淺談橢圓切點坐標(biāo)的四種求法

2018-03-08 22:15:15關(guān)麗娜鐘德光鄭偉庭

理科考試研究·高中 2017年12期

關(guān)麗娜鐘德光鄭偉庭

摘要：本文通過一道例題給出求解橢圓切點坐標(biāo)的四種方法，并討論了在具體情況下，使用哪種方法是最適合的

關(guān)鍵詞：判別式法；柯西不等式法；輔助角公式法；同一法

對高考數(shù)學(xué)全國卷題型的研究毫無疑問是一項有意義的工作作為二選一選做題的參數(shù)方程，其題目難度總體來說不是很大但是對于下面這種即將討論的關(guān)于求橢圓切點坐標(biāo)的題目，學(xué)生往往無從下手或者用較復(fù)雜的方法解答因此，筆者對這種題型的解法進行了一番探究，總結(jié)出了解決這類題目的四種解法以下展示出來，供大家交流討論.

題目已知橢圓C∶x23+y2=1，直線l∶x+y=16，求橢圓C上一點P ，使得它到直線l的距離最小.

分析1通過畫圖，可以看出當(dāng)橢圓C上一點P所在的切線與直線l平行時，此時的點P到直線l的距離是最大或者最小的因此，此題可以采用以下的判別式法.

方法1（判別式法）當(dāng)橢圓C上一點P所在的切線與直線l平行時，點P到直線l的距離是最大或者最小的.因此，可設(shè)此時P點所在切線l′的方程為x+y=λ.

聯(lián)立x23+y2=1.x+y=λ （1）（2）

消去y并且整理可得：

4x2-6λx+3λ2-3=0（3）

由于l′與橢圓C相切，因此Δ=（-6λ）2-4×4×（3λ2-3）=0.

解得λ=2或者λ=-2（舍去）.

將λ=2代入（3）式解得x=32.

將λ=2與x=32代入（2），解得y=12.

因此點（32，12）為所求.

分析2由于此處涉及到最值問題，因此可以考慮柯西不等式，其中求點的坐標(biāo)對應(yīng)于柯西不等式的取等條件因此有了以下的方法2.

方法2（柯西不等式法）設(shè)橢圓C上任意一點為P（x，y），則P到直線l的距離為d=x+y-162.

由柯西不等式可得（x23+y2）（3+1）≥（x+y）2，

即-2≤x+y≤2.

從而有-18≤x+y-16≤-14.

所以d的最小值為-142=72.

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)x3y=31，x+y=2.

解得x=32，y=12.

因此點P（32，12）為所求.

分析3由方法2的解答過程中可以看出，所求問題最后轉(zhuǎn)化為求x+y-16的最值因此可以從橢圓的角參數(shù)方程出發(fā)，利用輔助角公式進行求解.

方法3（輔助角公式法）由條件可設(shè)橢圓C上任意一P（3cosθ，sinθ），（θ∈[0，2π）），則P到直線l的距離為

d=3cosθ+sinθ-162=2sin（θ+π3）-162≥72.

當(dāng)且僅當(dāng)sin（θ+π3）=1時等號成立.

此時解得θ=π6.

此時點P（3cosθ，sinθ）坐標(biāo)為（32，12）.

分析4由于橢圓x2a2+y2b2=1上任意一點P（x0，y0）的切線方程為x0xa2+y0yb2=1，若可以求出P點處具體的切線方程，不妨設(shè)為Ax+By+C=0那么這兩條直線是同一條直線，因此必有Ax0a2=By0b2=C-1，從而可求出切點P（x0，y0）的坐標(biāo)，這就是同一法為了達到這個目的，首先需要探索直線與橢圓相切的一般判別式.雖然這個結(jié)果已經(jīng)有了，但是這里我們采用仿射變換去證明此結(jié)果，即以下的一個引理.

引理若直線Ax+By+C=0與橢圓x2a2+y2b2=1相切，則有A2a2+B2b2=C2.

證明利用仿射變換x=ax′y=by′ 將橢圓x2a2+y2b2=1變?yōu)閱挝粓Ax′2+y′2=1.此時直線Ax+By+C=0變?yōu)橹本€Aax′+Bby′+C=0.

由于仿射變換保持點的結(jié)合性，故單位圓x′2+y′2=1與直線Aax′+Bby′+C=0相切.

因此可得CA2a2+B2b2=1.

整理即有A2a2+B2b2=C2.

通過這個引理，我們很容易得到以下方法4.

方法4（同一法）易知當(dāng)橢圓C上一點P（x0，y0）所在的切線與直線l平行時，點P到直線l的距離是最大或者最小的.

因此，可設(shè)此時P點所在切線l′的方程為x+y=λ.

因為直線l′與橢圓C相切，

因此由引理可得32+12=λ2.

解得λ=2或者λ=-2（舍去）.

故l′的方程為x+y=2.