一道課本三角習題的數(shù)學思想方法探究

郭奕平

摘要：本文對一道課本三角函數(shù)習題進行了數(shù)學解題思想方法的探究，并闡述了數(shù)學思想方法在數(shù)學課堂解題教學中滲透的重要意義，對提高學生的數(shù)學思維能力，尤其是對學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)起到了積極的推動作用.

關鍵詞：數(shù)學思想方法 ；三角習題

題目已知sin（π4-α）=513，α∈（0，π4），求cos2αcos（π4+α）的值.

這道習題選自北師大版普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學必修4第三章復習題第134頁B組第10題，經(jīng)過筆者深入探究，發(fā)現(xiàn)該題解法突破口眾多，解題難度適中，考查了較多三角公式的靈活運用，如誘導公式、二倍角公式、和差公式、同角三角函數(shù)關系式等三角恒等變形公式，同時也滲透了化歸與轉化、整體代換、構造方程（組）等數(shù)學解題思想方法，具有較高的解題教學價值，對學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)起到了積極的推動作用.現(xiàn)探究如下：

解法一抓住已知條件與所求問題的關系，利用整體代換的數(shù)學思想方法進行求解.

因為cos（π4+α）=sin[π2-（π4+α）]=sin（π4-α）=513.

又因為α∈（0，π4），所以-α∈（-π4，0），π4-α∈（0，π4）.

因為sin（π4-α）=513，所以cos（π4-α）=1213.

又因為cos2α=sin（π2-2α）=sin2（π4-α）=2sin（π4-α）cos（π4-α）.

所以cos2α=2×513×1213=120169.

故cos2αcos（π4+α）=120169513=2413.

解法二轉化已知條件，再生成新的條件，利用構造方程組的數(shù)學思想方法進行求解.

因為sin（π4-α）=513，

所以22cosα-22sinα=513.

即cosα-sinα=5213.①

①式平方，得1-2sinαcosα=50169，

所以2sinαcosα=119169.

所以（cosα+sinα）2=1+2sinαcosα=288169.

又因為α∈（0，π4），所以cosα+sinα>0.

所以cosα+sinα=12213.②

由①、②聯(lián)立方程組，解得cosα=17226，sinα=7226.

所以cos2α=cos2α-sin2α=（17226）2-（7226）2=120169.

又由解法一知：cos（π4+α）=513（求解過程同解法一）.

所以cos2αcos（π4+α）=120169513=2413.

解法三對已知條件與所求問式同時變形、化簡，利用化歸與轉化的數(shù)學思想方法求解.

因為cos2αcos（π4+α）=cos2α-sin2α22cosα-22sinα

=（cosα+sinα）（cosα-sinα）22cosα-22sinα

=2（cosα+sinα）.

又由解法二②式知：cosα+sinα=12213（求解過程同解法二）.

故cos2αcos（π4+α）=2×12213=2413.

數(shù)學思想是數(shù)學學科的靈魂與精髓，而數(shù)學思想方法是數(shù)學思維能力的表現(xiàn)形式，是解決數(shù)學問題的指南與導向，也是當前新高考改革形勢下所提出的數(shù)學學科核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容.所以我們數(shù)學教師要在課堂教學中不斷地滲透數(shù)學思想方法，逐步提高學生的數(shù)學思維能力，培養(yǎng)良好的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，這才是當前新課程背景下我們數(shù)學課堂教學的根本任務，也是我們?yōu)槭裁匆獙W習數(shù)學的意義所在.endprint