從柯西不等式的證明過程談?wù)剺?gòu)造法

孟憲華

摘 要：從北京師范大學(xué)出版社《選修4-5：不等式選講》第27頁中，給出柯西不等式，對任意實數(shù)a、b、c、d，有（a2+b2）·（c2+d2）≥（ac+bd）2，當向量（a，b）與向量（c，d）共成時，等號成立，教材中給出三種證明方法，其證法二通過構(gòu)造函數(shù)φ（t），利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到結(jié)果，課本上對于一般形式的柯西不等式，給出了相同的證明方法。那么對于某些不等式證明問題，如果我們根據(jù)其條件和結(jié)論，結(jié)合判別式的結(jié)構(gòu)特征，通過構(gòu)造二項平方和函數(shù)f（x）=（a1x-b1）2+（a2x-b2）2+…+（anx-bn）2，那么，由f（x）≥0可知Δ≤0。這樣，對于一些用常規(guī)方法處理繁瑣的問題，便可獲得簡捷、明快的證明方法。

關(guān)鍵詞：柯西不等式；求證；構(gòu)造法