例談基本不等式求最值的十種策略

張剛

摘要：利用基本不等式求最值時，要堅持“一正二定三等”這三個原則，這里蘊含著不等式的最值定理：“積定和最小，和定積最大”利用這個定理時，往往由于所給的式子不一定直接具備基本不等式的結構條件，這就需要我們對所給的式子進行恒等變形構造，使之達到基本不等式的條件下面本文介紹十種常用的構造方法，以期達到拋磚引玉的作用.

關鍵詞：不等式；最值；策略

一、整體化處理

例1若a，b滿足1a+2b=ab，則ab的最小值等于（ ）.

A2B2 C22D4

解由基本不等式得ab=1a+2b≥22ab，當且僅當b=2a時取等號，整理得ab≥22.故選C.

評注遇到求a+b，ab的最值，一般可以對題設條件直接使用基本不等式，獲得關于a+b，ab的不等式，進而化簡變形，即可順利求解.

二、湊配系數

例2求函數y=sin2x·cos2x+1sin2x·cos2x的最小值.

解引入待定正實數λ，μ，且λ+μ=4，則

y=sin22x4+4sin22x=sin22x4+λsin22x+μsin22x≥2sin22x4·λsin22x+μsin22x≥λ+μ，當且僅當sin22x4=λsin22x且sin22x=1，即λ=14，μ=154時等號同時成立，所以y有最小值174.

評注一般來說，見到和就想積，湊積為定值，則和有最小值；見到積就想到和，湊和為定值，則積有最大值若問題滿足了運用基本不等式的條件“正”“定”，而取等條件無法直接確定時，我們應引入參數，利用待系數法探索恰當的取等條件，從而確定適當的系數.

三、加減配常數項

例3已知x<54，求函數fx=4x-2+14x-5的最大值.

解由5-4x>0，得fx=-[5-4x+15-4x]+3≤-2+3=1，當且僅當x=1時等號成立，故函數fx的最大值為5.

評注求解本題需要關注兩點：一是對已知條件的適當變形構造，由x<54得到5-4x>0；二是對目標函數解析式的適當變形構造，以便活用結論“若x<0，則x+1x=--x+-1x≤-2-x·-1x=-2”.

四、連續使用基本不等式

例4若a>b>0，求a2+16ba-b的最小值為.

解a2+16ba-b≥a2+16b+a-b2=a2+64a2≥16（當且僅當b=a-b且a=8a，即a=2b=22時等號成立），故a2+16ba-b的最小值為16.

評注此處第一次運用基本不等式，實質也是化二元為一元的消元過程連續多次使用基本不等式求最值時，要注意等號成立的條件是否一致，否則就會出錯.

五、分離（分子）常數

例5若對任意x>0，xx2+3x+1≤a恒成立，則a的取值范圍是.

解因為x>0，所以x+1x≥2，所以xx2+3x+1=1x+1x+3≤12+3=15（當且僅當x=1時取等號），所以xx2+3x+1的最大值為15，所以由已知不等式恒成立得a≥15，故a的取值范圍是15，+∞.

評注對xx2+3x+1的分子、分母同除以x可得到1x+1x+3，其優點是將變量x全部集中在分母位置，為靈活運用基本不等式創造有利的條件.

六、變用公式

例6函數y=2x-1+5-2x（12

解y2=2x-1+5-2x2

=4+22x-15-2x

≤4+2x-1+5-2x=8.

又y>0，所以0

評注基本不等式a+b2≥ab有幾個常用變形結論：a2+b22≥ab，a+b22≥ab，a2+b22≥a+b2，a2+b22≥a+b22前兩個變形結論很直接，后兩個變形結論不易想到，應重視.

七、對數變換

例7已知a>0，b>0，ab=8，則當a的值為時log2a·log22b取到最大值.

解因為當log2a·log22b取最大值時，log2a·log22b必定同號，所以log2a·log22b≤log2a+log22b22=log22ab22=4，當且僅當a=4，b=2時取等號故當a的值為4時，log2a·log22b取到最大值.

評注本題重點考查ab≤a+b22與對數運算法則logaM+logaN=logaMN的交匯.

八、三角變換

例8已知0

解考慮到已知條件為正切關系式，則應將目標式取正切化簡變形.

因為00且0≤x-y<π2，

所以tanx-y=tanx-tany1+tanxtany=23tany+1tany≤33.

當且僅當tany=33，即x=π3，y=π6時等號成立，因正切函數在0，π2上單調遞增，所以x-y≤π6故t=x-y的最大值為π6.

評注解題思路：需要借助正切函數的單調性，間接獲得x-y的最大值.

九、常數代換

例9若直線xa+yb=1a>0，b>0過點1，2，則a+b的最小值等于.

解由已知得1a+2y=1，與目標式結合構造積為定值的倒數結構.

a+b=a+b1a+2b=3+2ab+ba≥3+22，當且僅當b=2a=2+2時取到最小值3+22.

評注常數代換是將目標函數式中的常數用已知式進行等量代換，或者將目標函數式與已知代數式相乘，然后通過化簡變形，求得目標函數的最值，其中常用“1”的代換.

十、y=1a+ab型變換

例10設a+b=2，b>0，則當a=時，12a+ab取得最小值.

解12a+ab=a+b4a+ab=a4a+b4a+ab≥-14+2b4a·ab=34，當且僅當b4a=ab且a<0，即a=-2，b=4時取等號故當a=-2時，12a+ab取得最小值.

評注本題難點在于：關注常數代換及拆分、放縮變形，注意a4a≥-14.

總之，基本不等式在高考數學試題中，是重點考查的知識點，也是與其他數學知識容易交匯命題考查的難點之一，因此所給題目的條件特點，深化理解、強化應用，靈活選擇上面這十種常用的變換策略，相信在有關基本不等式求最值的問題中就會輕松破解.