淺談微積分的認(rèn)識在物理教學(xué)中的應(yīng)用

摘 要：微積分納入數(shù)學(xué)高考，強化了數(shù)學(xué)思維，豐富了物理問題解決的途徑.本文闡釋了對微積分的認(rèn)識，并結(jié)合生活實例和高考真題，例析了在物理學(xué)中的應(yīng)用.這有益于高三復(fù)習(xí)效率的提升，有益于用好數(shù)學(xué)工具解決物理問題能力的培養(yǎng).

關(guān)鍵詞：微積分；認(rèn)識；應(yīng)用

作者簡介：唐克明（1974-），男，湖北武漢，大學(xué)本科，高級職稱，研究方向：中學(xué)物理教學(xué)研究.2017年高考數(shù)學(xué)《考試大綱》[1]中明確指出：“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（微積分的應(yīng)用）作為高考必考的二十一個章節(jié)之一；考綱中將其列為第十七章，系人教版教材選修2-2的第一章.”2017年的《考試說明》[2]強調(diào)“考查導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義、運算及應(yīng)用，重點考查利用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，研究方程和不等式.”查閱2016年高考數(shù)學(xué)理科三套全國卷，微積分的考查約占10%，凸顯了微積分在數(shù)學(xué)高考中的應(yīng)用.這是新課改的一大亮點，強化了數(shù)學(xué)知識能力的培養(yǎng)，為解決物理問題增添了新的工具.使很多原本只能定性而無法量化的物理問題，有了數(shù)學(xué)知識作為理性支撐.如何用好這一數(shù)學(xué)工具，使學(xué)生主動將之與物理問題進行關(guān)聯(lián)，提升學(xué)生解題的綜合能力，引導(dǎo)學(xué)生深入生活從而激發(fā)理論緊密聯(lián)系實際的學(xué)習(xí)興趣，是廣大教育工作者響應(yīng)新課改要求所需要考慮的重要問題.

1 微積分起源發(fā)展的簡述

恩格斯（1820-1895）[3]說：“在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)明那樣被看作人類精神的最高勝利了！”由此可見，微積分成為一門學(xué)科大約是在17世紀(jì).

然而，微積分的起源最早可追溯到公元前7世紀(jì)老莊哲學(xué)中就有無限可分性和極限思想；公元前4世紀(jì)《墨經(jīng)》中有了有窮、無窮、無限小（最小無內(nèi)）、無窮大（最大無外）的定義和極限、瞬時等概念.但是，公元前最為有影響力的是“公元前三世紀(jì)，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學(xué)的思想.”[4]

國內(nèi)最有影響力的是三國時期（公元263年）魏人劉徽[5]提出的“割圓術(shù)”思想，它在分割的過程中運用的是基礎(chǔ)的幾何與代數(shù)，優(yōu)點在于直觀且形象的表達，并且提出了一種極限思想：可以通過趨近的手段得到一個任意精確度的結(jié)果.

到了十七世紀(jì)，哥倫布發(fā)現(xiàn)新大陸，哥白尼創(chuàng)立日心說，伽利略出版《力學(xué)對話》，開普勒發(fā)現(xiàn)行星運動規(guī)律——航海的需要，礦山的開發(fā)，火松制造提出了一系列的力學(xué)和數(shù)學(xué)的問題，這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素，微積分在這樣的條件下誕生是必然的.[4]

微積分的萌芽、發(fā)生與發(fā)展經(jīng)歷了漫長的時期.正如人教版教材[6]所述“終于，在17世紀(jì)牛頓和萊布尼茨在前人探索與研究的基礎(chǔ)上，憑著他們敏銳的直覺和豐富的想象力，各自獨立地創(chuàng)立了微積分.”

2 微積分本質(zhì)的簡述

什么是微積分呢？它是一種數(shù)學(xué)思想，無限細(xì)分就是微分，無限求和就是積分.無限就是極限，極限的思想就是微積分的基礎(chǔ).[7]

其實縱觀微積分的發(fā)展可知，微積分是關(guān)于運動和變化的數(shù)學(xué)，本質(zhì)上說微積分是為了滿足力學(xué)發(fā)展的需要而發(fā)明的，它使人們能夠從物體現(xiàn)在的位置和作用在物體上力來計算該物體將來的位置，求平面上不規(guī)則區(qū)域的面積，度量曲線的長度，以及求任意空間物體的體積和質(zhì)量[8]. 后來，牛頓一萊布尼茲公式又解決了求變速運動、變力做功等問題，進一步完善了經(jīng)典力學(xué)結(jié)構(gòu).從幾何意義的角度看，微分就是求導(dǎo)，探討曲線的切線的斜率；積分就是探討曲邊形面積.

3 微積分應(yīng)用的優(yōu)點

（1）微積分能夠形象、生動地描繪出整個物理解題過程[9]，有助于學(xué)生對題目的記憶和理解，能夠使學(xué)生更快掌握物理題目中包含的本質(zhì)，有效提高物理規(guī)律的嚴(yán)謹(jǐn)性、科學(xué)性[10].如應(yīng)用中的例1.

（2）大部分物理規(guī)律都比較抽象，雖然能夠應(yīng)用精準(zhǔn)的語言來描述，但仍無法進一步具體化.通過運用微積分思想來構(gòu)建物理模型，則能巧妙表現(xiàn)出物理規(guī)律的本質(zhì)，使其變得具體化，便于學(xué)生接受和理解[10].

（3）在物理解題過程中合理運用微積分，會顯著加快物理解題的速度，同時能夠快速找到一些新的解題途徑，不但發(fā)散了物理解題思維，而且有助于學(xué)生對物理知識的鞏固和理解[10].endprint