基于熵和改進的協相關度的直覺模糊決策方法

王斌，王哲辰，周煒，郝天鵬

1.青島理工大學，山東青島266033

2.北京航空航天大學，北京100191

基于熵和改進的協相關度的直覺模糊決策方法

王斌1，王哲辰2，周煒1，郝天鵬1

1.青島理工大學，山東青島266033

2.北京航空航天大學，北京100191

CNKI網絡出版：2017-04-14,http://kns.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20170414.1723.022.html

1 引言

Zadeh于1965年提出的模糊集理論[1]，利用隸屬度函數來刻畫客觀世界的模糊性，奠定了模糊數學的基礎。1986年Atanassov提出了直覺模糊集[2-3]（Intuitionistic Fuzzy Set，IFS）的理論，通過引入非隸屬度函數和猶豫度等概念，能夠更加深入、細致地分析事物的模糊性，是對模糊集理論最有影響的一種擴充和發展，關于直覺模糊集問題的研究近年來引起了人們的廣泛關注，并在決策分析、知識發現等領域已得到了廣泛應用[4-8]。

為了刻畫直覺模糊集的模糊程度，Burillo等在1996年最先給出直覺模糊熵的定義[9]，Szmidt等于2001年又給出另一種直覺模糊熵的定義[10]。此后，有關直覺模糊熵的研究吸引了許多學者的關注，如文獻[11-12]在上述兩種定義的基礎上，提出了改進的直覺模糊集合熵的公理化定義和一般構造形式；文獻[13]構造了一類指數直覺模糊熵；文獻[14]構造了二個三角函數直覺模糊熵；文獻[15-16]在熵的構造中加入了猶豫度函數，分別利用余弦函數、余切函數構造了直覺模糊熵，克服了當隸屬度與非隸屬度的絕對偏差相同的任意兩個直覺模糊集，其直覺模糊熵值相同這一缺陷。文獻[17]又進一步研究了區間直覺模糊熵的問題。兩個直覺模糊集之間相關系數的概念在文獻[18]中被提出，但沒有考慮決策者的風險態度及不同屬性的權重及對相關系數的影響；為了克服文獻[18]中相關系數處理的不足，文獻[19]根據文獻[20]中關于相關系數的定義結構，考慮了決策者的態度，引入了態度參數，提出了兩個直覺模糊集協相關度的概念，并以此為基礎，提出一種多屬性決策方法。

本文在文獻[19]的基礎上，改進了兩個直覺模糊集協相關度的公式，提出了兩個直覺模糊集的相關系數，克服了文獻[19]中協相關度的定義的不足，改進了決策者的風險態度參數，并給出了一種新的廣義直覺模糊熵，推廣了文獻[11-12，19]中直覺模糊熵的公式，使其成為本文直覺模糊熵的三種特例。然后借鑒文獻[21]的方法，利用熵的最小化原則建立優化模型確定屬性權重，計算各對象與理想對象之間的相關系數，從而得出一種有效的多屬性決策方法，最后通過實例進行了驗證。

2 預備知識

下面首先給出直覺模糊集的一些基本概念。

定義1[2]設U是一個給定的論域，稱三元組A=為U上的直覺模糊集，記為IFS。其中：uA,vA皆是U→[0,1]上的映射，且0≤uA(x)+vA(x)≤1，uA(x),vA(x)分別表示元素x屬于直覺模糊集A的隸屬度和非隸屬度。令πA(x)=1-uA(x)-vA(x)，稱為x屬于直覺模糊集A的猶豫度，顯然0≤πA(x)≤1，以下簡記U上的所有直覺模糊集的全體，記為IFS(U)，U上的全體經典集合記為P(U)。

定義2[2]設，則運算法則如下：

直覺模糊集中的隸屬度、非隸屬度及猶豫度這三個重要參數，對直覺模糊集的形成具有決定意義，它們從不同的側面反映了論域中元素的不確定性，為了度量直覺模糊集的這種不確定性，一些學者提出了直覺模糊熵的概念，用以刻畫直覺模糊集所包含的不確定性。下面首先給出直覺模糊熵的公理化定義。

定義3[22]如果實值函數E:IFS(U)→[0,1]滿足下面條件，則該實值函數稱為直覺模糊熵。

（1）E(A)=0，當且僅當A是一個分明集；

（2）E(A)=1，當且僅當?xi∈U,πA(xi)=1；

（3）E(A)=E(AC)；

（4）E(A)=f(ΔA,πA)是一個連續函數且關于參數ΔA是遞減的，關于參數πA是遞增的。

在文獻[11-12，19]的基礎上，給出了一種改進的廣義直覺模糊熵。

定理1設，則是直覺模糊集A的熵，其中p＞0，q＞0。

證明（1）若A是一個分明集，則uA=1,vA=0或uA=0,vA=1,所以且πA=0,故E(A)=0。

?xi∈U,因，故，若E(A)=0，則，因為0≤，所以，即uA=1,vA=0或uA=0,vA=1，A是一個分明集。

（2）若?xi∈U,πA(xi)=1，則uA(xi)=0,vA(xi)=0，

（4）為了證明式（1）滿足定義3中的條件（4），只需證明函數f(x,y)=1-xp+yq關于x遞減，關于y遞增即可，其中p＞0,q＞0,x,y∈[0,1]。求導得=-pxp-1＜0,=qyq-1＞0,所以f(x,y)關于x遞減，關于y遞增。證畢。

比較文獻[11-12，19]和本文式（1）給出的直覺模糊熵定義，當式（1）中p=q=1時即得文獻[11]給出的直覺模糊熵E1(A)；當式（1）中p=q=2時即得文獻[12]給出的直覺模糊熵E2(A)；當式（1）中p=2,q=1時即得文獻[19]給出的直覺模糊熵E3(A)；因此，本文給出的是一種改進的更具一般性的直覺模糊熵。

3 直覺模糊熵屬性權重與理想對象的確定

在多屬性決策中，一般通過屬性權重來刻畫不同屬性的不同重要性。以往憑經驗給出權重的方法常常帶有主觀性，往往不能客觀地反映實際情況，造成決策失誤。本文仍然采用文獻[21]中客觀的非線性規劃方法來確定權重。

假設對象集U={x1,x2,…,xn}，屬性集A={a1,a2,…,am},屬性權重向量wj∈[0,1]。

在實際決策中，為了提高決策的準確性和科學性，決策者往往希望決策問題的確定性信息越多越好，而不確定性信息越少越好，因此各屬性的權重安排應盡量減少不確定信息對決策的影響，即權重的安排應使所有屬性的總熵值最小，故可建立如下的優化模型。

對上述模型，使用Lagrange乘數法可解得：

由式（2）可以看出，當某個屬性所包含的不確定信息越少，即直覺模糊熵越小，其相應的權重就越大，對總體決策的影響也就越大，符合前述對權重確定的要求。

在多屬性決策中，為了對不同對象進行比較，從而確定最優策略，借鑒逼近理想解排序（Technique for Order Preference by Similarity to all Ideal Solution，TOPSIS）方法的思想，從每個屬性中選擇最好的屬性值組成一個理想對象，然后把各個對象與理想對象一一作比較。即求出它們的相關系數，實現對對象進行排序，從而得出最優策略。在直覺模糊信息環境下各屬性的理想對象x*的理想值可按如下方法選取：

其中uj(x*),vj(x*),πj(x*),分別表示理想對象x*在第j(j=1,2,…,m)個屬性下的隸屬度、非隸屬度和猶豫度。

4 直覺模糊集的相關系數

文獻[19]給出的協相關度的定義為：

此定義的思路借鑒自概率論中協方差的定義，cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}。因為u(xi)+v(xi)+π(xi)=1，即這相當于將任一隸屬度函數的期望值u(xi)都取值為1/3，顯然與協方差定義中E(X)的意義不符，此定義是需要改進的。因此，給出協相關度的一種新的定義，稱之為直覺模糊集的相關系數。

定義4設論域U={x1,x2,…,xn}，屬性集α={a1,a2,…,am},w={w1,w2,…,wm}為屬性權重向量，wj∈[0,1],A={xi,uj(xi),vj(xi)|xi∈U}∈IFS(U)，其中uj(xi),vj(xi)分別為對象xi在屬性aj時的隸屬度和非隸屬度。

則式（1）隸屬度相關系數為：

表1 候選人評價結果

定義5（得分函數）設ρu(x),ρv(x),ρπ(x)分別為對象x的隸屬度相關系數，非隸屬度相關系數和猶豫度相關系數，則得分函數為：

其中常數ki表示決策者的決策態度，0＜k1,k2＜1,k1+k2＜1,若表示決策者是悲觀型的；若＜k1,k2＜1,表示決策者是樂觀型的；若k1=k2=,表示決策者是中立型的。

定理2得分函數S(x)∈[-1,1]。

證明因為ρu(x),ρv(x),ρπ(x)均為相關系數，故其絕對值不大于1，即||ρ*(x)≤1，所以

在具體決策中，得分函數值S(x)越大，說明對象x越靠近理想解x*，對象x就越優。于是，得到一種基于熵和改進的協相關度的直覺模糊環境下的多屬性決策方法，具體步驟如下：

（1）利用式（1）計算各個屬性的直覺模糊熵E(ai)，(i=1,2,…,n)；利用式（2）求出屬性的權重wj(j=1,2,…,m)。

（2）利用式（3）確定理想對象x*。

（3）分別利用式（4）～（6）計算各個屬性對象的隸屬度相關系數，非隸屬度相關系數和猶豫度相關系數。

（4）根據決策者的決策態度選擇適當的ki值，利用式（7）計算各個對象得分函數S(xi)的值。

（5）根據每個對象的得分函數S(xi)的值，對各個對象進行排序，從而得到最優對象。

5 實例分析

例1[19]某高校老師準備評選教授，只有一個名額，共有8名候選人U={x1,x2,…,x8}符合晉升條件。為了確定最佳候選人，該校評審組對這8名候選人分別從6個方面A={a1,a2,…,a6}（假設這6個方面均是效益型指標）進行評價，并將評價結果以直覺模糊信息的形式給出，如表1所示。

下面使用本文方法確定最佳候選人。

（1）利用式（1）計算各個屬性的直覺模糊熵，得E(a1)=0.476 2,E(a2)=0.562 5,E(a3)=0.564 4,E(a4)=0.553 1,E(a5)=0.573 8,E(a6)=0.660 6,利用式（2）求出屬性的權重w={0.196,0.165 9,0.165 4,0.168 7,0.162 7,0.141 3}。

（2）利用式（3）確定理想對象x*={＜0.8,0.1＞,＜0.7,0.2＞,＜0.6,0.2＞,＜0.8,0.1＞,＜0.6,0.2＞,＜0.5,0.2＞}。

（3）分別利用式（4）～（6）計算各個屬性對象的隸屬度相關系數，非隸屬度相關系數和猶豫度相關系數。

（4）假設決策者是樂觀型的，取k1=0.45,k2=0.35,利用式（7）計算各個對象得分函數S(xi)的值S(x)={0.354 5,0.058 6,-0.037 5,0.401 6,0.237 7,0.114,-0.365 3,-0.014 5}。

（5）根據每個對象的得分函數S(xi)的值，得到x4＞x1＞x5＞x6＞x2＞x8＞x3＞x7，從而得到最佳候選人為x4。

若決策者是悲觀型的，取k1=0.25,k2=0.2，同理可得x4＞x1＞x5＞x6＞x8＞x3＞x2＞x7；若決策者是中立型的，取k1=k2=，得到x4＞x1＞x5＞x6＞x2＞x8＞x3＞x7。比較三種不同結果發現，對象x2,x3,x8之間的排序發生了變化，說明不同的決策態度對排序結果會產生一定影響，但最佳與最差對象仍然是x4,x7。

6 結束語

本文綜合考慮直覺模糊集的直覺性和模糊性對不確定信息的影響，在原有文獻的基礎上，給出了一種改進的直覺模糊熵，概括并推廣了原有的一類直覺模糊熵的定義。針對原有文獻提出的兩個直覺模糊集協相關度概念存在的問題，改進了直覺模糊集協相關度的定義，構造了新的得分函數，由此給出了一種改進的基于直覺模糊信息的多屬性決策方法，最后通過實例計算驗證了該方法的有效性和可行性。

本文主要探討用相關系數處理存在線性關系的直覺模糊集之間的相關問題，如果序列存在非線性相關性，到目前為止，還沒有人能夠給出類似于相關系數那樣的為大家普遍認可的描述非線性關系的表達式。目前初步考慮二種處理方法：一是通過適當的變量變換將非線性關系轉化為線性關系；二是如果不能夠轉化，需進一步研究探討直接處理非線性相關性的方法。當然，這樣的問題更加復雜，也是下一步將要深入研究的問題。

[1] Zadeh L A.Fuzzy sets[J].Information Control，1965，8（3）：338-353.

[2] Atanassov K.Intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Systems，1992，20（1）：87-96.

[3] Atanassov K.More on intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Systems，1989，33（1）：37-45.

[4] Li D F.A ratio ranking of triangular fuzzy number and its application to MADM problems[J].Computers and Mathematics with Applications，2010，60（6）：1557-1570.

[5] Wan S P.Multi—attribute decision making method based on possibility variance coefficient of triangular intuitionistic fuzzy numbers[J].International Journal of Uncertainty，Fuzziness and Knowledge—Based Systems，2013，21（2）：223-243.

[6] Wang J Q，Zhang Z.Aggregation operators on intuitionistic trapezoidal fuzzy number and its application to multi—criteria decision making problems[J].Journal of Systems Engineering and Electronices，2006，20（2）：321-326.

[7] 萬樹平.直覺模糊多屬性決策方法綜述[J].控制與決策，2010，25（11）：1601-1606.

[8] Wan S P.Power average operators of trapezoidal intuitionistic fuzzy numbers and application to multi—attribute groupdecisionmaking[J].Appliedmathematicalmodelling，2013，37（6）：4112-4126.

[9] Burillo P，Bustince H.Entropy on intuitionistic fuzzy sets and on interval—valued fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Systems，1996，78（3）：305-316.

[10] Szmidt E，Kacprzyk J.Entropy for intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Systems，2001，118（3）：467-477.

[11] 吳濤，白禮虎，劉二寶，等.直覺模糊集新的熵公式及應用[J].計算機工程與應用，2013，49（23）：48-51.

[12] Gao M，Sun T，Zhu J.Revised axiomatic definition and structural formula of intuitionistic fuzzy entropy[J].Control and Decision，2014，29（3）：470-474.

[13] Verma R，Sharma B D.Exponential entropy on intuitionistic fuzzy sets[J].Kybernetika，2013，49（1）：114-127.

[14] Ye J.Two effective measures of intuitionistic fuzzy entropy[J].Computing，2010，87（1/2）：55-62.

[15] 王堅強，王佩.基于直覺模糊熵的直覺語言多準則決策方法[J].控制與決策，2012，27（11）：1694-1698.

[16] Wei C，Gao Z，Guo T.An intuitionistic fuzzy entropy measure based on trigonometric function[J].Control and Decision，2012，27（4）：571-574.

[17] Nguyen H.A new interval-valued knowledge measure for interval-valued intuitionistic fuzzy sets and application in decision making[J].Expert Systems With Applications，2016，56：143-155.

[18] Park D G，Kwun Y C，Pa R K J H，et al.Correlation coeff icient of interval-valued intuitionistic fuzzy sets and its application to multiple attribute group decision maki ng problems[J].Mathematical and Computer Modelling，2009，50（9/10）：1279-1293.

[19] 汪峰，毛軍軍，黃超.基于熵和協相關度的直覺模糊多屬性決策方法[J].計算機應用，2015，35（12）：3456-3460.

[20] Shen H.Probability theory and mathematical statistics[M].Beijing：Higher Education Press，2011：151-154.

[21] Wu J，Zhang Q.Multicriteria decision making method based on intuitionistic fuzzy weighted entropy[J].Expet Systems with Applications，2011，38（1）：916-922.

[22] Mao J，Yao D，Wang C.A novel cross-entropy measures of IFSs and their applications[J].Knowledge-Based Systems，2013，48（2）：37-45.

WANG Bin,WANG Zhechen,ZHOU Wei,et al.Intuitionistic fuzzy decision-making method based on entropy and improved co-correlation degree.Computer Engineering andApplications,2018,54（6）：247-251.

WANG Bin1,WANG Zhechen2,ZHOU Wei1,HAO Tianpeng1

1.Qingdao Technological University,Qingdao,Shandong 266033,China
2.Beihang University,Beijing 100191,China

Aiming at the multi-attribute decision-making problems with unknown attribute weight and Intuitionistic Fuzzy Set（IFS）as decision information,and the problems in researching decision-making methods on the basis of co-correlation degree,a decision-making method based on Intuitionistic Fuzzy（IF）entropy and modified co-correlation degree is proposed.In precise measurement of the intuitionism and fuzziness of IFS,a formula of improved IF entropy,which generalizes and extends the original formula of IF entropy,has been presented and adequately discussed.Moreover,from the structure of the correlation coefficient in probability statistics,the definition of co-correlation degree of IFS is improved by structuring the correlation coefficient and score function between IFS and ideal objects.Thus,an improved multi-attribute decision-making method based on intuitionistic fuzzy information is given,experimental results prove the effectiveness and feasibility.

intuitionistic fuzzy set;intuitionistic fuzzy entropy;co-correlation degree;score function

針對決策信息為直覺模糊集且屬性權重未知的多屬性決策問題，以及關于協相關度的決策方法研究中存在的問題，提出了一種基于直覺模糊熵和改進的協相關度的決策方法。為準確度量直覺模糊集的直覺性和模糊性，給出了一種改進的直覺模糊熵的公式，概括并推廣了原有的一類直覺模糊熵的公式，并討論了其相關性質。然后由概率統計中相關系數的構造思想，改進了直覺模糊集協相關度的定義，構造了直覺模糊集與理想對象之間的相關系數以及得分函數，由此給出了一種改進的基于直覺模糊信息的多屬性決策方法，最后通過實例計算驗證了該方法的有效性和可行性。

直覺模糊集；直覺模糊熵；協相關度；得分函數

2016-10-20

2017-01-17

1002-8331（2018）06-0247-05

A

TP18

10.3778/j.issn.1002-8331.1610-0235

國家自然科學基金（No.61502262）。

王斌（1963—），男，博士，教授，研究生導師，主要研究方向：知識發現，博弈論及應用，E-mail：wb769@sina.com；王哲辰（1993—），男，博士研究生，主要研究方向：智能控制；周煒（1981—），男，博士，講師，主要研究方向：信任認證，信息安全；郝天鵬（1991—），男，碩士研究生，主要研究方向：數據挖掘，知識發現。