原汁數學：讓思考真正發生

涂玉霞

作為教育工作者，我們時常聽到不少學生在訴苦：數學太難，數學太枯燥，數學太無聊……他們對數學的抱怨、害怕甚至恐懼中外皆然，這幾乎是一個世界性難題。美國數學教授阿瑟·本杰明甚至把“消除數學恐懼癥”，作為自己的一個重要研究課題。

那這一癥結在哪里？長期的一線教學實踐讓我發現，原來是一些教師把數學課上成了“刷題課”“灌溉課”“記憶課”：這個題這樣解，那個題做的時候分這樣幾步，這道題直接用公式……這不是要把天真活潑的學生當成技工、程序員乃至大容器嗎？他們哪來的真正思考？

每門學科都有自己的獨門絕技。學科教師只有掌握了它，才能讓學科的育人價值閃閃發光。比如，體育課用來強健體魄，語文課用來厚積薄發，音樂課用來載歌載舞，而數學課則是用來發展思維，故：不思維，無數學。

原汁數學的教育理念，就是要讓學生學真數學，做真思考。那什么樣的數學課才能成為原汁原味的數學課呢？要在三“找”中凸顯三“原”。

一、找“勾子”，凸顯數學原型：生活、經驗

這個“勾子”是什么意思？就是知識與生活、理性與經驗、舊知與新知、理論與實踐等的聯結。通過聯結，讓死的知識鮮活起來，讓抽象的知識具體起來，讓枯燥的知識生動起來。

1. “勾住”現實生活，讓學習有價值感

數學家華羅庚說：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，日用之繁，無處不用數學。”心理學研究表明，我們的大腦天生對與自己生活相關聯的有意義、有意思的事物感興趣。因此，原汁數學課堂提倡大數學觀，從豐富的生活中汲取學習素材，找到數學原型，從而體會解決問題的樂趣。

例如，我工作室王芳老師“加減法的意義和各部分之間的關系”內容的原汁數學課堂場景是這樣的：

前兩天，老師回了一趟老家，正好趕上幫媽媽賣小麥。利用商販的磅秤，老師先稱了稱自己的體重，是56千克。老師的媽媽稱了稱自己，是52千克。然后，老師和媽媽一起稱了稱，是110千克。按照兩人單獨稱的重量來計算老師和媽媽的體重之和，應該是56+52=108（千克）。但當兩個人一起稱時，為什么不是108千克？秤中藏有什么“貓膩”？誰來猜一猜或算一算？

生1：加數+加數=和，但這里兩個數的和與秤的總重量不相等，一定是秤有問題。

師：是啊，你真會思考，利用加法各部分之間的關系進行反思，分析得出秤有問題。站在商販的角度想一想，如果要在秤上做點“文章”的話，他會把實際的物品稱得輕一些，還是重一些？

生2：當然是輕一些，這樣他可以把農戶的小麥總數秤得比實際輕一些，從而少付農戶小麥錢。

師：分析得相當好，根據這些數據仔細推算一下，商販是怎樣在秤上做“文章”的？

生3：商販有可能把每次稱的重量少2千克。當老師秤的體重是56千克時，實際應該為58千克；當媽媽秤的體重是52千克時，實際上應該是54千克。所以，當媽媽和老師一起稱時，會比實際之和少2千克，為58+54-2=110（千克）。

生4：其實，實際重量應為112千克。

……

這里呈現的材料與我們以前見過的材料有什么不同？它具有現實性，既具有生活的真實，又是學生熟悉且有經驗的；它具有數學味，學生的生活經驗蘊含著數學實質的種子；它具有發展性，提供了用數學知識解釋現實現象的機會。

談到數學生活化，許多教師認為就是從生活中找到相關數據或者隨意編造故事情境，將其運用在教學之中，這是有失偏頗的。學習的最大快樂在于學習者在解決問題的過程中發現自己的智慧，為此教師要盡量提供具有現實意義的問題讓學生去探究，以培養學生用數學的眼光觀察世界的

能力。

2. “勾住”已有經驗，讓新知有生長點

數學學習呈螺旋式上升的特點，主要包括兩個方面：一是學生數學思維水平發展的階段性特征；二是人在認識對象時總是遵循由表及里、由淺入深的過程，且后續學習總會影響對先前學習對象的認識。因此，教師教學要盡可能地運用舊知重新主動構建新知，才能使新知穩穩

立住。

例如，我工作室楊利雄老師“百分數”內容的原汁數學課堂場景是這樣的：

課件出示三種規格的蛋糕（見圖1）。

師：有位顧客要買最大的，你推薦幾號蛋糕？

生：推薦3號，因為3號最重，是50克。

師：從蛋糕的重量上一眼能看出，3號蛋糕最大。

師：如果另一顧客想吃最甜的，他應買哪一種？說說你的理由！

生1：推薦3號，3號含的糖最多。

生2：3號不是最甜的，只看一個數據不能說明3號最甜。

生3：我們應該先求出每款蛋糕的含糖量，再來進行比較。

師：到底哪種蛋糕最甜，我們用什么辦法來比較？

生：1號蛋糕的含糖量是 ，2號蛋糕的含糖量是 ，3號蛋糕的含糖量是 。

師：這樣能一下子比較出來嗎？

生：需要通分，含糖量分別為： 、

、 。所以2號蛋糕最甜。

師：類似 、 、 這樣的分數，我們還可以寫成：15%、16%、14%，即我們所說的百分數。

百分數的根在哪里？分數有兩種意義，一是表示分率，二是表示具體數量，而百分數是表示分率的分數的特殊形式。教學過程中，教師要對其進行分析、澄清、引導、回應，實現學生對舊知的創造性轉換、溝通、交融。這樣的一個過程，可以看作學生對知識原有基礎的發展或轉變，而不是新信息的點滴累積。

維果斯基的“最近發展區”理論認為，學生的發展有兩種水平：一是學生的現有水平，指獨立活動時所能達到的解決問題的水平；二是學生借助成人或更有能力的伙伴的幫助所能達到的水平，兩者間的差異就是“最近發展區”。原汁數學課堂設計的教學問題，緊緊扣住學生的“最近發展區”，暴露學生的前概念，從而引發認知沖突并衍生新知識，讓新知有生endprint

長點。

二、找“路線”，立足數學原本：抽象、推理和轉化

要做一桌美味佳肴，辦好食材后，我們需要通過煎、炒、烹、炸、溜、煸、焗、蒸等方式把它做成可口的菜肴。數學學習也是如此。“勾住”好的知識和經驗，現在要做的就是找到合適的路線，把它變成學習能力。

數學學習的原本是發現實際問題中的數學成分，對其做符號化處理，從而把實際問題轉化為數學問題；對符號化的問題做進一步的抽象化處理，以推理方式嘗試建立和使用不同的數學模型，并將其發展為更完善、更合理的概念框架。

1. 抽象：明線到暗線的過程

抽象是一種更高級的理性，它的過程大體是這樣的：從解答問題出發，通過對各種經驗事實的比較、分析，排除那些無關緊要的因素，提取研究對象的重要特性 （普遍規律與因果關系）加以認識，從而為解答問題提供某種科學定律或一般原理。簡言之，就是：分離—提純—

簡略。

例如，我工作室程麗云老師“搭配”內容的原汁數學課堂場景是這樣的：

現在，我們來看教師如何設計問題（見圖2），以幫助學生找到路線進行抽象。

問題1：每次都這樣畫圖多麻煩，有沒有更簡單的辦法？（第一次抽象：把物品用字母或者數字代替）

問題2：每件上衣都可以與3條褲子搭配，2件上衣表示有幾個幾？你們能夠用算式表示這種搭配關系嗎？（第二次抽象，用算式表達圖示）

問題3：小紅同學的衣服有6種穿法，小朋友猜一猜，她可能有幾件上衣、幾件褲子？（第三次抽象，用算式來解釋方法：6=1×6；6= 2×3。1件上衣，6條褲子；6件上衣，1條褲子；2件上衣，3條褲子；3件上衣，2條褲子）

由于學生思維發展水平不同，我們對數學抽象不能做“一刀切”的要求，但應讓學生感知到抽象的過程，這是思維在碰撞、交織的利好機會。《了不起的蓋茨比》中有句著名的話：“每逢你想要批評任何人的時候，你就記住，這個世界上所有的人，并不是個個都有過你擁有的那些優越條件。”教師掌握著知識的優越條件，但要防止知識詛咒（以為自己表達得很清楚，但別人卻不知曉），學會用搭梯子的方式，讓學生經歷知識抽象的

過程。

2. 推理：由大到小或小到大的過程

邏輯推理主要有兩種形式：一是歸納推理，二是演繹推理。歸納推理，由小到大的推理，是一種從特殊到一般的推理；演繹推理是命題內涵由大到小的推理，是一種從一般到特殊的推理，一般表現為大前提、小前提、結論的三段論模式。

例如，針對“正方體的展開圖”，教師可以設置這樣的原汁數學課堂場景，提出：（1）這是剛才剪開的正方體展開面（見圖3），你們能夠在這些展開圖中用“上下左右前后”來表示各個面嗎？（2）是不是只要是6個正方形的展開圖就可以圍成正方體？下面這兩種展開圖（見圖4）可以圍成正方體嗎？為什么？

這兩類問題都需要學生通過推理的方式進行解決。相鄰必有重合點，對面沒有重合線，可以得出規律：每行相間是對面，再看Z端找對面。所以，分析展開圖的情況（小前提）時，可以依據這個大前提確定結論。

許多教師認為上好這堂課很難，學生很難聽懂，會采用分類的方式開展教學，這雖然有其可取之處，這一環節也是需要的，但是要讓學生有了充分理解才去記憶，正如先有算理再有算法。

3. 轉化：A類到B類的過程

原汁數學的課堂，數學教師的每次新授都是在幫學生找到一個轉化點，或把未知條件轉化為已知條件，或把一個綜合問題轉化為幾個基本問題，或把不易懂的內容轉化為熟悉的內容。

例如，在講授“等差數列”的教學內容時，教師可以設計這樣的原汁數學課堂場景。小學數學拓展內容中，等差數列求和的講授內容最難，不是因為計算繁雜，而是由于學生求項數有困難。雖然有求項數的公式：（末項-首項）÷公差+1，但學生根本不懂為何要這樣算。如果把它轉化為植樹問題，就會迎刃而解：多少棵樹=多少

個數。

師：我們在每個數上栽一棵樹，一共有多少棵樹？

生：從第3米開始栽樹，每隔3米栽一棵，一直栽到102米，所以總長是102-3=99（米），間隔長是3米，所以樹應該是：（102-3）÷（6-3）+1=34（棵）。

師：樹的棵數與數的個數有什么關系？

這時學生很快就會發現，相鄰數的差=相鄰兩棵樹的距離，棵數=（最后距離-起始距離）÷間隔長+1，所以項數=（末項-首項）÷公差+1，公差就是間

隔長。

轉化過程中，努力實現學習遷移，特別是原理和方法的遷移，從而較快地提高學生的學習質量和數學能力。

三、找“鑰匙”，凸顯數學原則：嚴密有理

思維發展過程中，重要的是獲得智慧，獲得經驗，獲得思想，然后用它們來解決更多的問題。因此，每節數學課不唯“鑰匙”，但要有“鑰匙”。德國著名天文學家、數學家約翰尼斯·開普勒說：數學是研究千變萬化中不變的規律，這個規律就是數學學習的“金鑰匙”，凸顯出數學的嚴密有理。

例如，在講授“解決問題”相關內容時，教師可以設計如下的原汁數學課堂

場景。

師：當當文具店里，同樣的鋼筆每支5元，每盒40元（10支），涂老師準備買9支鋼筆，獎勵給書法比賽獲獎的同學，你建議老師怎么買？

生1：買一盒，只要40元，如果單買9支，要45元。這樣我們可以多得1支筆，很劃算。

生2：老師，為什么同樣的筆，買10支比買9支還要便宜些？

師：這是個好問題。商家經常會搞一些促銷活動，整盒（整袋、整包）的商品單價會便宜一些。以后買東西時，如果商品質量一樣，你們可以怎么做？

生3：誰劃算，我們就優先誰。

師：生活中有許多這樣的例子，只要合理安排，就可以讓我們少花錢、辦endprint

好事。

又如，學校組織20名教師赴武當山參加全國書法比賽，如何租車會比較合算？（大車一輛5000元/12人，小車2000元/4人）

生4：首先考慮誰劃算就優先誰，大車每人只要400多元錢，小車每人要500元，所以我們盡量租大車。19個人需要5000×2=10000（元）。

師：兩輛大車可以坐24人，空了5個位置看上去有些浪費。

生5：小車剛好可以坐滿。20÷4=5（輛），5×2000=10000（元）。這種座位不浪費，錢一樣多，我覺得好些。

師：還有更好的辦法嗎？

生6：這兩種車都租用。20=12×

1+4×2，一輛大車，兩輛小車。5000+

2000×2=9000（元），錢用得少，座位也沒有多余的，避免浪費。

師：是的，全部用大車會浪費座位，全部用小車會導致每個人的車費增加，所以可以找一個折中的辦法，就是：先就大車，剩下的安排到小車上去，兩邊來湊。

通過比較不同方案，重點是傳遞給學生一種策略：安排要既經濟又合理。本節課的鑰匙則是：算單價，誰劃算，優先誰；如浪費，要調整，兩邊湊。

對于合理安排時間的教學，應側重讓學生知道如何巧妙安排，同時做一些事情，從而節省時間。可以用流程圖表示做事的次序，讓隱性思維顯性化，從而得到本節課的鑰匙：先排序→再安排；同時

做→省時間；流程圖→寫關鍵。

《高效演講》一書講到一個非常有趣的觀點，那就是好的演講特別要注意三個環節：坡道，巧妙開場，一句話引起聽眾的最大興趣；發現，循序漸進，刺激聽眾主動發現演講要點；甜點，完美收尾，讓聽眾記住你的演講。在我看來，數學的“鑰匙”就是學生數學學習的甜點，讓他們獲得解決諸多此類問題的樂趣。

學數學的過程原本是一個智力還原的過程，是一個靈魂冒險的過程，是一個知識建構的過程。本質上，學數學與搭積木是同一類別的智力游戲，充滿想象，充滿誘惑，充滿驚險，充滿喜悅，興味盎然，精彩無限。我們希望通過原汁數學，改變學生對數學的刻板印象，解除學生學數學的煩惱，讓數學學習回到它的本來狀態，回到簡單，回到樸素，回到生活，回到有趣，讓思考真正發生。

原汁數學，一言以蔽之，曰：思無窮！

責任編輯：孫建輝

zgjssjh@126.comendprint