合理假設(shè)參數(shù)，提高運(yùn)算速度

郭煒

在解決解析幾何相關(guān)問(wèn)題時(shí)常常需要合理引入?yún)?shù)，以便迅速發(fā)現(xiàn)解題思路，減少運(yùn)算量，提高解題速度.常見(jiàn)的設(shè)參方式有：①點(diǎn)參數(shù)；②斜率參數(shù)；③角參數(shù)；④線參數(shù)；⑤截距參數(shù)等.請(qǐng)看以下三個(gè)例子.

一、熟練運(yùn)用“斜率參數(shù)”

將直線MN的方程與橢圓方程聯(lián)立，得到方程組，用韋達(dá)定理可以得出x₁+x₂，x₁x₂的值，從而找到k，b的關(guān)系，消元后可簡(jiǎn)化直線MN的方程，進(jìn)一步探究直線MN是否過(guò)定點(diǎn).可得到解法二.

解題反思 解法一使用“斜率參數(shù)”，參數(shù)只有1個(gè)，雖有較大的運(yùn)算量，但思路清晰，應(yīng)該很有信心做下去，而且通過(guò)直線MN垂直于x軸這一特殊位置，很容易猜想出該定點(diǎn)坐標(biāo)，把探究題化歸為證明題，可以進(jìn)一步降低運(yùn)算量.解法二使用“點(diǎn)參數(shù)”，參數(shù)量較多，思維量也較大，需要具備較強(qiáng)的綜合分析問(wèn)題的能力，運(yùn)算量也較大，對(duì)于算理的要求也比較高.

二、合理運(yùn)用“點(diǎn)參數(shù)”

分析1 將四邊形的面積分割成兩個(gè)三角形△AEF和△BEF.這種分割需要以EF為底，以A，B到EF的距離為高，表示三角形面積，這就要知道直線EF的方程，可以考慮“斜率參數(shù)”.

簡(jiǎn)解 假設(shè)直線EF的斜率為k，則k>0，直線EF的方程為y=kx（k>0），先求EF的長(zhǎng)，再求A，B兩點(diǎn)到直線EF的距離.

分析2 如果把四邊形分割成△AEB和△AFB，因?yàn)橐阎c(diǎn)A，B的坐標(biāo)，易得AB長(zhǎng)度和直線AB的方程，要得到E，F(xiàn)到AB的高，可以用“點(diǎn)參數(shù)”設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo).

解題反思 通過(guò)解答過(guò)程可發(fā)現(xiàn)本題利用“點(diǎn)參數(shù)”表示三角形面積比用“斜率參數(shù)”表示面積更方便，用“點(diǎn)參數(shù)”把面積表示出來(lái)后出現(xiàn)了關(guān)于x₀，y₀二元一次式子的最值問(wèn)題，再用“角參數(shù)”表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題，則可進(jìn)一步簡(jiǎn)化計(jì)算.遇到與面積相關(guān)的問(wèn)題，通過(guò)分割后，三角形的底和高有時(shí)可用坐標(biāo)表示，比較簡(jiǎn)單，所以一般用“點(diǎn)參數(shù)”比用“斜率參數(shù)”更容易表示出面積.

三、靈活運(yùn)用“線參數(shù)”

例3 如圖3，某工業(yè)園區(qū)是半徑為10km的圓形區(qū)域，離園區(qū)中心O點(diǎn)5km處有一中轉(zhuǎn)站P，現(xiàn)準(zhǔn)備在園區(qū)內(nèi)修建一條筆直公路AB經(jīng)過(guò)中轉(zhuǎn)站.為方便交通，準(zhǔn)備過(guò)中轉(zhuǎn)站P在園區(qū)內(nèi)再修建一條與AB垂直的筆直公路CD，求兩條公路長(zhǎng)度和的最小值.

分析 本題即求過(guò)點(diǎn)P的兩條動(dòng)弦AB，CD之和的最小值，圓的半徑是定值，弦長(zhǎng)的變化是由圓心O到弦AB，CD的距離d₁，d₂決定的，而d₁，d₂之間滿(mǎn)足 + =25，建模后通過(guò)“消元”可化歸為函數(shù)的最值問(wèn)題.

所以?xún)蓷l公路長(zhǎng)度和的最小值是（20+10 ）km.

解題反思 一些同學(xué)在解決此問(wèn)題時(shí)以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)P為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，然后選擇以直線AB的斜率k為參數(shù)（需對(duì)斜率不存在的情況進(jìn)行討論），用弦長(zhǎng)公式分別表示出AB，CD的長(zhǎng)度，從而AB+CD的長(zhǎng)度就化歸為關(guān)于斜率k的雙根式函數(shù)問(wèn)題.由于目標(biāo)函數(shù)比較復(fù)雜，只有個(gè)別同學(xué)能夠通過(guò)平方、換元得出最終答案.通過(guò)本例可發(fā)現(xiàn)在圓中經(jīng)常選擇弦心距為參數(shù)建模.一般地，當(dāng)變化是由某線段引起的，經(jīng)常選擇線段長(zhǎng)為參數(shù)，即“線參數(shù)”.

通過(guò)對(duì)以上三個(gè)問(wèn)題的研究，我們發(fā)現(xiàn)，合理選取參數(shù)，對(duì)提高解析幾何題的運(yùn)算速度至關(guān)重要.同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)中要注意比較，注重積累，不斷優(yōu)化.endprint