例談通法之外的第二手段

李宏銘

解題方法的主體無疑是通性通法，但是你遇到的問題可能并不都是“標準化的”.當通性通法受阻之時，你肯定渴望一種別開生面的方法出現，達到石破天驚的效果，而這樣的方法往往真的存在，這就是本文要介紹的第二手段.

一、基本不等式求最值時的“非標準”問題

用基本不等式求二元變量的最大（小）值時，如果是標準的“一正二定三相等”問題，自然毫無困難.但是如果條件不具備，比如不是正數、沒有定值或者等號不能成立等，怎么辦呢？轉化為正數、湊出定值是容易想到的.但是化為一元函數是更重要的第二思路.

二、基本量不能全部求出的問題

數學中有一個普遍的策略就是基本量，即把問題基本要素都確定下來，從而使所有的量都變得可解.比如等差（比）數列中的a₁和d（q）、橢圓中的a，b，c等都是基本量，常規思路就是列出方程組求出這些值.但有時這個目標不能或很難實現，便需要第二或第三手段了，比如找到基本量之間的關系式、設而不求、利用性質或線性規劃等等.

說明 例2中的相互制約條件不足以將a₁，d求出，a₁，d不是兩個獨立的變量，于是看作線性規劃問題或整體利用不等式性質.例3中的限制條件為非線性的，不能運用線性規劃來處理，但是條件為關于a₁，q的不等關系，因此利用等比數列的性質處理.

三、目標函數不容易構造的問題

在動態的過程中求某個量的范圍，一般是構造目標函數轉化為值域問題.但是有時候目標函數難以構造或者雖能構造卻難以求解，特別是有兩個或兩個以上自由量的問題，就更難以處理.這時可以借助于圖形，或者把動點化歸到定點上，減少變量的數目.

解析 本題P，A，B三個均為動點，若運用向量的坐標運算及模的計算公式，將模表示為函數，運算量較大，而且其中有3個自由變量，超出我們的應對能力.但考慮到C₁，C₂是定點，從幾何意義出發則很容易“看出”結果來.

說明 本題也可以求出兩直線交點，再將PA·PB表示為f（m）的表達式求解，但運算量太大.

數學解題離不開化歸，能化歸為標準問題固然好，不能的話也應該化歸到自己所熟悉的問題上去.顯然，你所“熟悉”的問題或方法越多，就處于越有利的地位，這就是我們講究第二手段甚至第三手段的初衷.endprint