例析高考數(shù)學(xué)中線性規(guī)劃問題的幾何意義

蘇勇 黃克昌

摘要：線性規(guī)劃問題是高考的重點，而線性規(guī)劃問題具有代數(shù)和幾何的雙重形式，多與函數(shù)、平面向量、數(shù)列、三角、概率、解析幾何等問題交叉滲透，自然的融合在一起，使數(shù)學(xué)問題的解答變得更加新穎別致，更使數(shù)學(xué)中優(yōu)化思想和數(shù)形結(jié)合思想得到充分的體現(xiàn).

關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃；約束條件；目標(biāo)函數(shù)最值；幾何意義

線性規(guī)劃是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》的必考內(nèi)容，出自教材必修5.線性規(guī)劃是數(shù)學(xué)應(yīng)用的一個重要內(nèi)容，其蘊涵的優(yōu)化、數(shù)形結(jié)合思想方法是數(shù)學(xué)中的基本思想方法.線性規(guī)劃在教材中的地位決定了它在高考試卷中的地位，所以在高考中多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，有時也會出現(xiàn)解答題，由于它的應(yīng)用十分廣泛，所以幾乎每年都考.筆者對近年的線性規(guī)劃試題在考查方式方法等方面進行了分析歸納和總結(jié).

一、線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)系z=ax+by“截距型”最值問題

2017年高考理科數(shù)學(xué)中，全國卷和自主命題省（市、區(qū)）幾乎都是考查以此類目標(biāo)函數(shù)z=ax+by“截距型”的簡單的線性規(guī)劃問題，求此類目標(biāo)函數(shù)最值的步驟為：1、作圖：畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平行直線系中過原點的那一條直線；2、平移：將直線平行移動，以確定最優(yōu)解的對應(yīng)點的位置；3、求值：解方程組求出對應(yīng)點坐標(biāo)（即最優(yōu)解），帶入目標(biāo)函數(shù)，即可求出最值.求這類目標(biāo)函數(shù)的最值方法一般是將函數(shù)z=ax+by轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：y=-abx+zb，通過求直線的截距zb的最值間接求出z的最值.

例1（2017課標(biāo)全國Ⅰ，第14題）設(shè)x，y滿足約束條件x+2y≤1，2x+y≥-1，x-y≤0，

則z=3x-2y的最小值為.

解析由約束條件作出可行域，如圖1陰影部分所示.平移直線3x-2y=0，由目標(biāo)函數(shù)可知，平行直線y=32x-z2經(jīng)過點A時，直線在y軸截距最大，z取得最小值，又由x+2y=1，2x+y=-1 解得x=-1，y=-1， 即A（-1，1），所以目標(biāo)函數(shù)最小值為：zmin=3×（-1）-2×1=-5.

例2（2017課標(biāo)全國Ⅱ，第5題）設(shè)x，y滿足約束條件2x+3y-3≤0，2x-3y+3≥0，y+3≥0， 則z=2x+y的最小值是（）.

A.-15B.-9C.1D.9

解析由約束條件作出可行域，如圖2陰影部分所示.作出直線l0：y=-2x平移直線l0，由y=-2x+z，當(dāng)平行直線經(jīng)過點A時，目標(biāo)函數(shù)取得最小值.

由2x-3y+3=0，y+3=0， 解得x=-6y=-3 .

即A（-6，-3），因此zmin=2×（-6）+（-3）=-15，故選A.

例3（2017課標(biāo)全國Ⅲ，第13題）若x，y滿足約束條件x-y≥0，x+y-2≤0，y≥0， 則z=3x-4y的最小值為.

解析由約束條件作出可行域，如圖3陰影部分所示.作出直線l0：3x-4y=0平移直線l0，由y=34x-z4，當(dāng)平行直線經(jīng)過點A時，直線在y軸截距最大，目標(biāo)函數(shù)取得最小值.

由x+y-2=0，y=x， 解得x=1y=1 .

即A（1，1），因此zmin=3×1-4×1=-1.

例4（2017北京，第4題）若x，y滿足x≤3，x+y≥2，y≤x， 則x+2y的最大值為（）.

A.1B.3C.5D.9

解析由約束條件作出可行域，如圖4陰影部分所示.設(shè)z=x+2y，作出直線l0：x+2y=0平移直線l0，由y=-x2+z2，當(dāng)平行直線經(jīng)過點A時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值.

由x=3，y=x， 解得x=3y=3 .

即A（3，3），因此zmax=3+2×3=9，故選D.

例5（2017天津，第2題）設(shè)變量x，y滿足約束條件2x+y≥0，x+2y-2≥0，x≤0，y≤3， 則目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最大值是（）.

A.23B.1C.32D.3

解析由約束條件作出可行域，如圖5陰影部分所示.平移直線x+y=0，由目標(biāo)函數(shù)可知，平行直線y=-x+z經(jīng)過點A（0，3）時，直線在y軸截距最大，z取得最大值，所以 zmax=0+3=3，故選D.

例6（2017浙江，第4題）若x，y滿足約束條件x≥0，x+y-3≥0，x-2y≤0， 則z=x+2y的取值范圍是（）.

A.0，6B.0，4

C.6，+∞D(zhuǎn).4，+∞

解析由約束條件作出可行域，如圖6陰影部分所示.

平移直線y=-x2，由目標(biāo)函數(shù)y=-x2+z2可知當(dāng)直線經(jīng)過點A（2，1）時，zmin=2+2×1=4，而z不存在最大值.故選D.

例7（2017山東，第4題）已知x，y滿足約束條件x-y+3≤0，3x+y+5≤0，x+3≥0， 則z=x+2y的最大值是（）.

A.0B.2C.5D.6

解析由約束條件作出可行域，如圖7陰影部分所示.作出直線l0：x+2y=0平移直線l0，由y=-x2+z2，當(dāng)平行直線經(jīng)過點A時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值.

由3x+y+5=0，x+3=0， 解得x=-3y=4 .

即A（-3，4），因此zmax=-3+2×4=5，故選C.

二、非線性目標(biāo)關(guān)系z=（x-a）2+（y-b）2“距離型”最值問題

此類目標(biāo)函數(shù)的最值問題，可轉(zhuǎn)化為求可行域內(nèi)的點（x，y）到點（a，b）的距離的平方的最值問題.

例8（2016江蘇，第12題）已知實數(shù)x，y滿足x-2y+4≥0，2x+y-2≥0，3x-y-3≤0，則x2+y2的取值范圍是.

解析畫出滿足約束條件的可行域，如圖8陰影部分所示.由x-2y+4=0，3x-y-3=0， 得A（2，3），而x2+y2表示的幾何意義是可行域內(nèi)的點（x，y）到原點（0，0）的距離的平方，則可得（x2+y2）max=22+32=13，（x2+y2）min=d2=252=45，其中d表示點（0，0）到直線2x+y-2=0的距離，所以的取值范圍為45，13.

例9（2016山東，第4題）若變量x，y滿足x+y≤2，2x-3y≤9x≥0，，則的x2+y2最大值是（）.

A.4B.9C.10D.12

解析作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖9陰影部分所示，x2+y2表示平面區(qū)域內(nèi)的點到原點的距離的平方，由圖可知平面區(qū)域內(nèi)的點A（3，-1）到原點的距離最大，所以x2+y2的最大值是10.

三、非線性目標(biāo)關(guān)系型z=y-bx-a“斜率型”最值問題

此類目標(biāo)函數(shù)的最值問題，可轉(zhuǎn)化為求可行域內(nèi)的點（x，y）與點（a，b）連線的斜率的最值問題.

例10（2015課標(biāo)Ⅰ，第15題）若x，y滿足約束條件x-1≥0，x-y≤0，x+y-4≤0， 則yx的最大值為.

解析由約束條件畫出可行域，如圖10陰影部分所示 yx的幾何意義是可行域內(nèi)的點（x，y）與原點（0，0）連線的斜率，所以yx的最大值即為直線OA的斜率，又由x-1=0，x+y-4=0， 得點A的坐標(biāo)為（1，3），則yxmax=kOA=3.

例11已知x，y滿足不等式組x≥0，x-y≤0，4x+3y≤12， 則z=y-1x+1的最大值為.

解析由約束條件畫出可行域，如圖11所示可行域為三角形ABC及其內(nèi)部，其中A（0，0），B（0，4），C（127，127）y-1x+1表示可行域內(nèi)點P（x，y）與點M（-1，1）連線的斜率，其最大值為kBM=4-10+1=3.

對于線性規(guī)劃問題，關(guān)鍵是要正確的作出可行域，并充分理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，且分清常規(guī)的“截距型”、“距離型”及“斜率型”是解題的關(guān)鍵，而從2017年高考來看，簡單線性規(guī)劃中“截距型”應(yīng)該可以說是重點中之重點，所以在高考復(fù)習(xí)的時候應(yīng)熟練的掌握好應(yīng)用好.

參考文獻：

[1]李志春百匯大課堂高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)[M].西安：世界圖書出版西安公司，2009.

[2]曲一線高考真題2017理數(shù)詳解[M].北京：首都師范大學(xué)，教育科學(xué)出版社，2017.endprint