微分方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用

包麗平

摘 要：微分方程是數(shù)學(xué)的一個(gè)非常重要的分支，很多物理和化學(xué)的基本定律都由微分方程提供，而在生物學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)中微分方程可以模擬復(fù)雜系統(tǒng)的行為。微分方程數(shù)學(xué)模型來自人們的實(shí)際生活，在現(xiàn)實(shí)生活中微分方程數(shù)學(xué)模型能解決非常多的實(shí)際問題，幾乎在人類社會(huì)的每一個(gè)角落都展示了其無窮的威力，尤其是在物理、化學(xué)、工程技術(shù)、軍事、經(jīng)濟(jì)、醫(yī)學(xué)與生物等領(lǐng)域都有著非常重要的作用。本文主要提出這些領(lǐng)域中的一些問題，進(jìn)行微分方程建模，然后通過解這些微分方程來解決這些實(shí)際問題。

關(guān)鍵詞：微分方程 數(shù)學(xué)模型 實(shí)際生活 應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G71 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2018）08（b）-0177-02

客觀世界的一切事物的運(yùn)動(dòng)和變化在數(shù)學(xué)上的反映，便有變數(shù)（或變量）概念。事物的運(yùn)動(dòng)和變化又是相互依賴、相互制約的，反映在數(shù)學(xué)上，就是變量之間的關(guān)系，從而又形成了函數(shù)的概念。由于大量的實(shí)際問題中，稍微復(fù)雜一些的運(yùn)動(dòng)過程往往不能直接寫出他們的函數(shù)，卻容易建立變量及其導(dǎo)數(shù)（或微分）間的關(guān)系式，即微分方程。通過求解這種方程，同樣可以找到指定未知變量直接的函數(shù)關(guān)系。因此，微分方程是數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際，并應(yīng)用于實(shí)際的重要途徑和橋梁，是各個(gè)學(xué)科進(jìn)行科學(xué)研究的強(qiáng)有力的工具。因而，研究微分方程具有很重要的應(yīng)用價(jià)值和實(shí)際意義。

1 微分方程數(shù)學(xué)模型應(yīng)用

1.1 微分方程在物理學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)作為物理學(xué)的重要工具與語言，對(duì)物理學(xué)的教學(xué)和研究起著十分重要的作用。物理現(xiàn)象的概括、物理概念的提出、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的歸納整理、邏輯推理分析的進(jìn)行等過程都離不開數(shù)學(xué)。微分方程作為數(shù)學(xué)的重要分支，在對(duì)物理學(xué)中的力學(xué)、熱學(xué)、量子力學(xué)、電磁學(xué)等諸多規(guī)律的探究過程中都有著不可替代的作用。

給出邊界條件我們可以求出電勢(shì)分布情況。Poisson-Boltzmann方程被廣泛運(yùn)用于各種電解質(zhì)溶液體系性質(zhì)的計(jì)算和分子模擬中，特別是生物體系中各種大分子在溶液中電荷分布和溶液自由能的計(jì)算。

1.2 微分方程在軍事中的應(yīng)用

在世界第一次大戰(zhàn)期間，F(xiàn).W.Lanchester就建立了多個(gè)估計(jì)戰(zhàn)爭(zhēng)結(jié)局的微分方程數(shù)學(xué)模型，這些模型研究了確定性的影響因素、雙方參戰(zhàn)人數(shù)的多少和每個(gè)士兵平均戰(zhàn)斗力的強(qiáng)弱。所以在過去的戰(zhàn)爭(zhēng)方式單一時(shí)期，微分方程數(shù)學(xué)模型能很好地預(yù)測(cè)戰(zhàn)爭(zhēng)的局勢(shì)。

如果交戰(zhàn)雙方在t時(shí)刻的兵員數(shù)量分別為x=（x）t，y=（y）t，雙方的傷亡率均與雙方兵員數(shù)量成正比，在不考慮士氣的情況下，研究交戰(zhàn)規(guī)律。

設(shè)交戰(zhàn)的A方t時(shí)刻的兵員數(shù)量為x，B方兵員數(shù)為y，則t時(shí)刻各方的傷亡率分別為：，其中比例系數(shù)，分別為A，B各方的戰(zhàn)斗威力。表現(xiàn)為裝備及技術(shù)水平越高，系數(shù)，b越大，因而給對(duì)方的殺傷越大。把t時(shí)刻各方的傷亡率化成積分形式，然后積分可得ax2-by2=c。

1.3 微分方程在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用

微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)理論中還可以分析商品的市場(chǎng)價(jià)格與需求量之間的關(guān)系，還可預(yù)測(cè)商品的銷售量、再生資源的產(chǎn)量、分析國(guó)民收入、投資、儲(chǔ)蓄等經(jīng)濟(jì)問題.

1.4 微分方程在生物醫(yī)學(xué)中的應(yīng)用

微分方程已逐漸滲透到醫(yī)學(xué)研究的各個(gè)領(lǐng)域，微分方程描述了事物的動(dòng)態(tài)過程，可以揭示疾病的發(fā)生規(guī)律，如傳染病、醫(yī)學(xué)圖像處理、乳腺癌DCE-MRI分析等都應(yīng)用到微分方程。

假設(shè)傳染病傳播期間其地區(qū)總?cè)藬?shù)不變，為常數(shù)n。開始時(shí)染病人數(shù)為x0，在時(shí)刻t的健康人數(shù)為y（t），染病人數(shù)為x（t），由于總?cè)藬?shù)為常數(shù)，有x（t）+y（t）=n。設(shè)單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)病人能傳染的人數(shù)與當(dāng)時(shí)的健康人數(shù)成正比，比例常數(shù)為k，稱k為傳染系數(shù)，我們可以得到下面的方程。這個(gè)模型稱為SI模型，即易感染者和已感染者模型。

SIR模型曾被Kermack等用于檢測(cè)本世紀(jì)初在印度孟買發(fā)生的一次瘟疫，其理論曲線與實(shí)際數(shù)據(jù)相當(dāng)吻合。

2 結(jié)語

本文主要介紹了經(jīng)常用到微分方程的4個(gè)領(lǐng)域中例子。在物理方面，與生產(chǎn)活動(dòng)與人們自身感覺到的像光、熱、聲、力學(xué)以及電磁場(chǎng)理論都離不開微分方程。在戰(zhàn)爭(zhēng)方面，現(xiàn)在戰(zhàn)爭(zhēng)過程中彼此之間手段越來越多，不確定性因素越來越多，故我們可以利用微分方程以及概率論的結(jié)合，運(yùn)用隨機(jī)微分方程來分析戰(zhàn)爭(zhēng)的情況。傳統(tǒng)單一的戰(zhàn)爭(zhēng)和現(xiàn)在手段多樣化的戰(zhàn)爭(zhēng)都可以用微分方程來預(yù)測(cè)其結(jié)局.在經(jīng)濟(jì)學(xué)方面，如預(yù)期的市場(chǎng)模型、Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型等都是微分方程數(shù)學(xué)模型。在生物醫(yī)學(xué)方面，除了本文舉例的傳染病模型外還有細(xì)菌的繁殖模型、藥物動(dòng)力學(xué)模型以及流行病數(shù)學(xué)模型都是微分方程模型。微分方程這個(gè)具有生命力的數(shù)學(xué)分支，分布在我們生活的各個(gè)角落。

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