理解運算五個要素，提高運算求解能力

許建

在高三數學復習中，提高運算求解能力非常重要，關鍵是要理解運算的以下五個基本要素.

一、運算的準確性

準確性是數學的重要特征.運算的準確性是對運算能力的基本要求，在運算求解過程中使用的概念要準確無誤，使用的公式要準確無誤，使用的法則要準確無誤，運算的結果要準確無誤.

在本題中，運算的目標是求離心率，運算程序是先求直線A₁B₂和B₁F的交點，再由中點公式得到M點的坐標，代入橢圓方程得到關于a，b，c的方程，化歸為關于離心率e的方程從而求出e的值.要求考生運算時每一步都必須準確無誤才能得到正確的結果，難度大，屬于難題.

二、運算的熟練性

運算的熟練性是對考生思維敏捷性的考查，運算速度的快慢與定理、公式、結論掌握的熟練程度直接相關，熟練掌握各種公式、定理以及常用的恒等變形，熟練掌握一些常用的運算方法，記憶一些必要的補充公式和結論，對提高運算熟練程度是有益的.

例2 已知等差數列{a_n}的前m項和為30，前2m項的和為100，則它的前3m項的和為________.

分析 已知條件中有等差數列和前n項和，聯想前n項和公式先求首項和公差，得到解法一.

解法一 由已知條件列出關于a₁和d的方程組：

如果同學們對數式的恒等變形比較熟練，則可用此法求出結果，但最一般的方法不一定是最優的方法.易知等差數列連續相等項的和所組成的數列仍然是等差數列，則運算量較小.

解法二 設前m項的和為S₁，中間m項的和為S₂，后m項的和為S₃.

三、運算的合理性

運算的合理性是運算能力的核心，一般一個較復雜的運算，往往是由多個較簡單的運算組合而成的，如何合理確定運算目標、設計運算程序、選擇運算途徑，并將各部分有機地聯系在一起？這是運算合理性的主要標志.

1.運算的合理性表現在運算要符合算理，算理即理由、道理、依據，運算過程中的每一步變形都要有依據，或依據概念，或依據運算法則和運算律，或依據公式，可以說運算的每一步變形都是演繹法的體現，都必須步步有理，高考對算理的考查是通過變形過程中的正誤來體現的.

2.運算的合理性表現在運算目標的確定，難度較大的試題，其運算目標通常比較復雜，需要經過多步運算才能達到最后結果，有時運算的目標模糊不能確定.

3.運算的合理性還表現在運算途徑的選擇，合理選擇運算途徑不僅是運算迅速的需要，也是運算準確性的保證，是提高運算能力的關鍵，運算步驟越多、越繁瑣、越容易出錯.必須靈活運用公式、法則和有關的運算律，掌握同一個問題的多種運算方法和途徑，并善于通過觀察、分析、比較，做出合理的選擇.

運算求解的程序即算法、步驟，復雜的運算必須按照一定的算法實施，如解方程、解不等式就有比較明確規范的步驟，利用解析法解決幾何問題也有清晰的步驟，如建系、設點，把幾何問題轉化為代數問題、求解代數問題、回到幾何問題驗證等步驟.

四、運算的簡捷性

運算的簡捷是指運算過程中所選擇的運算路徑短、運算步驟少、運算時間省，運算的簡捷是運算合理性的標志，是運算速度的要求.運算的簡捷主要體現在概念的靈活運用，公式的恰當選擇，數學思想方法的合理使用.

此題的一般運算思路容易想到，但運算繁瑣，如先求出圓的切線EF的方程，再與雙曲線方程聯立，解出P點坐標.再由OF=OP可建立關于a，b，c的方程，消去b，求得離心率e.

五、運算的規范性

在運算求解過程中，通過認真審題，確定解題目標，尋找解題方向，選擇運算途徑，最后解決問題，但如何正確呈現運算求解過程，就需要規范的表述.要求不跳步、不啰嗦、不混亂，步步有理.

以上運算中，公式的運用、三角函數符號的確定，書寫時都要有理有據，規范有序.

理解了運算能力的核心要素，同學們在高三數學復習中要靈活運用，并不斷體悟總結，這樣就能迅速提高運算求解能力，并掌握應試技巧.endprint