由空間向量法解立體幾何到其在計算機程序實現的思考

陳卓

摘要：文章結合立體幾何答題經驗闡述了空間向量法解題的基本過程和技巧，并對立體幾何兩種解題方法的對比，簡述了各自有各自的優缺點，最后通過將問題的深入拓展，思考圖形等在計算機程序的實現過程，發現空間向量能為計算機表示立體圖形帶來極大的便利，是圖形在計算機表示的基礎。

關鍵詞：空間向量；立體幾何；計算機程序

1.引言

高中立體幾何題目的解答通常有兩種思路，一種是通過經典的幾何關系法作答，另外一種是通過建立空間三維直角坐標進行答題，也就是通常所說的空間向量法解題，當一旦掌握空間向量法解立體幾何，發現可以帶來很大的簡便性。但有時也會碰到一些問題，如短時間內難以建立合適的空間直角坐標系，這時解題思路又不得不采用傳統的幾何關系法。可見立體幾何的這兩種方法是相輔相成的，傳統幾何關系解題是立體幾何的基礎和關鍵，空間向量法是對傳統幾何方法的擴充，給解題的快速性和準確性提供保障，當然采用空間向量解題也有更多的實際意義。

因此，本文主要從高中立體幾何的傳統幾何關系和空間向量法解題思路出發，通過分析空間向量解題的一般思路和步驟，總結空間向量法解立體幾何的優勢，更深一步通過查找資料，總結分析發現計算機圖形處理程序基本也都是基于坐標描述實現的。最后，以此課題論文的分析入手，拓展自己對計算機程序方面的認知學習。

2.空間向量法解立體幾何經驗分享

空間向量法解題的可行性，相信大家在解題過程中肯定有所體會，下面以本人的一些解題經驗對空間向量法解題過程進行必要的闡述和分享。

首先，對于規則圖形，如正方體、長方體、圓錐、球體等基本可以實現直角坐標系的建立，另外遇到幾何體內有三線兩兩垂直，那也可以建立空間直角坐標系，如只有兩線垂直，則需要通過幾何關系查找是否存在第三條直線（此時可能需要另作輔助線）垂直于兩垂線所在的平面來拓展建立空間直角坐標系的可能，在建立空間直角坐標系的時候，盡量讓圖形對稱，難以對稱的盡量讓幾何體位移三維坐標的第一象限，也就是o-xyz都是正方向的象限，這樣各個定點坐標值都是正的，降低計算錯誤的可能性。

其次，一旦建立空間直角坐標系后，接下來需要通過幾何關系寫出各點的三維坐標值，遇到不確定的可以先不寫或者通過設未知數來相應定點的三維坐標，并根據題目計算一些關鍵直線的方向向量，和一些面的法向量。

最后，結合題目要求證明相應的關系或者進行求解，除了上述經驗外，還有兩點經驗分享，在求解線的方向向量或者是面的法向量時，當出現分數或小數，要乘以公因子使得向量各項均為整數，這其實并沒有改變向量方向性，僅僅是改變了向量的長度或者說向量的模，這為后續計算大大降低復雜度，因為在向量計算和關系計算時往往是計算向量與向量的關系，很少涉及模的計算；另外一個經驗就是如果題目需要計算點到面的距離時，一般在幾何關系里面，都是通過做高或者通過等體積法求解，但是當建立了空間直角坐標系后，這時可以借鑒解析幾何中點到直線的距離公式來拓展點到面的距離，這時平面方程可以用待定系數法進行計算，即設Ax+By+Cz+D=0，三點確定一個面，將面的三個點代入面的方程，計算A、B、C、D的關系幾何得到面的方程，然后利用平面外某點，設為（x0，y0，z0）到平面的距離可以用

來進行求解，該式子就是簡單地把點到直線的距離進行了擴展，很容易記住且經常便于使用。

3.空間向量法解立體幾何的特點分析

在解立體幾何時對作的輔助線一定要證明，而且很多復雜的邏輯用于總是難以表述，甚至有些立體感不好的總感覺力不從心。而通過采用空間向量來證明線線垂直平行、線面垂直平行、以及求解復雜度更難的線面夾角和二面角問題時，可以避開傳統的幾何法，即通常所謂的“一作、二證明、三應用”的邏輯思路。而通過建立空間直角坐標系用空間向量法解題，就相當于用向量描述立體幾何中的點、線、面及內部復雜的幾何關系，通過對向量的平行垂直條件關系可以將復雜的立體幾何問題轉化為簡單的數學運算，正如2所說的，這不僅可以提高解題的快速性，尤其是很多幾何關系在短時間內的確難以獲得，還可以提高答題的準確性，這主要基于向量運算的簡便性以及內部幾何關系數學化后的計算簡化。

但經常過渡依賴采用空間向量法解立體幾何問題后，發現傳統幾何法能解決問題的能力逐漸消失，老師也對引入向量方法求解立體幾何問題產生了一些擔憂，他們普遍認為這會削弱通過立體幾何內容來對學生空間想象能力的培養，其理由是空間向量法相比于傳統幾何法解題，向量法更多的是體現邏輯關系和算法及步驟的實施，更多的缺乏了對立體幾何中點、線、面關系的思考、想象與分析，對學生進入大學學習有關專業是不利的，如難以適應建筑、機械等對空間想象力要求較高的專業。同樣對于我們學生來說，從得分角度看，雖然空間向量方法解題可以帶來快速性和準確性，但是前提是要能快速建立空間直角坐標系，如果不能短時間建立坐標系，而且這時又對幾何方法不熟悉或者淡忘的情況下，也許就難以解答立體幾何題目，從空間想象能力方面看，過渡依賴空間向量法解題，正如老師們所擔憂的一樣，難以建立空間思維，這種同學相互交流及個人反思后也有體會，當采用空間向量法解立即幾何后，解答完后感覺自己貌似不是做立體幾何題目一樣，而是進行一些簡單的邏輯關系，只是按照一定程序步驟機械執行。

反過來思考，任何事務都有兩面性，采用傳統幾何方法接立體幾何有助于空間想象能力的培養和空間思維的建立，而采用空間向量法解立體幾何雖然邏輯關系簡單、計算步驟程序化，但是結合對計算機程序的了解，感覺空間向量法的解題思維特別適合計算機程序的實現。

4.空間向量在計算機程序中的表示思考

正如3的分析，采用空間向量法解立體幾何時，解題的思維邏輯關系簡單且計算過程相對程序化，反思過來，正是該方法的簡單，正是基于此特點便可以通過計算機來實現。通過對相關資料的查閱發現，如筆記本自帶的畫圖軟件，還有工程上使用的CAD軟件等在作圖的時候鼠標上顯示的就是對應坐標，更近一步發現，計算機中在實際的圖形運用上，原始圖形采用的都是坐標系，當然常用坐標系有高中階段掌握了的平面直角坐標系、三維直角坐標系和極坐標系，也有還沒有接觸過的球坐標系和圓柱坐標系。就空間直角坐標分析，對于空間的點只要用一個坐標三個值來表示，空間上的線只要用一個向量三個值表示，空間上的面也是只要2所述的A、B、C、D四個值來表示，可見這非常適合計算機程序的編寫與實現，而如果采用傳統的幾何關系描述，在目前的計算機及程序上恐怕難以實現。

5.結論

無論采用傳統幾何方法還是采用空間向量法解立體幾何題目，均有各自的特點，但是個人還是認為兩者都要學習了解，而且兩種方法都要掌握扎實，尤其是傳統幾何法思路，其畢竟是立體幾何點、線、面關系的基礎，學習過程中也要結合各自的優勢來進行靈活運用。最后，本人通過咨詢、查找資料分析，將向量法解立體幾何問題拓展到計算機程序的實現問題，認為高中階段學習掌握向量法解立體幾何題目有一定的必要性和學習意義，除了能帶來答題的快速性和準確性之外，也有助于計算機解決問題思路的理解，以及為今后進一步學習計算機等信息類專業奠定一些基礎。

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