淺析高中非空真子集與真子集的關(guān)系

李延洲

摘要：步入高中以來，我們最先接觸到的數(shù)學(xué)知識(shí)就是集合知識(shí)，集合是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)比較重要的概念，也是一個(gè)比較基礎(chǔ)性的概念，它和課本后面的許多內(nèi)容息息相關(guān)，因此將集合作為高中數(shù)學(xué)的入門知識(shí)。我們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到的各種對(duì)象都可以抽象看作集合中的元素或集合本身，通過學(xué)習(xí)集合的相關(guān)知識(shí)，能夠把以往學(xué)過的其他數(shù)學(xué)概念關(guān)聯(lián)到一起，形成一個(gè)結(jié)構(gòu)明了的網(wǎng)狀知識(shí)體系。我們?cè)趯W(xué)習(xí)集合過程中對(duì)非空真子集與真子集的關(guān)系產(chǎn)生了濃厚的興趣，通過查閱相關(guān)資料以及對(duì)高中數(shù)學(xué)課本的熟練掌握，我們對(duì)非空真子集與真子集的相關(guān)概念及它們之間的關(guān)系進(jìn)行了探究，從而加深對(duì)集合相關(guān)知識(shí)的了解，為高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：高中生；集合；非空真子集；真子集

集合是高中數(shù)學(xué)中接觸最早也是最為重要的一部分，總的來說，集合相關(guān)知識(shí)學(xué)起來相對(duì)簡單一點(diǎn)，對(duì)于我們來說，集合這部分知識(shí)雖然簡單但也要熟練的掌握，這樣才能為后續(xù)的其他數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)做鋪墊。集合知識(shí)不僅能夠鍛煉我們嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維，還能夠提高我們分析問題解決問題的能力。同時(shí)，集合知識(shí)還能夠幫助我們對(duì)學(xué)過的數(shù)學(xué)概念進(jìn)行歸納總結(jié)，將一些瑣碎的知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來，加深我們對(duì)知識(shí)點(diǎn)的記憶，在解題方面給我們帶來了很大的幫助。在解題過程中，我們要將集合知識(shí)與其他知識(shí)融匯貫通，做到舉一反三。由于集合知識(shí)概念繁多，且各個(gè)概念之間關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，所以對(duì)于我們這些初學(xué)者來說會(huì)有一些不適應(yīng)的感覺，我們希望對(duì)集合知識(shí)中非空真子集與真子集之間關(guān)系的研究能夠?yàn)槲覀兊膶W(xué)習(xí)帶來一些幫助。

一、非空真子集與真子集的概念

以我們高中講義內(nèi)容為例，有M和N兩個(gè)集合，若集合N中涵蓋集合M中任意一個(gè)元素，那么集合M就屬于集合N，也就稱之為集合N的子集。在這樣的前提下，如果存在元素χ∈N，且χM，那么這里所說的集合M就是集合N的真子集。這就是我們要說的真子集的定義，而通過學(xué)習(xí)我們知道，空集是任何集合的子集，那么非空真子集也就是非空集的真子集。在這章內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，我有過一些疑問，既然空集已經(jīng)是任何集合的子集了，那空集是不是也就是任何集合的真子集呢？通過深入學(xué)習(xí)我了解到，一個(gè)集合的真子集不包括這個(gè)集合本身，這就間接說明空集是任何集合的真子集。接下來我用一個(gè)例子進(jìn)行說明，集合{a，b，c，d}的子集包括空集，由于空集中不包含任何元素，所以空集和集合{a，b，c，d}本身不同，所以空集稱得上是{a，b，c，d}的真子集。再舉一個(gè)詳細(xì)一點(diǎn)的例子：集合M={a，b}，集合N={b，c}，集合X=空集，集合Y={a，b，c，d，e，f}，我們可以直接得到M和N是Y的真子集，而且M和N都有元素存在，也就是說M和N都是Y的非空真子集，集合Y的真子集雖然包括集合X，但是集合X是空集這一事實(shí)并不能改變，所以集合X只是集合Y的真子集而不是非空真子集。雖然非空真子集與真子集的概念不容易區(qū)分，但只要認(rèn)真梳理還是有跡可循的。

二、非空真子集與真子集之間的關(guān)系

在掌握了非空真子集與真子集各自的概念之后，我開始對(duì)兩者之間存在的關(guān)系進(jìn)行探究，我發(fā)現(xiàn)，一個(gè)集合的非空真子集也就是這個(gè)集合真子集的非空子集，這說明真子集和非空真子集之間存在著密切聯(lián)系。確切的說，真子集之中包含著非空真子集，在解題過程中，我們往往需要將題中已知條件和課本上的概念相結(jié)合，從而摸索出解題思路，這就意味著這些包含與被包含的關(guān)系需要我們理清。在非空真子集與真子集之間，有一個(gè)不容忽視的概念即空集，我記得在上課過程中，老師講了這樣一道有關(guān)空集的問題，已知集合A={a|a2+（q+2）a+1=0，q∈R}，集合B={a|a>0}，若集合A與集合B的交集為空集，求實(shí)數(shù)q的取值范圍。解題時(shí)，老師告訴我們要把交集為空集當(dāng)做切入點(diǎn)，如果兩個(gè)集合相交為空集，那么可能有三種情形，其一是集合A本身就是一個(gè)空集，這種情況下a就是一個(gè)不存在的數(shù)，也就是說a2+（q+2）a+1=0無解，那么此時(shí)就可以求出q的取值范圍；其二是集合A中只包含一個(gè)元素的情況，也就是方程a2+（q+2）a+1=0有且只有一個(gè)解的情況；其三是集合A 中有兩個(gè)小于等于0的元素，通過對(duì)三種情況得出的q的范圍進(jìn)行綜合，我們得出實(shí)數(shù)q的取值范圍是q>-4。通過這道題我們可以看出，空集在解題過程中有可能起到?jīng)Q定性作用，而非空真子集和真子集雖然只是集合知識(shí)中的兩個(gè)小概念，但是其重要性也不容忽視，所以我們要熟練掌握每一個(gè)概念。

結(jié)語：

高中數(shù)學(xué)一直是我們高中學(xué)習(xí)中的大問題，在進(jìn)入高中以后，由于課程的增多以及難度的增大，使我們?cè)诟骺频膶W(xué)習(xí)過程中都存在力不從心的感覺。在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，我緊緊跟隨老師的步伐，逐漸從高中數(shù)學(xué)中體會(huì)出不一樣的樂趣，通過課上的學(xué)習(xí)以及課后查閱資料，我對(duì)非空真子集和真子集的關(guān)系進(jìn)行了探討，希望能夠更加牢固的掌握集合知識(shí)，從而為今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

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