尋根溯源，談向量復(fù)習(xí)“兩法”

金雅芳

摘要：向量作為初等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，兼具了代數(shù)與幾何的“雙重特性”，故利用向量工具編制試題每年均會(huì)受到高考命題者的青睞.從浙江卷2016年第15題向量試題的立意看，向量與其他知識(shí)的結(jié)合仍是考查重點(diǎn)，但與以往不同的是加入元素“絕對(duì)值”，本文以此題為例分析如何運(yùn)用“頭吃尾”和“解析化”兩種策略來(lái)解決向量問(wèn)題.

關(guān)鍵詞：向量；特征；推理轉(zhuǎn)化

一、引題

（2016年浙江數(shù)學(xué)理15）已知向量a→，b→，a→=1，b→=2，若對(duì)任意單位向量e→，均有a→·e→+b→·e→≤6，則a→·b→的最大值為.

解法1（a→+b→）·e→≤a→·e→+b→·e→≤6.

即（a→+b→）·e→≤6.

只需（a→+b→）·e→max≤6.

又因?yàn)椋╝→+b→）·e→的最大值為a→+b→，

即a→+b→≤6a→2+2a→·b→+b→2≤6.

a→·b→≤12，即a→·b→的最大值為12.

解法2設(shè)=α，=β，

可得=α-β，

由題可得cosα+2cosβ≤6.①

不妨設(shè)sinα+2sinβ=t.②

由①2+②2可得：5+4cos（α-β≤6+t2對(duì)一切α，β均成立，

故5+4cos（α-β）≤（6+t2）min5+4cos（α-β≤6.

所以cos（α-β）≤14.

所以a→·b→=2cos（α-β）≤12.

解法3不妨設(shè)a→=（1，0），b→=（2cosθ，2sinθ），e→=（cosα，sinα）.

由題可得：cosα+2cos（θ-α）≤6.

所以cosα+2cos（θ-α）≤6.

所以（1+2cosθ）cosα+2sinθsinα≤6.

所以（1+2cosθ）2+（2sinθ）2sin（α+φ）≤6對(duì)一切α均成立.

所以[（1+2cosθ）2+（2sinθ）2sin（α+φ）]max≤6.

故（1+2cosθ）2+（2sinθ）2≤6cosθ≤14.

即a→·b→=2cosθ≤12.

從試題的編制來(lái)看，考查的點(diǎn)無(wú)外乎就是向量的數(shù)量積、模及夾角，但入口比較寬、方法較多，加上個(gè)別同學(xué)對(duì)題意的理解不夠，對(duì)絕對(duì)值的處置不當(dāng)，導(dǎo)致產(chǎn)生錯(cuò)誤的結(jié)論.介于此筆者認(rèn)為，我們?nèi)粘＝虒W(xué)也應(yīng)重視對(duì)符號(hào)語(yǔ)言的詮釋，尤其是課本中曾出現(xiàn)的符號(hào)，一定要讓學(xué)生從本質(zhì)上了解并理解他們.在向量的復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)著眼基礎(chǔ)，即立足基本定理；應(yīng)放眼圖形，即緊抓圖形特征，這樣才能做活試題.

浙江卷高考考查中向量試題經(jīng)常作為小題出現(xiàn)，但事實(shí)是“小題”不小，今年的向量試題又作為拉分點(diǎn)，區(qū)分度很大，要引起重視.解決此類(lèi)問(wèn)題基本思路利用向量的加減運(yùn)算（“頭吃尾”）處理，或是將向量問(wèn)題“解析化”處理，利用坐標(biāo)進(jìn)行代數(shù)轉(zhuǎn)化，從而將推理轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算.

二、重視基礎(chǔ)，做好“頭吃尾”文章

從向量的運(yùn)算公式看，AB+BC=AC，即后一個(gè)向量的起始點(diǎn)“吃掉”前一個(gè)向量的終點(diǎn).在解題過(guò)程中，巧妙利用分拆

AC=AB+BC=AO+OB=…，進(jìn)而找尋題中點(diǎn)與點(diǎn)之間的關(guān)系，化繁為簡(jiǎn).

例1如圖1，已知：長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1，AB=2，AD=4，AA1=4，O為對(duì)角線AC1的中點(diǎn)，過(guò)O的直線與長(zhǎng)方體表面交于兩點(diǎn)M，N，P為長(zhǎng)方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，則PM·PN的取值范圍是.

解析本題是動(dòng)態(tài)問(wèn)題，從題中已知條件看，P，M，N三個(gè)均為動(dòng)點(diǎn)，但考慮到題中O為對(duì)角線AC1的中點(diǎn)，又過(guò)O的直線與長(zhǎng)方體表面交于兩點(diǎn)M，N，即可得OM=-ON.

故PM可分解為PM=PO+OM，同理PN可分解為PN=PO+ON=PO-OM.

PM·PN=（PO+OM）·（PO-OM）=PO2-OM2.

又P，M均為長(zhǎng)方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，故PO最大值為對(duì)角線的一半，最小值為棱長(zhǎng)AB的一半，OM也如此，所以PM·PN∈[-8，8].

這是一個(gè)較好的“頭吃尾”試題，利用題中的O的特殊性，把向量PM分解為PM=PO+OM（O是前一個(gè)向量的“尾”，又是后一個(gè)向量的“頭”），變?nèi)齻€(gè)動(dòng)點(diǎn)P，M，N為兩個(gè)互不牽制的動(dòng)點(diǎn)P，M，大大簡(jiǎn)化了本題.

變式如圖2，ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，動(dòng)點(diǎn)P在以AB為直徑的圓弧APB上，則PC·PD的取值范圍是.

解析（“頭吃尾”）取AB的中點(diǎn)為O，連接PO，PA，PB，則PA+PB=2PO.

因?yàn)镻A·PB=0.

所以PC·PD=（PB+BC）·（PA+BC）=PB·PA+BC·（PA+PB）+BC2=0+2BC·PO+16=2×2×4×cos+16.

由圖可得=[π2，π].

當(dāng)且僅當(dāng)P在弧AB中點(diǎn)時(shí)向量夾角為π，PC·PD取到最小值0；P在點(diǎn)A或B處時(shí)向量夾角為π2，PC·PD取到最大值16.綜上PC·PD取值范圍為[0，16].

三、關(guān)注技巧，做好“解析化”文章

向量作為集數(shù)、形于一體的量，其運(yùn)算蘊(yùn)含豐富的幾何意義.尤其是向量的模，可以把其理解為兩點(diǎn)間的距離或是線段的長(zhǎng)度，深度挖掘做好“解析化”文章，用形助數(shù)，對(duì)向量來(lái)說(shuō)成效是顯著的.

例2如圖3，設(shè)a→，b→為單位向量，若向量c→滿足c→-（a→+b→）=a→-b→，則c→的最大值是.

解析由題可得，知點(diǎn)C在以M為圓心，CM=a→-b→為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).

所以

c→max=a→+b→+a→-b→.

又由平行四邊形性質(zhì)可得：a→+b→2+a→-b→2=2（a→2+b→2）=4.

所以c→2max = （a→ + b→ + a→-b→）2≤（1 + 1）（a→ + b→2 + a→-b→2） = 8.

即c→的最大值是22.

變式如圖4，已知向量a→，b→滿足a→=2，a→2=2a→·b→.對(duì)于給定向量b→，滿足條件（a→-c→）·（b→-c→）=0的向量c→的模的最大值和最小值分別為M，m，則M-m的最小值為.

解析由圖4可得，c→=OC，則M=a→+b→2+a→-b→2.

m=a→+b→2-a→-b→2.

故M-m=a→-b→.

由已知a→2=2a→·b→得，（a→-b→）2=b→2a→-b→=b→，且a→-b→+b→≥a→=2.

即M-m=a→-b→≥1，故M-m最小值為1.

參考文獻(xiàn)：

[1]張樹(shù)鵬破解向量最值問(wèn)題的三種有效途徑[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2017（11）.

[2] 陳曉敏拓展思維，簡(jiǎn)潔直觀——例談向量法在高中數(shù)學(xué)解題中的妙用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2014（05）.