證明結束。

4 故障估計

為了估計故障的大小，設計故障估計器如下：

這里的F?(t)是故障F(t)的估計值，γi(i=1,2)是待設計的故障估計增益量。可得到如下誤差系統：

Γ1，Γ2和Δ(t)定義于式（7）。假設

下面的定理提供一種故障F(t)的估計算法。

定理2給定標量λi＞0(i=1,2)，τM＞τ0≥0，0＜d?(t)＜1，αi(i=1,2,3,4,5,6,7)，如果存在矩陣P＞0，Q1＞0，Q2＞0，Q3＞0，S1＞0，S2＞0，R，γ1，γ2和任意可逆矩陣H1，標量μ＞0，κ＞0，滿足如下不等式：

Ω見定理1。

于是在故障估計器（16）的作用下，誤差系統（17）是漸近穩定且對于任意t∈[τ0τM]滿足：

證明構造李雅普諾夫泛函：

則

令：

則

其中：

令：H2=α1H1,H3=α2H1,H4=α3H1，H5=α4H1，H6=α5H1，H7=α6H1，H8=α7H1。

則

所以

5 仿真實驗

為了驗證本文提出方法的有效性，本章在Matlab環境下對包含時滯和建模誤差的隨機分布系統進行仿真研究。假設輸出概率密度函數可以用

來逼近，這里的z定義于區間[0，1.5]，并且

其中i=1,2,3。系統參數如下：

非線性函數的界分別為U1=diag{}0.1,0.1，U2=，計算得和Λ3=0.25。于是當σ(z)=1時可得Γ1=[0.954 9 1.273 2],Γ2=0.381 3。

設置初始狀態為：

本文考慮如下故障：

其中

令λ1=1,λ2=1,d?(t)=0.1,τ0=0.01 s,并選取α1=α2=α3=α4=α5=α6=α7=0.1。當τM=0.02 s時，通過Matlab Toolbox求解定理1得到η=0.130 9，ρ2=0.040 0。

通過定理2得到：

圖1至3描述的分別是當τ0=0.01 s,τM=0.02 s時，故障檢測閾值與評估函數的響應，殘差的響應，以及故障及故障估計的響應。

圖1 τ0=0.01 s,τM=0.02 s時故障檢測閾值與評估函數的響應

圖2 τ0=0.01 s,τM=0.02 s時殘差的響應

圖3 τ0=0.01 s,τM=0.02 s時故障與故障估計的響應

當τM=0.2 s時，通過Matlab Toolbox求解定理1得到η=0.116 2，ρ2=0.041 2。

通過定理2得到：

圖4至6描述的分別是當τ0=0.01 s,τM=0.2 s時，故障檢測閾值與評估函數的響應，殘差的響應，以及故障及故障估計的響應。

圖4 τ0=0.01 s,τM=0.2 s時故障檢測閾值與評估函數的響應

圖5 τ0=0.01 s,τM=0.2 s時殘差的響應

圖6 τ0=0.01 s,τM=0.2 s時故障與故障估計的響應

當τM=2.5 s時，通過Matlab Toolbox求解定理1得到η=0.077 6。

此時ρ2=0.238 4。

圖7描述的是當τ0=0.01 s,τM=2.5 s時，故障檢測閾值與評估函數的響應。

圖7 τ0=0.01 s,τM=2.5 s時故障檢測閾值與評估函數的響應

圖1和圖4的閾值和評估函數的比較，證明了本文方法可以檢測出故障，而圖7是則顯示出當時滯過大時，不能檢測出故障。圖2和圖5描述的是故障發生時，在估計故障的過程中，殘差信號的響應，并且可以看到時滯較大時，殘差信號的超調量以及調節時間都會相應增大。圖3和圖6描述的是故障發生時，故障及其估計值的響應曲線，從中可以看出本文故障估計器可以較準確地估計出發生的故障，而隨著時滯的增加，故障與其估計值之間的偏差會變大，故障估計的效果下降。

6 結論

本文針對包含時滯的隨機分布系統，通過設計故障檢測觀測器和故障估計器，得到了故障檢測與診斷的方法。通過仿真實驗結果可以看出，本文提出的方法可以準確地對故障進行檢測與估計。并且通過加入不同的時滯，得到時滯對故障檢測與診斷的影響，可以看到故障估計的效果會隨著時滯的增加而下降。

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CHEN Long,LI Tao,XU Xiaofeng.Fault detection and diagnosis based on PDF and time-delay.Computer Engineering andApplications,2018,54（6）：257-263.

CHEN Long,LI Tao,XU Xiaofeng

School of Information and Control,Nanjing University of Information Science and Technology,Nanjing 210044,China

In this paper,a method of fault detection and diagnosis based on Probability Density Function（PDF）is proposed for stochastic distributed systems with time-delay.The residual of the PDF information is established firstly,then it designs fault detection observer and fault estimator based on the linear matrix inequality utilizing the theory of fault detection and diagnosis,and passes through the stability analysis,realizes fault detection and estimation of the system.Finally,the numerical simulation shows the effectiveness of the method.

time-delay;stochastic distribution system;fault detection and diagnosis;observer

針對包含時滯的隨機分布系統，提出了一種基于概率密度函數（PDF）的時滯依賴故障檢測與診斷方法。建立了基于PDF信息的故障檢測殘差，利用故障檢測與診斷理論，設計了基于線性矩陣不等式的故障檢測觀測器和故障估計器，并且通過了穩定性分析，實現了對該系統的故障檢測以及估計。通過數值仿真，證明了該方法的有效性。

時滯；隨機分布系統；故障檢測與診斷；觀測器

2016-09-21

2017-01-17

1002-8331（2018）06-0257-07

A

TP271

10.3778/j.issn.1002-8331.1609-0295

國家自然科學基金（No.61573189，No.61573190）；江蘇省杰出青年基金項目（No.BK20140045）；江蘇省六大人才高峰計劃（No.2015-DZXX-013）。

陳龍（1992—），男，碩士研究生，主要研究領域為故障檢測與診斷，E-mail：1576163595@qq.com；李濤（1979—），男，博士，博士生導師，主要研究領域為時滯系統，故障診斷；徐嘯峰（1992—），男，碩士研究生，主要研究領域為時滯系統。