老師，這道題的數學模型是什么

王思儉

考試結束了，學生涌出考場，邊走邊議論，“今天的應用題，我沒有想到它是什么模型”“我又沒有理解題意，不知道如何建立數學模型”“題目中的參量較多，不知道選擇哪一個作為自變量”“應用題的數學模型究竟有哪些，我背了前幾年的數學模型，但一到考場里就全忘記了，不知道怎樣尋找幾個量之間的聯系”……我為此邀請幾位學生針對數學應用題的建模問題進行交流，旨在通過對幾道應用題的分析，引導學生尋找變量與變量、變量與參量的內在聯系，掌握建立數學模型的基本思路.

生甲：如圖1，某海島觀察哨A測得在海島北偏東60°的C處有一輪船，80min后測得船在海島北偏西60°的B處，又過20min輪船到達位于海島正西方且距離海島5km的E港口.如果輪船始終做勻速直線運動，求輪船的速度.

我沒有讀懂題意，這題的數學模型是什么？我建立直角坐標系求解，運算量較大，過程太繁瑣，沒有成功！

師：首先要弄清楚本題有哪些條件，結論要求什么？條件有4個，結論是計算輪船的速度，我們只要計算BE或BC的長.你們知道線段BC與BE所用的時間之比是多少嗎？

眾生：4∶1.

師：于是問題可以轉化為我們要求的線段長度之比是多少？

眾生：也是4∶1.

師：你們再閱讀題目，找一找還有哪些已知條件？

師：很好！本題是以解三角形為背景的應用題，數學模型就是路程與速度的模型.從解題過程來看，關鍵是要找出或設出角度，實質是解斜三角形，將問題涉及的有關量集中在某一個或者幾個三角形中，靈活地運用正弦定理、余弦定理來加以解決.

（1）求該游戲參與者從浮橋A端跑到B端所需的時間.

（2）問該游戲參與者能否在這個游戲中過關？請說明理由.

師：你們閱讀理解這句話：“若該參與者通過浮橋AB的過程中，從點O處發出的水波圈始終沒能到達此人跑動時的位置，則認定該參與者在這個游戲中過關；否則，認定在這個游戲中不過關.”領會它的含義是什么？能否提供建立數學模型的相關信息？

師：本題的第（2）小題數學模型是三次函數模型，通過點在直線上建立函數關系式，將解三角形、直線方程、兩點間距離公式、導數等相關知識整合在一起，然后再利用導數求解，最后再回到實際問題中來.

（2）設小船速度為10km/h，請你替該游客設計小船行駛的方位角α，當角α余弦值的大小是多少時，游客甲能按計劃以最短時間到達Q.

第（1）小題的數學模型是方程類的問題，解直角三角形，建立方程；第（2）小題是三角函數模型.但由于我沒能正確理解方位角，導致建模錯誤，因此本題沒有得分.

師：解數學應用題首先是對相關概念、信息要理清楚，如方位角的概念，它是指從指北方向順時針轉到目標方向線的角；其次正確選擇數學模型，如本題是屬于追及類問題（方程、函數），要抓住同時到達；再次選擇合理的運算方法進行求解；最后回到實際問題中去.

師：你們在讀題時要標注出關鍵語句，并注在圖形上，重要的數據要提煉到草稿本上，引起注意.

師：正確！本題的數學模型并不是很復雜，但關鍵是挖掘題目中的隱含條件，收集題目中的相關數據并認真分析，當遇到困難時，再讀題，再思考還有哪個條件或數據沒有用上.

解應用題的關鍵就是提出問題，收集數據，整理分析數據，建立模型，分析求解，回歸檢驗.正弦定理、余弦定理在測量（角度、距離）、合理下料、設計規劃等方面有著廣泛應用.從以上3題的分析過程我們可以獲得求解應用題的基本策略：

（1）弄清題意是前提.通過閱讀，知道講的是什么，訓練自己獨立獲取知識的能力.

（2）建立模型是關鍵.需要把實際問題的文字語言轉化為數學的符號語言，用數學式子表達數學關系.在構建數學模型的過程中，要有對數學知識檢索的能力，認定或構建相應的數學模型，完成由實際問題向數學問題的轉化.

（3）正確解模是目標.建立了數學模型后，要正確解出數學問題的答案，并加以檢驗，需要扎實的基礎知識和較強的數理能力.

（4）提高能力是根本.正確快捷地求解應用題需要提高各種綜合能力.endprint