淺談數學思想在高等數學中的應用

張卿

摘 要：數學在社會、經濟、生活中的應用越來越廣。數學對人的理性思維和智力的發展起著舉足輕重的作用，而數學思想是數學知識的精髓，也是知識轉化為能力的橋梁，因此，高等數學教育不僅要重視知識的傳播，更要注重數學思想、方法的介紹，在教學中讓學生感悟數學思想，提高學生的數學素養。

關鍵詞：數學思想 高等數學 應用

中圖分類號：O13 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2018）12（b）-0-02

1 問題的提出

隨著高校連續擴招，高等教育從精英型向大眾化轉變，在我們的數學教學中聽到學生說到最多的一句話是：“學數學到底有什么用”？的確，大學數學內容大部分還是18、19世紀的數學，課程內容強調數學知識的連續性和嚴密的邏輯推理，但形式化和嚴格化的知識體系不是我們要教給學生的最本質的東西，最本質的應該是數學的思想，使學生獲得適應未來社會生活和進一步發展所必須的數學知識、數學經驗活動和應用技能。著名數學教育家、學者米山國藏曾說：“不論是科學專家、技術人員還是從事數學教學的教師，數學最高的追求是數學的精神、思想和方法，而數學知識只是次要的”[1]。因此，高等數學教學中既要重視知識的傳授，更要重視數學思想的滲透。

2 數學思想的內涵

邵光華教授認為：“從數學教育方面來講，數學思想應被理解為更高層次的理性認識，那就是對于數學內容和方法的本質認識，是對數學內容和方法進一步的抽象和概括”[2]。而所謂數學思想，就是對數學知識的本質的認識，是從某些具體的數學內容和對數學的認識過程中提煉上升的數學觀點，它在認識活動中被反復運用，帶有普遍的指導意義，是建立數學和用數學解決問題的指導思想，換言之，數學思想是人們認識、理解、掌握數學的意識，它主要包括函數思想、數形結合思想、分類與分步思想、歸納類比思想、轉化歸納思想、概率統計思想等數學思想。這些思想在高等數學中有著廣泛的應用，它們的應用體現了數學的探索精神和唯物辯證、創新進取精神。

3 數學思想在高等數學教學中的應用

3.1 注重類比思想的運用，讓學生掌握知識間的聯系

類比思想是根據兩個或兩類對象之間在某些方面的相似或相同，推知它們在其他方面也可能相似或相同的一種思想方法[3]。它為人們的思維過程提供了廣闊的天地，是一種常見的數學思想。比如高等數學研究的主要內容是微積分，主要是一元微積分與多元微積分，相對于一元函數微積分，多元微積分的內容有與之相似之處，因此，授課中注意復習已學知識，多使用類比的數學思想，降低難度。比如講到鄰域、多元函數的概念、多元函數的極限、連續、偏導、積分等概念時，形式上與一元相似，因此授課過程先復習一元的相關知識，通過類比得到多元函數的相關概念，這樣既復習了已學知識，又便于掌握新知識，會收到事半功倍的效果。由于多元函數是一元函數的推廣和發展，又會多出一些新的問題，內容上更為抽象和復雜，授課中多對比，復習一元函數在一點連續、可導、可微的關系，再類比多元函數在一點連續、可導（偏導存在）、可微的關系，通過類比發現它們的相似與不同，從而更好的掌握所學知識。

3.2 注重數形結合思想的運用，使知識化難為易

數學研究總是圍繞著數與形來進行的。數（代數）”與“形（幾何）”是數學的兩個主要研究對象。所謂數形結合思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，其關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化。在數學題目中，為了將問題簡單化，經常將數學圖形與數量關系相互轉化。積分學是高等數學的一個重要內容之一，涉及到定積分，重積分、線積分、面積分，利用對稱性來計算這些積分是一種常用的方法，能大大簡化計算，而這里的對稱性就是利用其幾何意義結合積分區間（區域）的對稱性及被積函數的奇偶性得到的，利用好這點對大大簡化某些積分的計算，更好地掌握積分的知識。比如計算定積分一般情況下通過三角代換求得，比較麻煩，但借助幾何意義可知它表示半徑為的1/4圓的面積，這樣容易求出。再有求拋物線與直線所圍平面圖形的面積，解這種問題關鍵畫出所圍平面圖形，因此首先解得它們的交點，再畫出圖形，轉化為定積分求解。這種結合交點畫出圖形正體現的數形結合思想，可見運用好數形結合思想，可以大大提升解題速度，開闊解題思路，培養學生的發散思維。

3.3 注重辨證思想的運用，培養學生辯證唯物主義的世界觀

高等數學蘊涵著極其豐富的辨證思想，主要體現在宏觀與微觀、有限與無限、變與不變等。因此在教學中，教師若注重辨證思想的運用，處理好教學中各種矛盾之間的辨證關系，不僅有利于培養學生的辨證思維能力，更重要的是有助于學生形成良好的思維品質和科學的世界觀。比如：無窮級數在收斂的情況下其和為有限值，曲邊梯形的面積通過以“直”代“曲”求得，變速直線運動的路程通過以“不變”代“變”求出等，高等數學中這樣的例子比比皆是，體現了有限與無限、直與曲，不變與變等辯證思想。因此，在高等數學教學過程中，注意以辨證法為指導思想，正確處理好教學中各種矛盾之間的辨證關系，從而使學生更好地理解、掌握所學知識，使學生的辨證思維能力得到訓練，提升教學效果。

3.4 注重概率思想的運用，開闊解題思路

概率思想也是一種重要的數學思想，所謂概率思想就是將所研究的問題轉化為用概率的知識解決問題的一種思想方法。有些高等數學的問題直接用高等數學的計算方法很難解決，即便能夠計算出結果，步驟也相當繁瑣，但是如果應用概率思想往往使復雜的問題變得迎刃而解。

比如計算廣義積分如果按高等數學的方法求原函數的增量的極限很難湊效，但我們知道被積函數

乘以就為隨機變量正態分布的概率密度函數，這樣

就可以由密度函數的規范性容易求解，正

所謂山重水復，柳暗花明。可見，適時滲透概率思想，既開闊了解題思路又提高我們的思維品質、激發學生學習的積極性。

3.5 注重極限思想的運用，將復雜的問題簡單化

極限是研究高等數學的一種重要方法，貫穿高等數學知識體系的始終，也可以說“高等數學就是用極限思想來研究函數的一門學科”。因此，極限思想在高等數學中處處可見。所謂極限思想是指用極限概念分析問題和解決問題的一種重要思想。高等數學中從數列極限定義的引入——劉徽的割圓術，到導數的定義、定積分的定義，級數的收斂問題、線面積分、重積分等等無一不留下極限思想的影子，利用極限將看似無法解決的問題轉化為能解決的問題。

除了以上談到數學思想外，建模思想，化歸思想等也是高等數學中重要的數學思想。因此，在高等數學教學過程中要結合教學內容引導學生感悟數學思想，使其在日后的深入學習及實際解題過程當中能夠潛移默化地運用數學思想方法，養成良好的數學思維方式，提高學生的綜合素養。

參考文獻

[1] （白）米山國藏，著.數學的精神、思想和方法[M].毛正中，美素華，譯.成都：四川教育出版社，1986：27.

[2] 邵光華.作為教育任務的數學思想與方法[M].上海：上海教育出版社，2009：138-139.

[3] 張友梅.類比思想在高等數學教學中的應用[J].開封教育學院學報，2014（4）：124-125.