沖壓動力遠程導彈燃料及起飛質量快速估算*

王宏濤，石德平

(中國航天科工集團有限公司 第二研究院，北京 100854)

0 引言

導彈的起飛質量及燃油質量不僅高度反映了導彈的成本，也是衡量導彈武器系統優劣的重要指標[1]。因此，對導彈的起飛質量及燃油質量估算在導彈總體方案設計中處于靠前位置，是總體工作開始定量設計的第一步[2]。研究表明，對于中遠程導彈質量減輕1 kg，射程可增加7～8 km[3]。

具體到遠程戰術導彈，較于常規戰術導彈，飛行距離遠，射程一般達到300 km以上，且飛行時間長，因此由于飛行過程中動力消耗能量巨大，對導彈動力系統要求較常規戰術導彈更高。而沖壓發動機可以利用空氣中的氧作為氧化劑，大大提高了推進劑的比沖，同時較渦噴動力導彈往往具備更大的巡航馬赫數及巡航高度，具有工作穩定可靠，高質量比，高比沖，結構簡單，工作時間長或可控等特點[4-5]，適合作為遠程超聲速戰術導彈的動力裝置。

目前，在對戰術導彈質量估算的研究上，西北工業大學的谷良賢及北京理工大學的駱驍對固體動力戰術導彈質量估算有詳細的研究[6-7]；同時，第二炮兵研究院的齊少軍等人建立了渦噴發動機戰術導彈[8]的質量估算模型。然而，傳統固體動力導彈質量估算模型一般采用導彈的燃料質量變化率及比沖視為不隨時間變化的常值[6-7]以進行簡化，而渦噴發動機對地巡航導彈的質量估算模型則習慣性將末制導段按照巡航段作簡化處理[8]，沖壓動力導彈的推力及燃料質量流量受到飛行參數的影響，與彈道屬于強耦合，導致對沖壓發動機導彈的質量估算較復雜，因此有必要分析并建立沖壓發動機導彈燃料質量及起飛質量估算模型。

針對以上問題，本文基于傳統動力導彈質量估算模型，推導并建立了針對不同目標特性的以沖壓發動機為動力的戰術導彈燃料質量及起飛質量的估算模型，并分別設計了考慮末制導段及簡化末制導段的2種質量估算模型。將2種模型的仿真結果與飛行任務剖面進行對比驗證，總結了可以為總體方案初步設計提供較準確的起飛質量估算方法，同時定量分析了導彈射程、巡航高度、末制導啟動距離及運動目標逃逸速度變化對2種質量估算模型估算結果的影響。

1 導彈燃料質量及起飛質量估算建模

工程上求解導彈起飛質量的方法，除去依賴以往經驗公式和統計數據之外，主要可以分為解析法[4-5]與數值求解法2種[9-10]。

采用沖壓發動機導彈基準模型為前蘇聯KH-31 “投球手”導彈典型的“X”型四進氣道、無翼式尾舵布局[11-12]，如圖1所示。

一般沖壓動力戰術導彈直接攻擊空中目標的彈道如圖2所示。

圖1 沖壓動力導彈氣動模型(含助推器)Fig.1 Aerodynamic configuration of ramjet missile (including booster)

圖2 沖壓發動機戰術導彈飛行任務剖面圖Fig.2 Flight mission profile of ramjet missile

常規固體發動機及渦噴發動機動力導彈的彈道分段一般采用將末制導段納入巡航段簡化計算[7]，可將沖壓戰術導彈的彈道特征分解為4段，分別為助推段、爬升段、巡航加速段、巡航勻速段。

由于助推段為固體動力(恒定比沖)且時間較短，可以將導彈速度變化簡化為勻加速直線運動，此時可以應用解析法進行快速估算；但在爬升段、巡航加速段、巡航勻速段，由于彈道運動較為復雜，應通過導彈運動方程組的求解進行數值積分運算，即數值積分法求解導彈質量。應用數值求解法時，估算結果的仿真彈道越接近飛行任務剖面，質量估算誤差將越接近真實值[7]。

沖壓發動機由于與彈道屬于強耦合狀態，因此彈道計算較為復雜，在導彈總體設計初期應簡化估算模型，因此本文采用以下假設：

(1) 在彈道各階段內不通過余氣系數調節來改變導彈推力對導彈速度進行控制，即假設彈道每個階段內導彈的余氣系數皆為獨立的常值。

(2) 助推段速度隨時間線性變化，固體動力助推器比沖，推力為常值。

(3) 巡航加速段及巡航勻速平飛段飛行高度恒定。

典型的吸氣二級沖壓發動機導彈的主級質量m2及起飛總質量mall估算模型可表示為

(1)

(2)

式中：me為導彈有效載荷質量；mc2為沖壓發動機結構質量；kcb為彈體主級結構質量系數；mp4為導彈勻速平飛段消耗的燃料質量；kp1,kp2,kp3,kp4分別為導彈助推段、爬升段、加速平飛段及勻速平飛段消耗的燃料系數比，定義為彈道各段導彈消耗的燃料質量與導彈主級質量之比；ks為沖壓發動機燃料設計余量系數；kc1為助推器的結構系數。

由式(2)可以看出，在已知導彈有效載荷質量me及彈用沖壓發動機的結構質量mc2下[8]，如若求解出導彈在各段消耗的燃料系數kp2,kp3,kp4，再結合經驗公式中的沖壓導彈的燃料余量系數，ks助推器結構系數kc1以及彈體主級結構質量系數kcb即可通過式(5)及式(6)求解導彈的主級質量m2和起飛質量mall，以及燃料質量mfuel。

兩級沖壓動力導彈最初以某彈道傾角發射后。通過固體助推器產生的恒定推力為其提供加速，待加速到沖壓發動機的轉級速度后，助推器將與導彈主級分離?？紤]到一般助推段時間較短(5 s左右)，固體燃料助推器可以將比沖近似為常量，且助推段近似為勻加速直線運動。此時，沖壓動力導彈的助推段可采用對于固體動力戰術導彈的質量估算方法[12]，即解析法求解，助推段燃料系數kp1的解析法計算表達式為

(3)

式中：v1及t1為發射的初速度及時間；v2及t2為導彈助推段結束的速度及時間；θ為彈道傾角；Is為固體助推器比沖；按照巡航導彈常用結構系數公式；kc1=0.692kp1;p0為導彈單位特征面積承擔的平均載荷量，在設計初期可參考一般沖壓動力導彈取值，再通過后面的迭代計算進行修正。

導彈助推段結束后，助推器與主級導彈分離，導彈主級的質量估算采用數值積分法，鉛垂平面內其求解用方程組為

(4)

式(4)彈道傾角θ在爬升段通過給定的變化[13-15]進行設計，平飛段彈道傾角取0，攻角α通過需用法向過載求得，θE為地球曲率對彈道傾角的影響。通過對式(4)進行求解，即可求得導彈爬升段，加速巡航段消耗的總燃料質量與主級的質量比kp2，kp3及對應的飛行航程L2與L3。

基于假設(1)及假設(3)，沖壓發動機在各飛行階段內不通過改變余氣系數對導彈進行推力方面的控制調節，同時在勻速巡航段導彈飛行馬赫數及高度皆不變，因此參照對傳統固體動力導彈或渦噴動力導彈質量估算方法[7]，即將末制導運動簡化為勻速巡航運動，燃料消耗率可以直接使用簡化后的快速估算，即通過式(5)估算出勻速巡航段導彈橫向距離L4。

(5)

式中：Lmax為導彈最大射程；v4為導彈在巡航段的巡航速度，隨后即可根據式(6)得到導彈在巡航段消耗的燃料質量mp4。

mp4=mpt4.

(6)

然而，這種簡化勢必帶來估算質量任務剖面與設計任務剖面的差別，故同時考慮將末制導單獨計算的模型，末制導律采用經典的比例導引法，即通過彈目距離及連線的視線方位角解算導彈需用法向過載Ny，將其視為控制變量，再根據Ny迭代反求解需用攻角α，便可聯立彈道方程組通過數值計算解算彈道，方程組為

(7)

式中：r為導彈與目標的絕對距離;q為導彈與目標連線視線方位角;Ny為導彈的法向過載。通過對式(7)進行數值解算，即可得到末制導段燃料消耗質量比kp5。將式(1)進行修正，即可獲得考慮末制導段的導彈質量估算公式為

(8)

由式(4)，(7)中可以發現，在對導彈爬升段及末制導段計算中，方程組中出現了導彈主級質量m2，該參數為導彈質量估算求解參數，因此需要在開始計算時給定m2初值，然后通過式(4)～(7)進行質量估算求解計算，最終根據式(8)或式(1)求解，并進行迭代計算，具體過程為

m2[n]=f(m2[n-1]),

(9)

直到誤差|m2[n]-m2[n-1]|小于允許范圍，即可結束迭代并可以獲得導彈主級質量及燃料質量的估算結果，再通過式(2)即可求得導彈起飛質量。

2 仿真結果及分析

為驗證第1節中建立的質量估算模型的可靠性，分別設計沖壓動力導彈對固定目標及高速運動目標打擊的飛行任務剖面，并通過第1節中簡化末制導段的質量估算模型(以下簡稱簡化估算模型)與不簡化末制導段的質量估算模型(以下簡稱不簡化估算模型)的數值積分法估算彈道、速度時間曲線估算模型進行對比，定量分析二者的準確性及簡化模型的估算差值，以論證2種質量估算模型各自的適用范圍。

2.1 固定目標

仿真任務剖面設定為處距離發射點300 km，10 km高度的固定目標，末制導采用比例導引法，啟動距離為水平距目標80 km，巡航高度18 km。圖3為根據設計的飛行任務剖面模型建立的2種質量估算模型的彈道與飛行任務剖面對比圖。

圖3 簡化前后導彈質量估算模型與設計任務剖面對比Fig.3 Comparison of mass evaluation model (before and after the simplification) and flight mission profile

圖3中可以明顯看出，由于簡化估算模型中，彈道的末制導段被簡化為巡航段。2種模型在彈道仿真結果中的末制導段上存在很大差異，相對于簡化估算模型，不簡化估算模型的仿真彈道與任務剖面更加貼近。說明不簡化估算模型的結果將更符合按照飛行任務初步設計的精度要求。

在2種模型的計算時間上，2種算法對導彈主級質量m2的迭代均可在8次之內達到收斂，體現了該估算模型的快速性。但是由于不簡化模型需要對末制導段微分方程組進行求解，不簡化模型的收斂速度比簡化模型要多近30 %。

為驗證2種方法具體估算精度，根據已有常規設計方法，完成基準沖壓動力導彈彈道模型，將其設計仿真得到的速度時間曲線視為實際設計完成的速度時間曲線，與主級燃料質量比隨時間的變化曲線與2種質量估算模型的結果進行對比，結果如圖4a)所示。由于在質量估算模型忽略了爬升段及平飛段的穩定過渡，2種模型估算彈道速度與基準彈道仿真結果有少許差異，同時簡化估算模型在末制導段速度變化上較設計彈道產生較大誤差，而不簡化估算模型在末制導段速度變化上與設計彈道較為貼合。

圖4 2種導彈質量估算模型與飛行任務 仿真模型飛行參數對比Fig.4 Comparison of flight parameters of two mass evaluation models and flight mission profile

由圖4b)可以看出，簡化模型的導彈燃料比估算結果與基準彈道的誤差在末制導段開始加大，最終導彈燃料比估算誤差為4.8 %。而不簡化模型的導彈燃料比估算結果與基準彈道較為貼近，最終導彈燃料比估算誤差為2.7 %。

盡管不簡化估算模型與飛行任務剖面仍有少許誤差，但相對于簡化末制導段，飛行任務剖面上更貼近飛行任務剖面，因此在估算精度上高于簡化末制導模型。改變對固定目標打擊的飛行任務剖面參數，通過對比是否簡化的質量估算模型的結果及其二者差值變化規律，來定量分析估算結果及偏差受飛行任務剖面參數變化的影響。

2.1.1 射程的變化影響

假設目標位于固定指定射程，高度10 km，末制導啟動距離80 km。是否簡化末制導段質量估算模型估算結果及差異隨射程變化的影響如圖5，6所示。

圖5 導彈質量估算結果隨導彈射程的變化曲線Fig.5 Curves of missile mass evaluation results changing with the range of missile

圖6 2模型估算差值隨導彈射程的變化曲線Fig.6 Curves of difference of results by two models changing with the range of missile

由圖5，6可以看出，導彈起飛質量及燃料質量的估算值皆隨射程的提高而提高，而使用簡化估算模型得到的質量較不簡化估算模型的差值在隨導彈射程上升而緩慢上升，在目標位置位于250～800 km之間，2種估算方法的起飛質量差值約10 kg。

2.1.2 巡航高度的變化影響

假設目標距離發射點300 km，高度10 km，考慮巡航高度分別為16，18及20 km，是否簡化末制導段質量估算模型估算結果及差異隨戰術導彈巡航高度的變化曲線如圖7，8所示。

圖7 導彈質量估算隨導彈巡航高度的變化曲線Fig.7 Curves of missile mass evaluation results changing with the cruise height of missile

圖8 2模型估算差值隨導彈巡航高度的變化曲線Fig.8 Curves of difference of results by two models changing with the cruise height of missile

由圖7，8可以看出，導彈起飛質量及燃料質量的估算值皆隨導彈巡航高度的提高而不斷提高，而簡化估算模型得到的估算質量較不簡化估算模型的差別也在隨導彈巡航高度上升而快速上升。

2.1.3 導彈末制導啟動距離的變化影響

假設目標距離發射點300 km，高度10 km，考慮末制導啟動距離為60，80，100及120 km的情況，是否簡化末制導段質量估算模型估算結果及差異隨戰術導彈末制導啟動距離的變化曲線如圖9，10所示。

圖9 導彈質量估算結果隨導彈末制 導啟動距離的變化曲線Fig.9 Curves of missile mass evaluation results changing with the distance of terminal guidance

圖10 2種模型估算差值隨導彈末制導 啟動距離的變化曲線Fig.10 Curves of difference of results by two models changing with the distance of terminal guidance

由圖9,10可以看出，導彈起飛質量及燃料質量的估算值皆隨導彈末制導啟動距離的提高而提高，而簡化估算模型得到的估算質量較不簡化估算模型的差別也在隨導彈末制導啟動距離上升而快速上升。

2.2 運動目標

本文中針對運動目標設計的仿真任務剖面設定為距離發射點300 km，高度10 km，在導彈發射時向反方向以400 m/s的速度進行逃逸的運動目標進行打擊。末制導啟動距離仍為距目標80 km處，巡航高度18 km。圖11為根據設計的飛行任務剖面模型建立的2種質量估算模型的彈道與飛行任務剖面對比圖。

圖11 簡化前后導彈質量估算模型與設計任務剖面對比Fig.11 Comparison of mass evaluation model (before and after the simplification) and flight mission profile

由圖11可以看出，由于目標在向導彈來襲反方向進行高速逃逸，此時導彈末制導段實際橫向距離約100 km，簡化估算模型與飛行任務剖面的差異較圖3中所示進一步擴大，同時如圖12a)所示，不簡化估算模型較對固定目標打擊在速度上與飛行任務剖面基本符合。這證明較簡化估算模型，不簡化估算模型更精確。

由圖12b)可得，簡化模型的導彈燃料比估算誤差為5.3%。而不簡化模型的導彈燃料比估算結果與基準彈道較為貼近，導彈燃料比估算誤差為2.2%。

圖12 2種導彈質量估算模型與飛行任務 仿真模型飛行參數對比Fig.12 Comparison of flight parameters of two mass evaluation models and flight mission profile

定量分析2種質量估算模型對目標逃逸速度變化而引起的導彈起飛質量估算差值變化趨勢，仿真結果如圖13，14所示。

由圖14可明顯可以看出，隨著目標速度的提高，簡化末制導與獨立考慮末制導質量估算模型的結果，對主級質量和起飛質量的估算差值迅速提高，在目標運動速度達到450 m/s時，燃料質量估算差值已經超過了23 kg，起飛質量估算差值達到約43 kg。 由于目前以沖壓發動機為動力的戰術導彈研究方向為射程更遠、巡航高度更高、末制導啟動距離越大[16-17]，考慮到上文關于射程，巡航高度及末制導啟動距離對估算差值的影響趨勢，預計對運動目標的估算差值將會繼續提高。由圖13c)可以看出，43 kg的起飛質量估算誤差可以導致超過近50 km飛行射程誤差，這是在初步設計中建立質量估算模型不能忽視的。

圖13 導彈質量估算結果目標逃逸速度的變化曲線Fig.13 Curves of missile mass evaluation results changing with the speed of targets

圖14 2種模型估算差值隨目標運動逃逸速度的變化曲線Fig.14 Curves of difference of results by two models changing with the speed of targets

引起該問題的原因是在不簡化末制導的模型中，導彈在比例導引法作用下飛行高度下降，速度下降，而簡化末制導段的模型忽略了該變化，由于沖壓動力導彈的質量變化與導彈飛行速度及高度有強耦合關系，因此簡化末制導模型的估算結果出現了較大偏差。

針對該問題，可以對簡化末制導段模型的的末段飛行速度進行二次修正，即

(10)

式中：η為導彈速度修正系數，根據大量數值仿真驗證，該參數取值應隨導彈射程、巡航高度、末制導啟動距離的提高而提高，取值可在0.6～0.9，本文取值0.9；v4為導彈勻速巡航段速度，此時，末制導段導彈燃料消耗質量比kp5可表示為

(11)

式中：Ma4,H4,af4及α4為導彈巡航段的馬赫數、高度、余氣系數及攻角；Lmo，tmo為末制導飛行距離與時間。經過二次修正后的簡化質量估算模型估算結果與不簡化末制導模型估算結果的差值隨目標逃逸速度的變化曲線如圖15所示。

圖15 修正后的簡化模型與不簡化模型估算差值隨 目標運動逃逸速度的變化曲線Fig.15 Curves of difference of results by modified simplified and not simplified models changing with the speed of targets

由圖15可以看出，經過修正的簡化模型與不簡化模型的誤差在目標運動速度為450 m/s時，燃料質量估算差值為7.56 kg，起飛質量估算差值為13.82 kg，較修正前降低70 %左右，相對于圖14改善效果明顯。但差值仍隨目標運動速度上升而上升，因此在考慮運動速度過高的目標，仍需調整修正系數或將末制導納入質量估算模型以保證估算結果的精度。

因此在設計較遠距離，較高巡航高度的飛行任務，末制導啟動距離大的導彈，或者導彈需要針對高運動速度的目標時，建立質量估算模型應參考目標運動能力，并將末制導段考慮進質量估算模型或采用二次修正的簡化質量估算模型。

3 結束語

本文建立了以沖壓發動機為動力的戰術導彈迭代質量估算模型，該模型可以實現對按指定飛行任務剖面飛行的戰術導彈的質量估算。該質量估算模型同時可應用于對沖壓動力導彈飛行任務參數優化設計。

同時，論證了對于較近射程的固定目標或低速目標在滿足誤差范圍允許下可以使用傳統的末制導簡化質量估算模型以縮短估算時間。但隨著射程、巡航高度、末制導啟動距離等指標的提高或考慮具有較大運動速度的飛行目標時，將導致末制導段實際飛行距離(時間)增大,進而導致簡化末制導的質量估算模型的估算誤差迅速增大。提出此情況下有必要將末制導段納入質量估算模型或對不考慮末制導段的模型進行二次修正，以提高估算精度。

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